Techniques fondamentales de mathématiques Exercices

Techniques
fondamentales
de mathématiques
Exercices
BA1 en chimie,
mathématiques,
physique,
sciences,
sciences de l’ingénieur (orientation bioingénieur).
Table des matières
1 Trigonométrie
1.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2 Fonctions
2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
3 Dérivées
3.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
4 Intégration
13
4.1 Rappels et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Applications à la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Document réalisé par : Nicolas Brouette, Jonathan Demeyer, Thomas Lessines, Nicolas Richard.
i
1
Trigonométrie
1.1
Exercices
1. Quelle est la mesure en degrés d’un angle de
tour complet cet angle correspond-il ?
π
10
radians ? À quelle fraction d’un
2. Soit ABC un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm, et B̂ = π6 rad. Représenter la situation, et déterminer les longueurs AC et BC.
3. Si ABC est rectangle en A, que AB vaut 5 unités, BC vaut 6 unités, quelle est la
mesure de l’angle Ĉ ?
4. On donne un trapèze ABCD, où AB est de longueur 3, AD est de longueur 5
et CD de longueur 6. Notons O l’intersection entre les diagonales BD et AC.
Sachant que les côtés AB et AD d’une part, et AD et DC d’autres part sont per[?
pendiculaires, quelle est la mesure de l’angle BOA
5. Soit ABC un triangle ; on donne BC = 25, AC = 36 et B̂ = 72°.
– Déterminer le troisième côté et les deux autres angles en degrés.
– Déterminer la mesure de B̂ en radians (sans calculatrice !)
[ = 42°, Â = 105°, B̂ = 36° et AB = 300 m.
6. Sur la figure, on donne les angles CAH
On demande de déterminer la longueur CH sachant que l’angle dessiné en H
est droit.
7. Des naufragés abordent les côtes d’une île de l’Atlantique Sud, balayées par le
vent. La plage est bien dégagée et recouverte de galets, mais une falaise barre le
1
2
CHAPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE
chemin vers l’intérieur de l’île où ils espèrent trouver du secours. Avant de se
préparer pour l’escalade de cette falaise, un membre de l’équipage se propose
d’en mesurer la hauteur. Pour cela, il plante une perche bien droite de 3 m de
longueur, à une distance de 150 m de l’aplomb de la falaise. Ainsi fait, après
avoir vérifié que la perche est bien perpendiculaire au plan de l’horizon, il recule
de 5m, distance juste nécessaire pour que, couché sur le sol, le rayon visuel parti
de son oeil effleure à la fois l’extrémité de la perche et le sommet de la falaise.
Dessiner une figure, puis calculer la valeur trouvée pour la hauteur de la falaise.
8. Deux édifices à toit plat sont distants de 60 m. Du toit du plus petit édifice, qui
a 40 m de hauteur, l’angle d’élévation de l’arête du toît du plus grand édifice est
de 40°. Calculer la hauteur du plus grand édifice.
111111111111
000000
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
x
000000111111
111111
000000
0000
1111
000000
000000 h
111111
40 ˚
0000111111
1111
000000
111111
0000
1111
000000
111111
0000
1111
40 m
000000
1111111111111111111
0000000000000000000
000000000
1111
11111 111111
000000
111111
60 m
9. Deux villes sont vues depuis le centre de la Terre sous un angle de un degré
a) Quelle est la distance qui sépare ces deux villes ?
b) Quelle serait cette distance si l’angle était de un radian ?
Le rayon terrestre vaut environ 6370 km, et on mesure les distances sans creuser
de souterrains.
10. À l’aide du cercle trigonométrique, déterminer les nombres suivants (valeur
exacte) en utilisant les symétries adéquates.
a) cos( 5π
6 )
d) sin( −π
2 )
g) cos( 5π
4 )
b) sin( −π
4 )
e) cos( 7π
3 )
h) cos( −7π
6 )
c) cos( 3π
4 )
f) sin( −4π
3 )
i) sin( 8π
3 )
11. Trouver les valeurs exactes possibles de cos θ et tan θ sachant que sin θ =
puis reporter les arcs correspondants sur un cercle.
7
16 ,
12. Calculer la hauteur d’un phare pour que sa portée soit de 15 km.
13. Pour calculer la distance OA entre deux points situés sur les rives opposées
d’un fleuve, on définit le long d’une des rives un segment BC de 300 m, passant
par O avec OA perpendiculaire à BC. En mesurant les angles B̂ et Ĉ, on trouve
respectivement 67°200 et 53°400 :
1.1. EXERCICES
3
A
67°200
B
53°400
O
C
Calculer la valeur des distances AB et AC. En déduire ensuite celle de la distance
OA.
