Convergences et approximations I Loi faible des grands nombres

(Ω,T, P )
X: Ω −→ R
∀ε > 0, P |X−E(X)|>ε6
X X µ
X
X(Ω) = {xi∈R|i∈N} ∀i∈N, pi=P([X=xi])
V(X) = E(X−µ)2=
+∞
X
i=0
pi(xi−µ)2µ=E(X)
ε > 0
P(|X−µ|>ε) = X
j∈J
pjJ={j∈I| |xj−µ|>ε}
V(X) = X
j∈J
pj(xj−µ)2+X
i/∈J
pi(xi−µ)2
V(X)>X
j∈J
pj(xj−µ)2∀j∈J, |xj−µ|2>ε2
V(X)>ε2X
j∈J
pj
V(X)>ε2P(|X−µ|>ε)
P(|X−E(X)|>ε)6V(X)
ε2
X
V(X) = Z+∞
−∞
(t−µ)2f(t)t

|X−E(X)|>ε X ε
E(X)P(|X−E(X)|>ε)X
E(X)V(X)
X ε
X
µ=E(X), σ =σ(X)ε=k σ,
(Xn)n∈N∗(Ω,T, P )
µ σ2
Xn=X1+X2+··· +Xn
n
∀ε > 0,lim
n−→+∞P|Xn−µ|>ε=. . . . . .
(Xn)µ
E(Xn) = 1
n
n
X
i=1
E(Xi) =
V(Xn) = 1
n2
n
X
i=1
V(Xi) =
ε > 0
06P|Xn−µ|>ε6
lim
n−→+∞P|Xn−µ|>ε=
S
p Xi
S i Xn
S n
p n +∞

N
(Xn)n∈NΩN
YN
(Xn)n∈NY
∀k∈N,lim
n−→+∞P(Xn=k) =
Xn
L
−→
(n→+∞)Y
XnBn , λ
n
P(Xn=k) = −→
(n→+∞)
n>50, p 60,1np < 10 B(n, p)
P(np)
XB(100 ; 0,05)
P(X= 2)
P(X= 2) = 100
2(0,05)2(0,95)98 ≈
B(100 ; 0,05) P(5)
P(X= 2) ≈

(Xn)n∈N(Ω,T, P )Fn
Xn
(Xn)n∈NY
G
x G
(Fn(x))n∈N. . .
n∈N∗, Xn
0,1
n,2 n,··· ,n−1 n
∀k∈[[0 , n −1]], P Xn=k
n=1 n
(Xn)n∈N∗

(Xn)Y
G
a b G a < b
lim
n−→+∞P(a<Xn6b) =
(Xn)n∈N∗(Ω,T, P )
Xnµ
σ2
∀n∈N∗, Xn=1
n
n
X
k=1
XkX∗
n=Xn−µ
σ/√n
(X∗
n)n∈N∗U
N(0,1)
 a b a < b
lim
n−→+∞P(a<X∗
n6b) =
 Sn=
n
X
i=1
Xi=Sn=
n
Sn