Fiche d`exercices 4 : arithmétique dans Z

Universit´e Blaise Pascal Module S1 A ou B Math
D´epartement de Math´ematiques Ann´ee 2007-2008
http://math.univ-bpclermont.fr/~royer/ens/L1S1/
Fiche d’exercices 4 : arithm´etique dans Z
Exercice 1. Soit aun entier relatif. Montrer que le reste de la division euclidienne de a2par 8 vaut
0, 1 ou 4. En d´eduire qu’aucun entier congru `a 7 modulo 8 n’est somme de trois carr´es d’entiers.
Exercice 2. Montrer que pour tout entier relatif n, 5n3+nest divisible par 6.
Exercice 3. Pour quelles valeurs n∈Za-t’on : 11n+ 8 est divisible par 3n+ 4 ?
Exercice 4. Soit aet bdeux entiers premiers entre eux. Montrer que :
1. pgcd(a+b, a −b) vaut 1 ou 2.
2. pgcd(a+b, ab) = 1.
3. pgcd(a+b, a2+b2) = 1 vaut 1 ou 2.
Exercice 5.
1. Montrer que pour tout entier naturel k, 10kest congru `a 1 modulo 9, puis retrouver le crit`ere
de divisibilit´e par 9 : un entier nest divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres
est divisible par 9.
2. En utilisant les congruences modulo 11, trouver un crit`ere de divisibilit´e des entiers par 11.
Application : 52194172162 est-il divisible par 11 ?
Exercice 6. ` A l’aide de l’algorithme d’Euclide, calculer le plus grand diviseur commun de 210 et 66.
Que vaut le plus petit multiple commun ?
Exercice 7. 1. Trouver deux entiers uet vtels que 127u+ 506v= 1.
2. En d´eduire tous les entiers uet vtels que 127u+ 506v= 1.
Exercice 8. Soit m, n deux entiers et a, b, c, d quatre entiers tels que ad −bc = 1.
1. Trouver deux entiers αet βtels que m=α(am +bn) + β(cm +dn).
2. En d´eduire que les diviseurs communs de am +bn et cm +dn divisent m.
3. Montrer que pgcd(am +bn, cm +dn) = pgcd(m, n).
Exercice 9. Montrer que 154 et 1271 sont premiers entre eux.
Exercice 10. Exemple simple de fonction de chiffrement Soit Sl’ensemble de tous les entiers n
v´erifiant 0 ≤n≤25. On fixe deux ´el´ements aet bde Set on consid`ere la fonction de Sdans Sd´efinie
pour tout xde Spar :
Ca,b(x)≡ax +b(mod 26).
1. Montrer que si an’est pas premier `a 26, la fonction Ca,b n’est pas bijective.
2. Soit apremier `a 26. Montrer qu’il existe a0dans Stel que aa0≡1 (mod 26).
3. Montrer que si aest premier `a 26, la fonction Ca,b est bijective.
4. Soit apremier `a 26, calculer fonction r´eciproque de Ca,b.
5. (*) Indiquer pourquoi la fonction Ca,b peut-ˆetre utilis´ee pour chiffrer des messages et pourquoi
elle est trop simple pour ˆetre utilis´ee par James Bond.
Exercice 11. Montrer que si net ksont premiers entre eux, alors ndivise n
k.
1

Exercice 12. Calculer la d´ecomposition en facteurs premiers de 550 et 3250. En d´eduire leurs ppcm
et pgcd.
Exercice 13. Soit nun entier relatif. Apr`es avoir ´ecrit l’entier n4−20n2+ 4 comme diff´erence de
deux carr´es d’entiers, montrer qu’il n’est pas premier.
Exercice 14. 1. Soit pun nombre premier. Montrer que √pest irrationnel.
2. (*) Soit n≥2 un entier. On ´ecrit n=pν1
1···pνω
ωla d´ecomposition en facteurs premiers de no`u
ν1, . . . , νωsont strictement positifs et on suppose qu’il existe ktel que νkest impair. Montrer
que √nest irrationnel.
3. Quels sont les seuls entiers dont la racine carr´ee est rationnelle ?
Exercice 15. Que vaut min|p−q|lorsque pet qparcourt l’ensemble des nombres premiers strictement
sup´erieur `a 2 avec p6=q?
Exercice 16. Soit n > 1 un entier naturel et n=pν1
1···pνω
ωla d´ecomposition en facteurs premiers de
no`u ν1, . . . , νωsont strictement positifs. Donner le nombre de diviseurs positifs de nen fonction de
ν1, . . . , νω.
Exercice 17. L’objet de cet exercice est de montrer que si n≥6 n’est pas premier alors (n−1)! est
divisible par n.
1. Soit nun entier naturel produit de deux entiers distincts sup´erieurs ou ´egaux `a 2. Montrer que
ndivise (n−1)!.
2. Quels sont les nombres qu’on ne peut pas ´ecrire comme produit de deux entiers distincts
sup´erieurs ou ´egaux `a 2 ?
3. Soit nle carr´e d’un nombre premier p. Montrer que si p6= 2 alors 2p<p2. En d´eduire que n
divise (n−1)!.
4. Que se passe t’il si n < 6 ou si nest premier ?
Exercice 18. (*)Exemple simple de code correcteur d’erreur Le num´ero insee d’un individu est
form´e de 13 chiffres et d’une cl´e de contrˆole de deux chiffres. Le premier chiffre est 1 pour les hommes,
2 pour les femmes. Les deux chiffres suivants sont les deux derniers chiffres de l’ann´ee de naissance,
les deux suivants le mois de naissance, les deux suivants le d´epartement de naissance, les trois suivants
la commune de naissance, les trois suivants le num´ero d’inscription sur le registre d’´etat civil et les
deux derniers sont une cl´e de contrˆole C. En notant Ale nombre form´e des 13 premiers chiffres, on a
C= 97 −rou rest le reste de la division euclidienne de Apar 97.
1. V´erifier la cl´e de votre num´ero insee.
2. Soit Qle reste de la division euclidienne de Apar 106et Rle reste. Montrer que rest aussi le
reste de la division euclidienne de 27Q+Rpar 97.
3. Soit B=A+C. Montrer que Best divisible par 97.
4. Soit At= 100A+Cle num´ero insee entier (constitu´e de 15 chiffres) et f Atun nombre obtenu `a
partir de Aten changeant un chiffre et un seul. Montrer que |At−f At|=a×10navec aet ndes
entiers naturels et 1 ≤a≤9.
5. Si f Atd´esigne un num´ero insee, sa cl´e de contrˆole e Cse lit sur les deux derniers chiffres : f At=
100 e A+e C. Montrer que si le changement de chiffre s’est fait sur C, alors e A=Aet |C−e C|=a×10n
et que s’il s’est fait sur A, alors |A−e A|=a×10net e C=C.
6. Soit e Bdefini par e B=e A+e C. Montrer que |B−e B|=a×10npour un certain entier a∈ {1,...,9}.
7. Soit aet ndes entiers comme dans 4, montrer que 97 ne divise pas a×10n.
8. En d´eduire que f Atne d´esigne pas un num´ero insee.
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