14. Démontrer les relations suivantes :
sin4 (a) − cos4 (a) = sin2 (a) − cos2 (a)
= 2 sin2 (a) − 1
1
1
tan2 (a) − tan2 (b) =
−
2
cos (a) cos2 (b)
sin2 (θ) − cos2 (φ)
= 1 − cot2 (θ) cot2 (φ)
2
2
sin (θ) sin (φ)
h
i
15. Soit x ∈ − π2 , π2 .
a) Si sin x = − 15 , que vaut la tangente de x ?
b) Si cos x = 31 , quelles sont les valeurs possibles de la tangente de x ?
16. Représenter les graphes des fonctions l et f définies par l(t) = sin(2t + π) et
f (t) = sin(2t) + π.
17. La construction de la tour de Pise a commencé en 1173 et fut achevée en 1350,
avec l’installation de ses sept cloches. C’est une tour creuse, d’un diamètre intérieur de 7.5 m et d’une hauteur h de 54.5 m. Dès la construction du troisième
étage en 1274, l’édifice commence à pencher, à tel point qu’elle est fermée au
public en 1990.
4
CHAPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE
d
54, 5 m
θ
53°
46 m
Des travaux très importants sont alors réalisés, qui ont permis de rapprocher le
sommet de la verticale de 43 cm. Ainsi, la tour de Pise a retrouvé l’inclinaison
qu’elle avait il y a deux siècles et peut réouvrir ses portes au public en 2001. Les
scientifiques estiment avoir prolongé la survie du monument d’une centaine
d’années. Il s’agit de déterminer l’inclination qu’avait la tour en 1990. Pour ce
faire, elle est observée à partir d’un point distant de 46 m du centre de sa base,
et la mesure de l’angle d’élévation est de 53°.
Calculer :
– La valeur de l’angle d’inclinaison, par rapport à la verticale θ ;
– La distance d, qui exprime de combien de mètres, le centre du sommet de
la tour s’était écarté de la verticale.
2
Fonctions
2.1
Exercices
Les exercices demandant de tracer le graphe de certaines fonctions supposent
connu la notion de dérivée, exposée dans le chapitre 3, qui permet de déterminer
le taux de coissance ou de décroissance.
1. On donne les fonctions f et g définies sur R par f (x) = 2x et g(x) = sin(x).
a) Calculer f (π/2), g(π/2), (g ◦ f )(π/2) et (f ◦ g)(π/2)
b) Quelles sont les expressions algébriques de f ◦ g et g ◦ f ?
2. Si f (x) = 1/(1 − x), donner les domaines et expressions algébriques de f , f ◦ f et
f ◦f ◦f .
3. Soit f la fonction définie par

1

si x < 0,


x

 2
f (x) = 
x
si 0 ≤ x ≤ 2,



x + 2 si 2 < x.
a) Calculer f (−2), f (0), f (3/2), f (2) et f (3).
b) Esquisser le graphe de f .
c) Déterminer le domaine de définition et l’image de f .
d) Déterminer la fonction réciproque de f si elle existe ; si elle n’existe pas,
expliquer pourquoi.
4. Vrai ou faux ? La fonction f : R → R : x 7→ x2 + 3x + 2 est
a) injective
b) bijective
c) inversible
d) surjective
5. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition et
la fonction réciproque si elle existe. Représenter la fonction et sa fonction réciproque sur le même graphique.
√
a) y = x
q
2x+1
b) y = 3(x−1)
5
6
CHAPITRE 2. FONCTIONS
c) R− → R+ : x 7→ x2
6. Calculez les quantités suivantes si elles existent :
a) log10 (100),
b) log20 (400),
c) log1 (1),
d) log1 (2),
e) 210 ,
f) 103 ,
g) log10 (1024) (calculette autorisée),
h) log2 (1000) (calculette autorisée. )
7. Les égalités suivantes sont elles vraies ou fausses ?
a) log√2 (2) = 2,
b) log√3 (3) = 3,
c) log√4 (4) = 2,
d) log√2 (4) = 4,
e) log √3 2 (1) = 0,
f) log1/2 (16) = −5,
g) log−5 (16) = 1/2,
8. Sans calculette, simplifiez :
2
a) ln e 3
b) e1+ln 6
4
c) ln
!
e3
2
e5
9. Résoudre, dans R, les équations :
a) ln(x2 ) = ln(12 − x)
b) ln x + ln(x + 6) = 12 ln 9
10. Les séismes sont des phénomènes qui vont d’un léger mouvement des couches
profondes de l’écorce terrestre, à peine perceptible en surface, à une catastrophe
gigantesque qui peut alors changer complètement la topographie d’une région.
