GÉNÉRALITÉS EXERCICE 1. 1) Montrer que pour tout n ∈ N,ona5|4

GLMA403 - FICHE N◦1A CPUS 2013-2014
ARITHM´ ETIQUE DANS Z- G´ EN´ ERALIT´ ES
EXERCICE 1.
1) Montrer que pour tout n∈N, on a 5|42n−1.
2) Montrer que pour tout n∈N, on a 7|32n+1 + 2n+2.
3) Montrer que pour tout n>5, on a 2n> n2.
4) Montrer que pour tout n∈N, (1 + √2)n=an+bn√2 o`u anet bnsont des entiers premiers entre eux.
EXERCICE 2.
1) Rappeler les formules de la somme des npremiers entiers et des npremiers carr´es d’entiers. Les d´emontrer.
2) Montrer que ∀n∈N, 13+ 23+··· +n3=n2(n+ 1)2
4.
3) Calculer la somme des npremiers nombres entiers positifs impairs.
EXERCICE 3.
Montrer que pour tout n∈N:
1) 5|32n−22n.
2) 25|36n−22n.
3) Si a, b ∈N,b6= 0, alors b|(a+b)n−(a−b)n.
EXERCICE 4.
Soit k, n ∈N,06k6n.
1) Rappeler la d´efinition de n
k. Rappelons la notation Ck
n=n
k.
2) Montrer que n
k=n n−k. Montrer que si k6= 0, kn k=nn−1 k−1.
3) ´ Enoncer et d´emontrer la formule de Pascal.
4) Montrer que n
k∈N.
EXERCICE 5.
Soit n∈N∗. Soit S⊆ {0,1,2,··· , n}tel que Card(S)>n+1
2. Montrer qu’il existe deux ´el´ements (non n´ec´essairement
distincts) de Sdont la somme vaut n.
EXERCICE 6.
Soient m, n ∈N∗tels que m|n. Montrer que si a, b ∈N, alors am−bm|an−bn.
EXERCICE 7.
Soient a, c ∈C. Montrer que pour tout entier n∈Nimpair, on a an+bn= (a+b)
n−1
X
k=0
(−1)kakbn−1−k.
EXERCICE 8.
Parmi les nombres suivants, lesquels sont divisibles par 2,3,4,5,9,11 ?
121212, 567432, 299788, 321654987, 123123123 et 11111 ···11 (nchiffres 1).
1

GLMA403 - FICHE N◦1B CPUS 2013-2014
ARITHM´ ETIQUE DANS Z
PGCD, PPCM ET NOMBRES PREMIERS
EXERCICE 9.
Soit n∈N∗.
1) Montrer que n∧(n+ 1) = 1.
2) Montrer que n∧(n2+ 1) = 1.
3) Montrer que (n3+ 1) ∧(n2+n) = n+ 1.
4) Montrer que (n2+ 1) ∧(n4+ 1) ∈ {1,2}.
EXERCICE 10.
Consid´erons la suite de Fibonacci d´efinie r´ecursivement par u0= 1, u1= 1 et ∀n∈N, un+2 =un+1 +un.
Montrer que ∀n∈N, un∧un+1 = 1.
EXERCICE 11.
Montrer qu’un nombre n∈Nest premier si n>2 et nn’est divisible par aucun nombre premier inf´erieur ou ´egal `a
√n. En d´eduire que 113 et 161 sont premiers.
EXERCICE 12.
1) Trouver tous les entiers n∈Ztels que n2−1 soit un nombre premier.
2) Trouver tous les entiers n∈Ztels que |n3−1|soit un nombre premier.
EXERCICE 13.
Soient a, n ∈N\{0,1}tels que le nombre an−1 soit premier. Montrer que a= 2 et que nest premier.
EXERCICE 14.
Soit n>2. Montrer qu’il y a toujours un nombre premier entre net n!.
EXERCICE 15.
Soient a, b ∈N\{0,1}et n∈N∗. On suppose que an+bnest premier. Montrer que nest une puissance de 2.
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GLMA403 - FICHE N◦1C CPUS 2013-2014
ARITHM´ ETIQUE DANS Z- NOMBRES PREMIERS
EXERCICE 16.
Soit n∈N∗. Montrer que ppcm(1,2,...,2n) = ppcm(n+ 1, n + 2,...,2n).
EXERCICE 17.
1) Montrer que, parmi les nombres 1,11,111,1111,...,1111 . . . 1111 (le dernier a n+ 1 fois le chiffre 1), il y en a au
moins deux met m0qui ont le mˆeme reste dans la division par n.
2) Consid´erer m−m0et conclure que tout nombre entier nqui n’est divisible ni par 2 ni par 5 a un multiple qui
s’´ecrit exclusivement avec le chiffre 1.
3) Montrer que 12345678 a un multiple qui s’´ecrit uniquement avec le chiffre 2.
EXERCICE 18.
1) Soient a, b ∈N∗et n>2 un entier. Montrer qu’on ne peut pas avoir an=bn+ 1.
2) Soient a, b ∈Net n>2 un entier. Supposons que an−bnest un nombre premier. Montrer que nest alors premier
et a−b= 1.
EXERCICE 19.
Un nombre ISBN est un nombre de 10 chiffres, not´e a10a9. . . a1tel que la somme
10
X
k=1
kakest divisible par 11.
1) Montrer que si on change un chiffre d’un nombre ISBN, le nombre obtenu n’est plus un nombre ISBN.
2) Montrer que si on ´echange deux chiffres diff´erents d’un nombre ISBN, le nombre obtenu n’est plus un nombre
ISBN.
EXERCICE 20.
Donner la valeur de ϕ(1200).
EXERCICE 21.
Cherchons les triplets d’entiers strictement positifs cons´ecutifs tel que leur produit soit un carr´e.
1) Soit (n−1, n, n + 1) un tel triplet. Montrer que, si nest pair, alors n, n −1 et n+ 1 sont des carr´es et conclure.
2) R´esoudre le cas nimpair. Indication : Montrer que (n−1) ∧(n+ 1) = 2 et montrer que n−1
2et n+ 1 2sont des carr´es. .
3

