Rappels sur les espaces de Banach

Master 1 Math´ematiques Universit´e de Montpellier
Analyse Fonctionnelle HMMA113 Ann´ee universitaire 2016-2017
Feuille d’exercices no1
Rappels sur les espaces de fonctions continues
Exercice 1 Soit (E, || · ||) un espace de Banach, et E0=Lc(E, K) son dual topologique, que l’on munit
de la norme subordonn´ee |||ϕ||| = sup||x||=1 |ϕ(x)|. Montrer que E0est un espace de Banach.
Exercice 2 Soit Xun espace m´etrique. On note C0(X, R) l’espace des fonctions continues f:X→R
nulles `a l’infini:f∈ C0(X, R) si pour tout ε > 0 il existe un compact A⊂Xtel que |f(x)| ≤ εsi x /∈A.
Montrer que (C0(X, R),||.||∞) est un espace de Banach.
Exercice 3 (∗) Soit Xun espace m´etrique localement compact, c’est-`a-dire tel que tout point de X
poss`ede un voisinage compact. On note Cc(X, R) l’espace des fonctions continues f:X→R`a support
compact:f∈ Cc(X, R) si il existe un compact A⊂Xtel que f(x) = 0 si x /∈A. Montrer que Cc(X, R)
est un sous-espace dense de (C0(X, R),||.||∞) (cf exercice 2). (On pourra utiliser les fonctions de la forme
x7→ d(x, B)/(d(x, B) + d(x, A)), o`u Aet Bsont deux ferm´es disjoints de X).
Exercice 4 Montrer qu’un ouvert d’un espace m´etrique complet est un espace de Baire.
Exercice 5 Soit X=C([0,1],R) muni de la norme || · ||∞, et D ⊂ Xle sous-ensemble des fonctions
d´erivables en au moins un point. On note Fn={f∈X| ∃t∈[0,1],∀s∈[0,1],|f(t)−f(s)| ≤ n|t−s|}.
1. Justifier que Dest dense dans X.
2. Montrer que D ⊂ ∪∞
n=0Fn.
3. (∗) Montrer que chaque Fnest un ferm´e de Xd’int´erieur vide.
4. En d´eduire que X\ D est dense dans X.
Exercice 6 Soit T:X→Yune application lin´eaire entre espaces vectoriels norm´es.
1. Montrer que si Xest de dimension finie, alors Test continue.
2. Montrer que Test continue si et seulement si pour toute partie born´ee Ede X,T(E) est une partie
born´ee de Y.
3. En d´eduire que tout espace vectoriel norm´e de dimension infinie poss`ede des formes lin´eaires ainsi
que des endomorphismes non continus (on pourra utiliser l’existence d’une base de X, et consid´erer
une suite infinie de vecteurs de norme ´egale `a 1).
Exercice 7 Soit Xun espace vectoriel norm´e r´eel et u:X→Rune forme lin´eaire non nulle. Montrer
que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:
1. uest continue;
2. Ker(u) est ferm´e;
3. Ker(u) n’est pas dense dans X;
4. Il existe un voisinage de 0 ∈Xsur lequel uest born´ee.
Exercice 8 Soit 0 < k < 1 fix´e. Montrer que toute suite de fonctions k-lipschitziennes fn:R→[−1,1]
poss`ede une sous-suite qui converge sur tout compact de R.
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Exercice 9 Le sous-ensemble des applications lipschitziennes de (C([0,1],R),||.||∞) est-il compact ?
Exercice 10 On utilise les notations de l’exercice 1. Soient Eet Fdeux espaces de Banach, et E0et
F0leurs duaux topologiques munis des normes subordonn´ees. Soit T:E→Fun op´erateur compact,
c’est-`a-dire tel que l’image de toute partie born´ee de Eest relativement compacte dans F.
Soit T∗:F0→E0l’adjoint de T, d´efini par T∗(ϕ) = ϕ◦Tpour tout ϕ∈F0. Le but de cet exercice
est de montrer que T∗est compact (th´eor`eme de Schauder; la r´eciproque est ´egalement vraie).
On note BEet BF0les boules unit´e ouvertes de Eet F0centr´ees en 0.
1. Soit (vn) une suite de points de BF0, et K=T(BE). Montrer que H={vn|K, n ∈N}est une partie
born´ee et ´equicontinue de (C(K, K),|| · ||∞).
2. En d´eduire qu’il existe une sous-suite (vnk)ktelle que (vnk|K)ksoit de Cauchy.
3. Montrer que (T∗(vnk))kest convergente.
4. En d´eduire que T∗est un op´erateur compact.
Exercice 11 (∗)(Autour de la preuve d’Ascoli) Soit Xun espace topologique, Yun espace m´etrique,
et Aune partie de C(X, Y ). On note Tula topologie de la convergence uniforme sur Cb(X, Y ), et Tsla
topologie de la convergence simple.
1. Montrer que Aest relativement compacte pour Tssi, et seulement si, A(x) est relativement com-
pacte dans Ypour tout x∈X.
2. Montrer que si Aest ´equicontinue, alors l’adh´erence ¯ Asde Apour Tsest ´equicontinue. (On pourra
d’abord consid´erer le cas o`u Aest l’ensemble des ´el´ements d’une suite convergente (fn)).
3. On suppose que Xest compact.
(a) Montrer que si Aest ´equicontinue, alors les topologies de la convergence simple et de la
convergence uniforme coincident sur A.
(b) Montrer que Aest relativement compacte pour Tusi, et seulement si, Aest relativement
compacte pour Tset les topologies Tuet Tscoincident sur A.
4. En d´eduire que les conditions du th´eor`eme d’Ascoli sont suffisantes : si Xest compact, Aest une
partie ´equicontinue de C(X, Y ), et A(x) est relativement compacte dans Ypour tout x∈X, alors
Aest relativement compacte pour Tu.
Exercice 12 (∗) Soit Kun espace m´etrique compact, et Iso(K) l’ensemble des isom´etries de K. Montrer
que Iso(K) est un groupe pour la loi de composition des applications, et que c’est une partie compacte de
l’espace (C(K, K),||.||∞). (Pour montrer la surjectivit´e des fonctions de Iso(K), on pourra consid´erer,
pour tout point a∈K, la suite des it´er´es fn(a)).
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