`A propos de l`interrogation 5

Universit´ e de Nice 2007-08 L2MI Alg` ebre
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A propos de l’interrogation 5
Les commentaires sont en italiques.
Dans ce qui suit Ad´esigne une matrice carr´ee n×n`a coefficients dans un corps K.
1.Que signifie l’´enonc´e : Aest diagonalisable ?
Une matrice Aest dite diagonalisable s’il existe une base de Knform´ee de vecteurs propres de A.
VRAI (et preuve) ou FAUX (et contre-exemple)
2.L’ensemble des solutions d’un syst`eme de 3 ´equations lin´eaires homog`enes `a 5
inconnues est un espace vectoriel de dimension 2.
FAUX. Un contre-exemple est donn´e par un syst`eme de 3 ´equations de rang strictement inf´erieur
`a 3, obtenu par exemple en prenant 3 ´equations proportionnelles (pourquoi pas trois ´equations
dont tous les coefficients sont nuls).
3.Une famille de 3 vecteurs de R4est libre si les vecteurs ne sont pas deux `a deux
proportionnels.
FAUX. On consid`ere la famille ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(1,1,0,0)). Ses vecteurs ne sont pas propor-
tionnels deux `a deux mais le troisi`eme est la somme des deux premiers. La famille est de rang 2.
4.Si Aest diagonalisable, alors Aanvaleurs propres 2 `a 2 distinctes.
FAUX. La matrice Id est diagonalisable puisque l’espace propre associ´e `a l’unique valeur propre
1 est Kntout entier.
5.Si Aanvaleurs propres 2 `a 2 distinctes, alors Aest diagonalisable.
VRAI. C’est une cons´equence du th´eor`eme suivant : En concat´enant des bases de sous-
espaces propres associ´es `a des valeurs propres deux `a deux distinctes de la matrice
A, on obtient une famille libre.
6.n= 3 et Aa 2 valeurs propres distinctes λ1et λ2avec dim E(λ1) = 2. Alors Aest
diagonalisable.
VRAI. Comme dim E(λ1) = 2, λ1est de multiplicit´e au moins 2. Le polynˆome caract´eristique
χA(λ) est divisible par (λ−λ1)2et le quotient est un polynˆome de degr´e 1, ce qui montre que
λ2est simple. L’espace propre E(λ2) est de dimension 1. Le th´eor`eme cit´e `a la question 5 montre
qu’il existe une base de vecteurs propres de A.
7.n= 3. On connait une valeur propre λ1de Aavec dim E(λ1)=2. Alors Aest
diagonalisable.
FAUX. On consid`ere la matrice triangulaire suivante :
λ11 0
0λ10
0 0 λ1
.
Elle a λ1pour unique valeur propre de multiplicit´e 3. L’espace propre E(λ1) est de dimension 2
puisque A−λ1Id est de rang 1. la matrice An’est donc pas diagonalisable.

2
Si λ1est de multiplicit´e 2 (donc pas 3), le polynˆome caract´eristique χA(λ)est divisible par (λ−λ1)2
et le quotient est un polynˆome de degr´e 1. Ce polynˆome a une unique racine λ26=λ1. L’espace
propre E(λ2)est de dimension 1 et la matrice est diagonalisable, toujours d’apr`es le th´eor`eme
cit´e.
8.K=R et n= 2. Une matrice
A=a c
b d 
a pour polynˆome caract´eristique λ2−(a+d)λ+ (ad −bc). Si (a−d)2+ 4bc > 0, alors A
est diagonalisable.
VRAI. Le polynˆome caract´eristique λ2−(a+d)λ+ (ad −bc) a pour discriminant (a−d)2+ 4bc.
Lorsque ce discriminant est positif, Aa deux valeurs propres distinctes. Elle est donc diagonali-
sable, toujours d’apr`es le th´eor`eme cit´e.
9.n= 2 et αun ´el´ement de K. La matrice
A=α1
0α
est diagonalisable.
FAUX. Aa une seule valeur propre αqui est de multiplicit´e 2. L’espace propre E(α) est de
dimension 1 puisque A−αId est de rang 1. La matrice An’est donc pas diagonalisable.
10.Une matrice inversible est diagonalisable.
FAUX. On consid`ere par exemple la matrice de la question pr´ec´edente avec α6= 0.
11.Si Aest diagonalisable, alors Aest inversible si et seulement si ses valeurs propres
sont toutes non nulles.
VRAI. Si Aest diagonalisable, il existe une matrice inversible Pet une matrice diagonale Dtelles
que A=P DP −1. La matrice Da pour coefficients diagonaux les valeurs propres de A. Si ces
valeurs propres sont toutes non nulles, la matrice Dest inversible et la matrice Aaussi.
On peut aussi traiter cette question comme un cas particulier de la suivante.
12.Si le polynˆome caract´eristique de Aest scind´e, alors Aest inversible si et seulement
si ses valeurs propres sont toutes non nulles.
VRAI. Les valeurs propres de Asont les racines du polynˆome caract´eristique χA. Si χAn’a pas
la racine 0, son terme constant n’est pas nul. Le terme constant de χAest ´egale `a sa valeur χA(0)
qui est le d´eterminant de A.
En fait, l’assertion la plus simple (et la plus forte) est la suivante : Aest inversible si et seulement
si 0n’est pas valeur propre de A.