1 Caractéristiques de la conique Afin de mieux spécifier les

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Caract´eristiques de la conique
Afin de mieux sp´ecifier les propri´et´es de la conique qui est d´ecrite par le point M
autour du point A, on fait dans la suite intervenir une constante d’int´egration li´ee
`a l’´energie, en appliquant le th´eor`eme de l’´energie cin´etique tel qu’il est mat´erialis´e
par l’´equation (I.9).
d1
2mV 2−~
F .~ Vdt= 0 (II.36)
Ici md´esigne la masse du point M,~ Vsa vitesse par rapport `a A(~ V=d~
AM
dt) et ~
F
d´esigne l’ensemble des forces qui s’exercent sur Met qui se r´eduisent ici `a la seule
force de gravitation exerc´ee par A. D’apr`es (II.12) et (II.16) on peut ´ecrire :
~
F=md2~
AM
dt2=−Km r2~u (II.37)
ce qui permet d’´ecrire, en int´egrant (II.36) et avec l’aide de (II.17) :
1
2mV 2+ZKm r2.dr dt.dt=1 2mV 2−Km r=E(II.38)
o`u Ed´esigne une constante. Posons :
h=E
m(II.39)
hest g´en´eralement appel´ee la constante des forces vives. (II.38) peut encore s’´ecrire :
V2= 2h+2K
r(II.40)
En utilisant (II.17), et (II.22) on peut exprimer la formule du carr´e de la vitesse
en coordonn´ees polaires, en ne faisant plus intervenir le temps t:
V2= (d~
AM
dt)2=dr2+r2dθ2 dt2=C2(dr2+r2dθ2) r4dθ2(II.41)

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L’association de (II.40) et (II.41) donne ainsi :
dr2
r4dθ2+1 r2−2K C2r−2h C2= 0 (II.42)
Pour r´esoudre cette ´equation, on effectue le changement de variable suivant :
u=1
r−K C2
du
dθ=−1 r2(dr dθ) (II.43)
Ainsi, (II.42) est transform´ee en :
(du
dθ)2+u2−K2 C4+2h C2= 0 (II.44)
On suppose que la quantit´e entre parenth`eses soit positive (autrement l’´equation
n’admet pas de solution r´eelle) et on l’appelle H2. On obtient ainsi :
(du
dθ)2=H2−u2(II.45)
La r´esolution de cette ´equation est imm´ediate :
u=Hcos(θ−θ0) (II.46)
o`u θ0est une constante. En utilisant (II.43), cela donne :
1
r=K C21 + s1 + 2C2h K2cos(θ−θ0(II.47)
On retrouve ainsi l’´equation d’une conique dont le foyer est A, et dont les propri´et´es
vont d´ependre des diff´erentes constantes impliqu´ees dans l’´equation.
Param`etres de la conique
Pour mieux comprendre les propri´et´es de cette conique, on fait intervenir les
param`etres suivants :

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p=C2
K(II.48)
e=s1 + 2C2h
K2=s1 + 2hp K(II.49)
v=θ−θ0(II.50)
Avec l’aide de ces substitutions, l’´equation (II.47) devient :
r=AM =p
1 + ecos v(II.50)
pest appel´e param`etre de la conique,eson excenticit´e. Son demi-grand axe
as’obtient `a l’aide de ces deux param`etres, suivant l’´equation :
a=p
(1 −e2)(II.51)
. L’angle vest appel´e anomalie vraie. On remarque que la distance rest minimale
lorsque v= 0. Mse trouve alors au p´eriastre. La distance au p´eriastre, souvent
appel´ee q, est donc :
rmin =q=p
1 + e=a(1 −e) (II.52)
A l’oppos´e, la distance rmaximale, appel´ee Q, s’obtient lorsque le point Mse trouve
`a l’apoastre, ce qui correspond `a v=π:
rmax =Q=p
1−e=a(1 + e) (II.53)
Nature de la conique
La nature de la conique d´epend uniquement de la valeur de h. C’est une ellipse,
une parabole ou bien une hyperbole selon que hest n´egatif, nul ou bien positif. En
effet, d’apr`es (II.40), on a :
2h=V2−2K
r=V2
0−2K
r0
(II.54)