Autrement dit, entre ces deux extrêmes, la différence est considérable. C’est
pour cela que l’échelle de mesure de l’intensité des tremblements de Terre, développée en 1935 par le sismologue américain Charles-Francis Richter, est basée
sur le logarithme décimal. Il s’agit, à partir d’une mesure de l’amplitude A donnée par un sismographe, de la comparer à une amplitude A0 de référence. On
obtient alors la magnitude M du séisme 1 ,
!
A
M = log
A0
1. La fonction notée log est le logarithme en base 10, c’est-à-dire la fonction réciproque de f (x) =
10x . Néanmoins, les propriétés vues pour le logarithme naturel restent valables pour le logarithme en
base 10.
2.1. EXERCICES
7
Ainsi, une différence de un degré sur cette échelle correspond à un rapport des
amplitudes de 10. On entend parfois que l’échelle de Richter comprend 9 degrés, c’est à la fois vrai et faux. En fait elle n’a aucune limite, c’est simplement
qu’un tremblement de Terre dont la magnitude soit supérieure à 9 ne se produit
que tous les deux siècles environ.
Application numérique L’énergie E libérée au foyer du séisme est liée à la magnitude par
log E = a + bM
où a et b sont des constantes.
a) Placer sur l’échelle de Richter les séismes de
– San Francisco, en 1906 : A = 1,78 · 108 A0
– Los Angeles, en 1971 : A = 5,01 · 106 A0
b) Déterminer les valeurs de a et de b, sachant qu’un séisme de magnitude 8
met en jeu environ 30 000 fois plus d’énergie qu’un séisme de magnitude
5, lui-même libérant une énergie de 0,2 · 1020 J.
11. Le graphe d’une fonction est la droite passant par (0, 2) et (3, 0). Déterminer une
équation pour cette droite.
12. Dessiner la droite d’équation y = x dans un système de coordonnées semi-logarithmique.
13. On donne le graphique suivant, où l’axe des abcisses est logarithmique, l’axe des
ordonnées étant cartésien. Donner une équation de cette courbe.
y
5
4
3
2
1
101
10−3
−2
−3
104
x
3
Dérivées
3.1
Exercices
1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
a) y = x6 − 3x4 + 19x3 − 8x + 4
b) y = (2 − x)(1 − 5x)
√
c) y = (2x + 1)(3x + 2) 3 3x + 2
d) x 7→ x2 + ln(x2 + 1)
e) f (x) = e(1+ln(x))/x
f) y =
x8
8(1−x2 )4
2. Calculer, si elles existent, les valeurs des dérivées première, deuxième et troisième des fonctions suivantes au point indiqué.
a) y = x3/2 en x = 0
b) y = x + 1/x en x = 1/2
3. Calculer la dérivée première par rapport à x de
√
a) y = t 2 − 4t si t = 2x2 + 1
√
b) y = t − 3t 2 si t = x2 − 6x + 3
√
c) y = 3t 2 − 5t + 4 si t = x2
4. Former les équations des tangentes à la courbe d’équation
y = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
aux points d’intersection avec l’axe des abscisses. Tracer la courbe et la tangente.
Rappel L’équation de la droite tangente à une courbe y = f (x) en un point
(a, f (a)) de la courbe, est y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
5. La figure ci-dessous donne la variation de la vitesse d’un mobile en mouvement
rectiligne en fonction du temps.
9
10
CHAPITRE 3. DÉRIVÉES
v(t) (m/s)
1
0.5
t(s)
-1
0
1
2
3
4
5
-1
a) Que valent les vitesses minimales et maximales atteintes par le mobiles ?
b) Combien de temps s’écoule-t-il entre ces deux valeurs extrêmes ?
c) Durant quel(s) intervalle(s) de temps le mobile accélère-t-il (accélération
positive) ?
d) Durant quel(s) intervalle(s) de temps le mobile décélère-t-il (accélération
negative) ?
e) A quel(s) instant(s) l’accélération est-elle nulle ?
f) A quel instant le mobile est-il le plus loin de son point de départ ?
g) Quelle est la distance parcourue par le mobile pendant les 4 secondes du
mouvement ?
