TP7(9/3)

7. Exercises TP7, le 10 mars 2017
Exercice 7.1.(i) Trouver le pgcd(235472,999) et le ppcm(235472,999).
(ii) Posons d:= pgcd(235472,999) . Trouver s, t entiers tels que s235472+t999 = d.
(iii) Trouver deux entiers x, y tels que 24x+ 33y= 11.
(iv) Trouver un entier xet une fraction ytels que 24x+ 33y= 11.
Exercice 7.2.(i) Utiliser l’algorithme de Bézout-Euclide pour trouver deux nombres entiers aet b
tels que 40a+ 31b= 843. Faire ça une fois avec la méthode des substitutions et une fois avec la
méthode de Bézout.
(ii) Soient a, b comme en (i). Montrer que pour chaque entier non a aussi
40(a+ 31n) + 31(b−40n) = 843.
Inversement, si on a 40x+ 31y= 843 pour un couple d’entiers xet y, alors il existe un entier ntel
que x=a+ 31net y=b−40n. En particulier, en choisissant nbien on trouve que
40 ·42 −31 ·27 = 843.
(iii) Un marchand vend deux types de produit. L’un coûte $31 chacun, et l’autre $40 chacun. Dans
un jour il a vendu pour $843 de marchandise. Combien de produits a-t-il vendu ?
Exercice 7.3.(i) Soient a, c, n des entiers où n > 0. Montrer qu’il existe un entier xtel ax ≡ncsi
et seulement si pgcd(a, n)divise c.
(ii) Trouver un entier xtel que 7x≡100 1.
Exercice 7.4.(i) Le nombre 9153689342192 est divisible par 11 si et seulement si 9 + 15 + 36 + 89 +
34 + 21 + 92 est divisible par 11 si et seulement si 9−1+5−3+6−8+9−3+4−2+1−9+2
est divisible par 11. Expliquer.
(ii) Donner la représentation hexadécimal de 106. Écrire [1234567]10 sur la base 100. Montrer
que [1,2,3,4,5,0,0,0]best divisible par [1,0,0,0]b, où b > 1. Donner la représentation hexadécimal
de [1,2,3,4,5,6]7.
(iii) Soit m > n > 0deux nombres naturels. Soit N= [cs, cs−1, . . . , c1, c0]nun nombre naturel
écrit sur la base n; en particulier pour chaque ion a 0≤ci< n. Définissons un autre nombre
naturel M(avec exactement les mêmes chiffres mais sur la base m) par
M= [cs, cs−1, . . . , c1, c0]m.
Soit d > 0un nombre naturel et supposons que m≡dnet Nest que divisible par d. Montrer que
Mest aussi divisible par d.
Exercice 7.5.(i) Soit n= (1428 + 109 ·23 −301) ·(5432 + 115). Quel est le dernier chiffre de ndans
la représentation hexadécimale ?
(ii) Supposons que n|3aet qu’il existe deux entiers s, t tels que 3s+nt = 1. Montrer que n|a.
Exercice 7.6.Montrer par une preuve par induction (généreuse) que chaque nombre naturel n > 1
peut s’écrire uniquement comme n= 2eq, ou e∈Net qun nombre naturel impair. Vous n’avez pas
le droit d’utiliser le théorème de factorisation première unique (mais vous pouvez imiter sa preuve
!).
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