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o`u r0et V0sont respectivement le rayon vecteur et le module de la vitesse `a un
instant quelconque t0pris pour origine. Appelons Vpla quantit´e :
Vp=s2K
r0
(II.55)
Les cas de figure sont alors les suivants :
•Si V0< Vp,h < 0 et la trajectoire est elliptique
•Si V0=Vp,h= 0 et la trajectoire est parabolique
•Si V0> Vp,h > 0 et la trajectoire est hyperbolique
On v´erifie bien que l’´equation (II.54) ne peut ˆetre v´erifi´ee lorsque r→+∞, dans
le cas elliptique (h < 0), et que le cas limite (V→0 quand r→+∞) correspond
au cas parabolique.
Relation entre demi-grand axe aet p´eriode de r´evolution T.
On d´efinit ici Tla p´eriode de r´evolution de Mautour de A. L’aire d’une ellipse
´etant ´egale `a :
Aellipse =πab =πa2√1−e2(II.56)
D’apr`es la d´efinition de la constante des aires Cet des ´egalit´es (II.23) et (II.24),
on obtient :
ZT
0
C
2dt=CT 2=πa2√1−e2(II.57)
Soit :
C=2π
Ta2√1−e2=na2√1−e2(II.58)
Avec :
n=2π
T(II.59)
n, qui repr´esente en fait la vitesse angulaire moyenne de M, est appel´ee le moyen
mouvement. Mais d’apr`es (II.48),
C2=Kp =Ka(1 −e2) (II.60)

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En ´elevant au carr´e les membres de l’´equation (II.58), puis en identifiant avec
(II.60), on en d´eduit :
4π2a3
T2=K(II.61)
Cette ´equation permet d’expliquer la troisi`eme loi de K´epler. En effet, si on
consid`ere que chaque plan`ete en interaction gravitationnelle avec le Soleil est une
illustration du probl`eme de deux corps, le rapport du cube de son demi-grand axe
a3sur le carr´e de son temps de r´evolution T2est ´egal `a Kqui dans ce cas de figure
vaut K=k(MS+mP) o`u MSest la masse du Soleil et mPcelle de la plan`ete. Or ce
rapport en premi`ere approximation peut ˆetre suppos´e constant, ´egal `a K≈kMS,
et donc ind´ependant de la plan`ete consid´er´ee, ceci du fait que la masse du Soleil est
bien plus grande que celle des plan`etes. On arrive alors `a la conclusion que le rapport
du cube des demi-grands axes sur le carr´e des temps de r´evolution est constant, dans
les limites de l’approximation ci-dessus.
Enonc´e des lois de K´epler
Dans le chapitre pr´ec´edent, on a vu que dans la cas du probl`eme relatif des deux
corps que sont le Soleil de masse MSet une plan`ete du syst`eme solaire de masse
mP, la constante Kest ´egale `a K=k(MS+mP)≈kMS. Le point origine A
correspond au Soleil, alors que le point Mdont on ´etudie le mouvement correspond
`a la plan`ete. Consid´erer le probl`eme des deux corps dans ce cas revient `a n´egliger
les perturbations gravitationnelles r´eciproques entre la plan`ete et les autres plan`etes
du systˆeme solaire. Dans les limites des approximations ci-dessus, et en vertu des
chapitres pr´ec´edents, on peut ´enoncer les trois fameuses lois de K´epler :
•Premi`ere loi de K´epler
Les trajectoires des plan`etes autour du Soleil sont des courbes planes,
et leurs rayons vecteurs d´ecrivent des aires proportionnelles au temps.
•Seconde loi de K´epler