4. Espaces compacts.

Licence L3 – Topologie Printemps 2009
4. Espaces compacts.
Exercice 1 D´emontrer de plusieurs fa¸cons que le cercle unit´e S1⊂R2est compact.
Exercice 2 Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif C∗sont contenus dans U
le sous-groupe des nombres complexes de module 1.
Exercice 3 On consid`ere dans Mn(R) le sous-ensemble SL(n, R) des matrices de d´eterminant ´egal
`a 1. Est-il compact ? On note O(n) le sous-ensemble des matrices orthogonales (c’est-`a-dire telle que
tA.A =I) ; O(n) est-il compact ?
Exercice 4 Soit Xun espace topologique et f:X×[0,1] →Rcontinue. Montrer que l’application
g:x∈X→R1
0f(x, y)dy est continue.
Exercice 5 Soient K, F ⊂Rndes parties non vides, Kcompact et Fferm´e. Montrer qu’il existe
a∈Ket b∈Ftel que ka−bk= dist(K, F ).
Exercice 6 Soit Xun espace topologique compact et f1, f2, . . . , fn,nfonctions continues r´eelles qui
s´eparent les points de X. Montrer que Xest hom´eomorphe `a une partie de Rn.
Exercice 7 Soit X, Y deux espaces topologiques s´epar´es et (Kn) une suite d´ecroissante de compacts
non vides de X. Soit f:X→Yune application continue. Montrer que f(∩nKn) = ∩nf(Kn).
Exercice 8 Soit Xun espace topologique s´epar´e.
1. Soit Aet Bdeux compacts disjoints dans X. Montrer qu’ils poss`edent des voisinages ouverts
disjoints (commencer par le cas o`u Best r´eduit `a un point).
2. Soit Kun compact non vide de Xet Uun ouvert de Xcontenant K. Montrer qu’il existe r > 0
tel que pour tout x∈X, on ait l’implication :
d(x, K)< r ⇒x∈U .
Exercice 9 Montrer que dans un evn, la boule unit´e ferm´ee est compacte si et seulement si la sph`ere
unit´e est compacte.
Exercice 10 Soit Eun espace norm´e, Xet Ydeux sous-ensembles de E. Montrer que
1. X+Yest ouvert si Xest ouvert ;
2. X+Yest compact si Xet Ysont compacts ;
3. X+Yest ferm´e si Xest compact et Yferm´e.
Que peut-on dire de X+Ysi Xet Ysont seulement ferm´es ?
Exercice 11 Soit Eun espace norm´e, Xet Ydeux parties compactes de E. Montrer que la r´eunion
des segments joignant un point x∈X`a un point y∈Yest encore compacte.

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Exercice 12 Soit Kun convexe compact de R2.
1. Si Kest d’int´erieur vide, montrer que Kest hom´eomorphe au segment [0,1].
2. Si Kn’est pas d’int´erieur vide, montrer que Kest hom´eomorphe au disque unit´e ferm´e en
consid´erant l’application p(x) = inf{a > 0 ; x
a∈K}; on montrera que 0 est un point int´erieur,
que δ||x|| 6p(x)6C||x|| puis que pest continue.
Exercice 13 Soit (An) une suite d´ecroissante de compacts connexes non vides dans un espace topo-
logique s´epar´e. Montrer que ∩nAnest encore un compact connexe non vide.
Exercice 14 Soit f:Rn→Rnune application continue. Elle est dite propre si pour tout compact
K⊂Rn, l’image r´eciproque f−1(K) est compact.
1. Montrer que, si fest propre, alors l’image par fde tout ferm´e de Rnest un ferm´e.
2. ´ Etablir l’´equivalence suivante : l’application fest propre si et seulement si elle a la propri´et´e :
kf(x)k→∞ quand kxk→∞.
Exercice 15 Soit (X, d) un espace m´etrique compact et f:X→Xune application v´erifiant
d(f(x), f(y)) < d(x, y) pour tout x, y ∈X , x 6=y .
Le but ici est de montrer que fa un unique point fixe p∈X.
1. Justifier que fpeut avoir au plus un point fixe.
2. Montrer que les ensembles Xn=fn(X), n∈N, forment une suite d´ecroissante de compacts et
que Y=Tn>0Xnn’est pas vide.
3. Montrer que Yest un ensemble invariant, i.e. f(Y) = Y, et en d´eduire que le diam`etre de cet
ensemble est zero.
4. Conclure que fa un unique point fixe p∈Xet que pour tout x0∈Xla suite xn=fn(x0)→p,
lorsque n→ ∞.
Exercice 16 Soit E={f: [0,1] →Rcontinue}. On munit Ede la m´etrique d∞(f, g) = supt∈[0,1] |f(t)−
g(t)|. Montrer que la boule unit´e ferm´ee de En’est pas compacte (on pourra construire une suite dont
aucune sous suite n’est de Cauchy).
Que peut-on dire de la boule unit´e ferm´ee de l∞(l’espace des suites born´ees muni de la norme sup) ?