`A propos de l`interrogation 5

Université de Nice 2007-08
L2MI Algèbre
À propos de l’interrogation 5
Les commentaires sont en italiques.
Dans ce qui suit A désigne une matrice carrée n × n à coefficients dans un corps K.
1. Que signifie l’énoncé : A est diagonalisable ?
Une matrice A est dite diagonalisable s’il existe une base de Kn formée de vecteurs propres de A.
VRAI (et preuve) ou FAUX (et contre-exemple)
2. L’ensemble des solutions d’un système de 3 équations linéaires homogènes à 5
inconnues est un espace vectoriel de dimension 2.
FAUX. Un contre-exemple est donné par un système de 3 équations de rang strictement inférieur
à 3, obtenu par exemple en prenant 3 équations proportionnelles (pourquoi pas trois équations
dont tous les coefficients sont nuls).
3. Une famille de 3 vecteurs de R4 est libre si les vecteurs ne sont pas deux à deux
proportionnels.
FAUX. On considère la famille ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0)). Ses vecteurs ne sont pas proportionnels deux à deux mais le troisième est la somme des deux premiers. La famille est de rang 2.
4. Si A est diagonalisable, alors A a n valeurs propres 2 à 2 distinctes.
FAUX. La matrice Id est diagonalisable puisque l’espace propre associé à l’unique valeur propre
1 est Kn tout entier.
5. Si A a n valeurs propres 2 à 2 distinctes, alors A est diagonalisable.
VRAI. C’est une conséquence du théorème suivant : En concaténant des bases de sousespaces propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes de la matrice
A, on obtient une famille libre.
6. n = 3 et A a 2 valeurs propres distinctes λ1 et λ2 avec dim E(λ1 ) = 2. Alors A est
diagonalisable.
VRAI. Comme dim E(λ1 ) = 2, λ1 est de multiplicité au moins 2. Le polynôme caractéristique
χA (λ) est divisible par (λ − λ1 )2 et le quotient est un polynôme de degré 1, ce qui montre que
λ2 est simple. L’espace propre E(λ2 ) est de dimension 1. Le théorème cité à la question 5 montre
qu’il existe une base de vecteurs propres de A.
7. n = 3. On connait une valeur propre λ1 de A avec dim E(λ1 ) = 2. Alors A est
diagonalisable.
FAUX. On considère la matrice triangulaire suivante :


λ1 1 0
 0 λ1 0  .
0 0 λ1
Elle a λ1 pour unique valeur propre de multiplicité 3. L’espace propre E(λ1 ) est de dimension 2
puisque A − λ1 Id est de rang 1. la matrice A n’est donc pas diagonalisable.
2
Si λ1 est de multiplicité 2 (donc pas 3), le polynôme caractéristique χA (λ) est divisible par (λ−λ1 )2
et le quotient est un polynôme de degré 1. Ce polynôme a une unique racine λ2 6= λ1 . L’espace
propre E(λ2 ) est de dimension 1 et la matrice est diagonalisable, toujours d’après le théorème
cité.
8. K = R et n = 2. Une matrice
a c
A=
b d
2
a pour polynôme caractéristique λ − (a + d)λ + (ad − bc). Si (a − d)2 + 4bc > 0, alors A
est diagonalisable.
VRAI. Le polynôme caractéristique λ2 − (a + d)λ + (ad − bc) a pour discriminant (a − d)2 + 4bc.
Lorsque ce discriminant est positif, A a deux valeurs propres distinctes. Elle est donc diagonalisable, toujours d’après le théorème cité.
9. n = 2 et α un élément de K. La matrice
α 1
A=
0 α
est diagonalisable.
FAUX. A a une seule valeur propre α qui est de multiplicité 2. L’espace propre E(α) est de
dimension 1 puisque A − αId est de rang 1. La matrice A n’est donc pas diagonalisable.
10. Une matrice inversible est diagonalisable.
FAUX. On considère par exemple la matrice de la question précédente avec α 6= 0.
11. Si A est diagonalisable, alors A est inversible si et seulement si ses valeurs propres
sont toutes non nulles.
VRAI. Si A est diagonalisable, il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles
que A = P DP −1 . La matrice D a pour coefficients diagonaux les valeurs propres de A. Si ces
valeurs propres sont toutes non nulles, la matrice D est inversible et la matrice A aussi.
On peut aussi traiter cette question comme un cas particulier de la suivante.
12. Si le polynôme caractéristique de A est scindé, alors A est inversible si et seulement
si ses valeurs propres sont toutes non nulles.
VRAI. Les valeurs propres de A sont les racines du polynôme caractéristique χA . Si χA n’a pas
la racine 0, son terme constant n’est pas nul. Le terme constant de χA est égale à sa valeur χA (0)
qui est le déterminant de A.
En fait, l’assertion la plus simple (et la plus forte) est la suivante : A est inversible si et seulement
si 0 n’est pas valeur propre de A.