6. La figure ci-dessous représente le graphe d’une fonction. Dessiner le graphe de
sa dérivée.
6
1
1
−1
2
3
-
−1
7. On considère un disque dont le rayon varie avec le temps. Sachant que le rayon
augmente à la vitesse constante de 0.1cm/sec, quelle est la vitesse à laquelle augmente l’aire de la surface considérée, lorsque
a) le rayon a 10 cm
b) le rayon a 20 cm
8. Calculer la dérivée première des fonctions suivantes :
a) y = sin(x2 + 1)
3.1. EXERCICES
11
b) y = cos(2πt)
c) y = cot(x)/ sin(x)
d) y = (sin(x) + cos(x))/(sin(x) − cos(x))
e) y = arcsin(5x)
9. On donne le graphe de la fonction dérivée f 0 d’une fonction f . Que peut-on dire
de f (x) (maxima, minima, points d’inflexion, croissance, décroissance, etc ...) ?
Dessiner grossièrement f (x) si on suppose f (0) = 0.
y
6
1
a)
1
−1
b)
x
−3 −2 −1
1
2
3
-
−1
−1
10. Le rayon d’une sphère augmente de 0.25 m/sec. Lorsque le rayon vaut 3 m,
quelle est la vitesse de variation
a) de la surface de la sphère ?
b) du volume de la boule ?
11. Le volume d’un cône est donnée par la formule :
V(r, h) =
πr 2 h
3
où r est le rayon du disque formant la base du cône, et h est la hauteur du cône.
Calculer la dérivée partielle de cette fonction par rapport à r.
4
Intégrales, aire sous la courbe et
primitives
4.1
Rappels et exercices
Dans la suite, f : [a, b] → R et g : [a, b] → R désignent des fonctions continues.
Rappel 1. Une primitive de f est une fonction F : [a, b] → R dérivable vérifiant F0 = f . Si primitive
F0 = f , les autres primitives de f sont de la forme F + constante.
Remarquons que pour vérifier qu’une fonction F donnée est bien une primitive
d’une autre fonction f donnée, il suffit de dériver F. Par contre, la seule connaissance
de f ne permet pas toujours de manière simple d’écrire une formule pour une primitive. C’est grâce à la pratique que l’on finit par pouvoir déterminer des primitives d’un
nombre de plus en plus grand de fonctions. C’est l’objet de la plupart des exercices
ci-après.
Avant de proposer des « trucs » pour intégrer tel ou tel type de fonction, rappelons
que l’intégration est un processus linéaire, c’est-à-dire :
linéaire
Rappel 2. Pour tout α ∈ R, pour toutes fonctions continues f et g :
Z
Z
Z
Z
Z
αf = α f
(f + g) = f + g.
Polynômes et puissances
Rappel 3. Pour α , −1 :
Z
xα dx =
1 α+1
x
α+1
Z
x
−1
Z
=
1
dx = ln |x|
x
Trouver une primitive pour chacune des fonctions suivantes
x3 + 3x + 1
1.
√
x
2. x
2x3
4. √
x
5. (y 2 + y −2 )2
√
6. x(1 − x)2
2
3. 3(x2 + 1)2
7. (3x2 − 6x)3 (x − 1)
13
14
CHAPITRE 4. INTÉGRATION
Intégration par changement de variable
Rappel 4. Si l’on pose x = Φ(t),
Z
Z
f (x) dx = f (Φ(t))Φ 0 (t) dt
t=Φ −1 (x)
(où la barre verticale signifie qu’après avoir intégré par rapport à t, on remplace t par
Phi −1 (x) ; ici Φ −1 est la réciproque de Φ.)
On retiendra et manipulera aisément cette formule en écrivant x = Φ(t) ⇒ dx = Φ 0 (t) dt.
Il n’est pas toujours nécessaire d’expliciter t en fonction de x : pour calculer
Z
√
(t + 1) t 2 + 2t − 1 dt
on pose x = t 2 + 2t − 1, de sorte que dx = 2(t + 1) dt, dont on tire :
Z
Z
√
√
1
2
(t + 1) t + 2t − 1 dt =
2(t + 1) t 2 + 2t − 1 dt
2
Z
3
1 √
1 3
1
2
=
x dx = x + C = (t 2 + 2x − 1) 2 + C
2
2
3
x=t +2t−1 3
√
1. sin2 (x2 + 1) cos(x2 + 1)x
√
2. 3t t 2 + 6
10.