GLMA403 - FICHE N◦1D CPUS 2013-2014
ARITHM´ ETIQUE DANS Z- INDICATRICE D’EULER ET TH´ EOR` EME DE B´ EZOUT
EXERCICE 22.
Calculer 123456 ∧1234.
EXERCICE 23.
Soient a, b, d ∈N∗. On suppose que d|a,d|bet qu’il existe u, v ∈Ztels que d=ua +bv. Montrer que d=a∧b.
EXERCICE 24.
Soient a, b deux entiers tels que a+b= 173. D´eterminer a∧b.
EXERCICE 25.
R´esoudre dans Z2l’´equation diophantienne 189x+ 255y= 3.
EXERCICE 26.
Montrer que pour tout entier n∈N∗,n+ 1 et 2n+ 1 sont premiers entre eux. En d´eduire que n+ 1 |2n
n.
EXERCICE 27.
1) Quels sont les entiers n∈Ntels que n4+ 4 = 36n3+ 15n?
2) Quels sont les couples d’entiers (m, n)∈Ntels que m2+n2= 16mn + 3 ?
EXERCICE 28.
1) Soient a, b ∈N. Montrer que si 5|a2+ 2b2alors 5|aet 5|b.
2) Soient a, b, c ∈N. Montrer que si 7|a3+b3+c3, alors 7|abc.
EXERCICE 29.
1) Trouver tous les couples (m, n)∈Z2tels que n6−n3= 7m2+ 3.
2) Trouver tous les couples (m, n)∈Z2tels que n12 −8n7= 10m+ 5.
3) Trouver tous les couples (m, n)∈Z2tels que 4n2+ 1 = m(m−1)(m+ 1).
EXERCICE 30.
Montrer que parmi n,n+ 2 et n+ 4, exactement l’un est divisible par 3.
EXERCICE 31.
Soit pun nombre premier. Montrer que p+ 20 et p+ 22 ne sont pas tous les deux premiers.
EXERCICE 32.
Quel est le dernier chiffre de 2123456 ?Indication : 24= 16 ≡1[5].
EXERCICE 33.
a) Soit N∈Ntel que N≡ −1[3]. Montrer que Na au moins un diviseur premier congru `a −1 modulo 3.
b) En d´eduire par la m´ethode d’Euclide que l’ensemble des nombres premiers congrus `a −1 modulo 3 est infini.
EXERCICE 34.
a) Montrer que tout nombre congru `a −1 modulo 6 a un diviseur premier congru `a −1 modulo 6.
b) En d´eduire par la m´ethode d’Euclide qu’il existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a −1 modulo 6.
EXERCICE 35.
a) Soit pun nombre premier. Soient m, n ∈Ztels que m2≡n2[p]. Montrer que l’on a m≡n[p] ou m≡ −n[p].
b) Donner un exemple de couple d’entiers (m, n) tel que m2≡n2[8] mais m6≡ ±n[8].
c) Montrer que m2≡n2[6] implique m≡ ±n[6].
EXERCICE 36.
Montrer que pour tout entier n>3, ϕ(n) est un nombre pair.
EXERCICE 37.
´
Etablir ∀n>3, ϕ(n)>nln 2
ln n+ ln 2.
4