CORRIG´
EDUDEVOIRLIBREN˚02
EXERCICE1
1.r´esolvonsy′′ 3y+2y=12ex.Onapplique`a lalettrelam´ethodepour
cette´equation di´erentiellelin´eairedordre2.l´equationca-
ract´eristiqueposs`ede
deuxracinesr´eelles
distinctes
solHh(x)=C1ex+C2e2x
SolPy0(x)=2ex
SolGy(x)=2ex+C1ex+C2e2x
2.r´esolvonsy′′ 4y+13y=8cos(x)+16 sin(x).Mˆemem´ethodeen´eraleque
pourlapremi`ere´equation.l´equationca-
ract´eristiqueposs`ede
deuxracinescomplexes
etconjugu´ees
solHh(x)=C1cos(3x)+C2sin(3x)e2x
SolPCommelesecond membre estunesuperposition defonctions
trigo,on passe encomplexes.Unesolution particuli`eredel’´equation
complexi´ee
˜y′′ 4˜y+13˜y=eix
est˜y0(x)=3+i
40 eix.Onen d´eduitquelesfonctionsy01(x)=8
403cos(3x)sin(x)
y02(x)=16
40cos(x)+3sin(x)
sontdes solutionsparticuli`eresdes´equations
y′′ 4y+13y=8cos(x)
y′′ 4y+13y=16 sin(x)
Dapr`esleprincipedesuperposition, il sensuitquey0(x)=cos(x)+
sin(x)estunesolution particuli`ere.
SolGFinalementy(x)=cos(x)+sin(x)+C1cos(3x)+C2sin(3x)e2x
3.r´esolvonsy′′ 4y+4y=2e2x.l´equationca-
ract´eristiqueposs`ede
uneraciner´eelle
double
solHh(x)=(C1+C2x)e2x
SolPy0(x)=x2e2x
SolGy(x)=(C1+C2x+x2)e2x
EXERCICE2
Soitlafonctionfd´efinieparf(x)=ex,onapour toutxR,
(1+x)f′′(x)2f(x)+(1x)f(x)=0,
doncfestsolution del’´equation homog`ene(H2)associ´ee `a (E).
Soityetzdeuxfonctionsd´efinies surRtellesquexR,y(x)=z(x)ex,
on peut remarquerque(yetzsontsimultan´ementdeuxfoisd´erivables),
1.y(x)=ex(z(x)+z(x)),y′′(x)=ex(z′′ (x)+2z(x)+z(x)).
(ySE(R)) (xR,(1+x)z′′ (x)+2xz(x)=(1+x)3).
1
2.Soitl’´equation di´erentielle(E1):(1+x)y+2xy=(1+x)3.
L´equation homog`eneassoci´ee `a (E1)apoursolutionZ(x)=A(1+x)2e2x
etlam´ethodedevariation delaconstanteaboutit`a A(x)=e2x.0nobtient
finalement:
(ySE(R)) (zSE1(R)).
SE1(R)={RR:x7→ 1
2(1+x)2+λ(1+x)2e2x,λR}
Apr`esavoir trouv´euneprimitivedex7→ (1+x)2e2x,
(α,β)R2,x,z(x)=x3
6+x2
2+x
2+β+α(5+6x+2x2)ex,
SE(R)=x7→ x3
6+x2
2+x
2+βex+α(5+6x+2x2)ex,(α,β)R2
N
EXERCICE3
Soitf:RRunefonctioncontinuev´eriantlapropri´et´e:
()pour toutxR,f(x)=1Zx
0
(2xt)f(t)dt
1.Commen¸conspar remarquerques´ecritencoreparlin´earit´edel’int´egrale
()pour toutxR,f(x)=12xZx
0
f(t)dt+Zx
0
tf(t)dt.