3. 3y 2 cos(y 3 + 4)
1
4.
x+2
5. tan x
x
6.
2 − 7x2
1
7.
x(1 + ln(x))
1
8.
tan x sin x
x3
9.
pour b ∈ R
4x4 + b
12. (1 + e3x )2 e3x
2+t
√
11. 1 + ex ex
13.
14.
15.
1
√ √
(2 + x) x
ln x
x(1 − ln2 (x))
1 + cos x
x + sin x
16. cot xeln sin
17.
e
2x
√
x +x
√
x
L’exponentielle
Rappel 5.
Z
ex dx = ex
Ex. 4.1. Trouver une primitive pour chacune des fonctions suivantes
4.1. RAPPELS ET EXERCICES
15
etan(y)
cos2 y
1. 52x
2. esin(2t) cos(2t)
4.
e x
3. √
x
5. (e2x − e−2x )2
√
Inverse d’un trinome
Rappel 6.
Z
dx
= arctan x
2
x +1
Z
dx
1 x − 1 = ln x2 − 1 2 x + 1 ±1
Grâce à ces formules, on intègrera toute les fonctions de la forme (x+α)
2 ±β2 par le changement
x+α
de variable t = β .
1.
Ex. 4.2.
1
x2 − 5
1
3.
5x − x2
1
4. 2
x +4
1
2x − 10 − x2
5.
1
9x2 − 1
2.
6.
7.
4
5x2 + 6x + 7
4
5x2 − 7x − 6
Inverse de la racine carrée d’un trinome
Rappel 7.
Z
√
dx
2
= ln x + x + 1
√
x2 + 1
Z
√
dx
x2 − 1
√
2
= ln x + x − 1
Grâce à ces formules, on intègrera toute les fonctions de la forme √
ment de variable t =
1. √
Ex. 4.3.
2. √
3. √
4. √
x+α
β .
1
5. √
4 − 9x2
1
6. √
x2 + 2x
1
7. √
9 − 8x + 7x2
1
1
2x − x2
2
5 − 4x − 3x2
6
9 − 8x + 7x2
x2 + 3x + 2
Intégration par parties
Rappel 8.
Z
0
fg =fg−
Z
f 0g
Z
√
dx
1 − x2
±1
(x+α)2 ±β2
= arcsin x
par le change-
16
CHAPITRE 4. INTÉGRATION
Exemple.
Z
Z Z
Z
1
ln x dx =
ln x1 dx = (ln x)x −
· x = x ln(x) − x = x(ln(x) − 1)
x
2 x
Ex. 4.4.
1. x3 arctan(x)
7. x sin
2
2. x3 ln(x)
xex
8. e2x sin x
3.
(1 + x)2
9. x sin x
4. y 2 sin(2y)
10. xex
5. x2 e3x
6. sin(x) cos(3x)
11. x2 cos x
Fonctions trigonométriques
Rappel 9.
Z
sin x dx = − cos x
Z
cos x dx = sin x
Z
tan x dx = − ln |cos x|
Z
x sin(2x)
−
2
4
Z
x 1
dx = ln tan
sin x
2 sin2 x dx =
√
cos( x)
Ex. 4.5.
1.
√
x
2. tan2 (x)
4.2
3.
1
1 − sin(3x)
4. cos(πx)
Applications à la physique
1. La position d’un mobile s’exprime en fonction du temps par
x(t) =
sin(πt)
t
lorsque le temps est en secondes, et la position est exprimée en mètres ; l’argument du sinus étant exprimé en radians. Que vaut la vitesse à l’instant t = 0.5 s ?
2. La vitesse d’un mobile est donnée en fonction du temps par l’expression v(t) =
−3e−3t , où v est exprimée en mètres par seconde, et t en secondes.
Sachant que le mobile se trouve à la position x = 3 m à l’instant t = 0 s, établissez
l’équation horaire du mobile. À quelle position se trouve le mobile à l’instant
t = 1s ?
4.2. APPLICATIONS À LA PHYSIQUE
17
3. La vitesse d’un mobile est donnée en fonction du temps par l’expression v(t) =
2
t+1 . Sachant que le mobile se trouve à la position x = 3 à l’instant t = 0, établissez
l’équation horaire du mobile. À quelle position se trouve le mobile à l’instant
t = 2?