Souscetteforme, il apparaˆıtclairementisntit?quefestd´erivable
dansR.Eneet, lesfonctionst7→ f(t)ett7→ tf(t)´etantcontinuesdans
R, leth´eor`emefondamentaldu calcul int´egral,(TFCIpourlesintimes...)
sapplique: lesfonctionsF:x7→ Zx
0
f(t)dtetG:x7→ Zx
0
tf(t)dtsont
d´erivablesdansR.Pluspr´ecis´ement, il sagitdesprimitivesdesfonctions
pr´ec´edentes sannulanten0.s´enonce alors:
pour toutxR,f(x)=12xF(x)+G(x).(1)
Onen d´eduitais´ementparOPAquefestd´erivabledansRetquesafonction
d´eriv´ee v´erie:
pour toutxR,f(x)=2F(x)2xf(x)+xf(x)=2F(x)xf(x)
(2)
CommefetFsontd´erivablesdansR, lafonctionfapparaˆıtcommeune
sommedefonctionsd´erivables.Elle estdoncd´erivableinturn,andsatises:
forall xR,f′′(x)=2f(x)xf(x)+f(x) (3)
Inotherwords,fis solutionofthesecond orderdierentialequation
y′′ +xy+3y=0
Moreover, fromtheabove expressionsinvolvingfanditsrstderivative
(namely(1)and(2)),one caneasilydeduce that
f(0)=1andf(0)=0
2
Asaresult,we get thatfisactuallysolutiononRofthesecond order
Cauchysproblem:
y′′ +xy+3y=0(L)
y(0)=1,y(0)=0
N
2.R´esolution de(L)
a.Soiy:RRunefonction deuxfoisd´erivabledansR.On d´efinitlafonction
z:RRpary(x)=z(x)ex2
2.
Remarquonstoutdabordquepour toutxR,z(x)=y(x)ex2
2.Ainsi, y
´etantleproduitdedeuxfonctionsdeuxfoisd´erivables,elle estelle-mˆeme
deuxfoisd´erivable.Deplus,pour toutxRona:
3×y(x)=z(x)ex2
2
+x×y(x)=z(x)xz(x)ex2
2
+1×y′′(x)=z′′ (x)2xz(x)+(x21)z(x)ex2
2
Ainsi, pour toutxR,y′′(x)+xy(x)+3y(x)=z′′ (x)xz(x)+2z(x)ex2
2
etparsuite,pour toutxR
y′′(x)+xy(x)+3y(x)=0z′′ (x)xz(x)+2z(x)=0,
autrementdit,yestsolution de(L)surRsietseulementsizestsolution
de
(D)z′′ xz+2z=0
N
b.Cherchonsunesolution polynomialehde(D).Enexaminantl´equation(D),
on peutavoirl’id´ee de chercherhdedegr´e2.Pourles sceptiques,admettons
quehsoitunesolution polynomialededegr´enNde(D):
h(x)=anxn+an1xn1+···+a0,avec an6=0
Ence cas, l’´equationh′′ xh+2h=0,estune´egalit´epolynomiale.Iden-
tionslescoecientsdedegr´en.Ilvient:
0nan+2an=0,
Commeannestpasnul, il sensuitquen´ecessairementn=2.
Ceci´etant,cherchonsdoncunesolutionhde(D),polynomialededegr´e2,
desortequepour toutxR,h(x)=ax2+bx+c.Ence cas,
2×h(x)=ax2+bx+c
x×h(x)=2ax+b
+1×h′′ (x)=2a
Paridentication descoecients, il enr´esulteque
hestsolution de(D)sietseulementsi
2a+2c=0
3b=0
2a2a=0
3
Parcons´equent, les solutionspolynomialede(D),sontlesfonctionsdela
forme
h(x)=a(x21).
Apresent,d´eterminonsunesolution dedelaformea(x21)ex2
2.
Analyse:Soitf:x7→ a(x21)ex2
2unesolution de.
Dapr`esce quipr´ec`edefdoitˆetresolution du probl`emedeCauchy
y′′ +xy+3y=0
y(0)=1,y(0)=0
Or,sif(0)=a,etf(0)=0.Parcons´equent,pourquefsoitsolution
de, il estn´ecessairequeasoit´egal`a 1.
Synth`ese:v´erionsquef:x7→ (x21)ex2
2estsolution de.
Parconstruction,fv´erie:
pour toutxR,f′′(x)=xf(x)3f(x)
Lesdeuxmembresde cette´egalit´efonctionnellesontdesfonctiosn
continues surR.Ellesadmettentdonclamˆemeprimitivequisannule
en0.Commef(0)=1, il vient,enint´egrant terme`a terme:
pour toutxR,f(x)=2Zx
0
f(t)dtxf(x)
Finalement,enconsid´erantlesprimitivesdesdeuxmembresprenant
lavaleur1en0, il vient
pour toutxR,f(x)=12xZx
0
f(t)dt+Zx
0
tf(t)dt,
ce quiprouvepr´ecis´ementquefestsolution de.N
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