2.Soitl’´equation diff´erentielle(E1):(1+x)y′+2xy=(1+x)3.
L’´equation homog`eneassoci´ee `a (E1)apoursolutionZ(x)=A(1+x)2e−2x
etlam´ethodedevariation delaconstanteaboutit`a A′(x)=e2x.0nobtient
finalement:
(y∈SE(R)) ⇐⇒ (z′∈SE1(R)).
SE1(R)={R→R:x7→ 1
2(1+x)2+λ(1+x)2e−2x,λ∈R}
Apr`esavoir trouv´euneprimitivedex7→ (1+x)2e−2x,
∃(α,β)∈R2,∀x,z(x)=x3
6+x2
2+x
2+β+α(5+6x+2x2)e−x,
SE(R)=x7→ x3
6+x2
2+x
2+βex+α(5+6x+2x2)e−x,(α,β)∈R2
N
EXERCICE3
Soitf:R→Runefonctioncontinuev´erifiantlapropri´et´e:
(⋆)pour toutx∈R,f(x)=−1−Zx
0
(2x−t)f(t)dt
1.Commen¸conspar remarquerque⋆s’´ecritencore–parlin´earit´edel’int´egrale–
(⋆)pour toutx∈R,f(x)=−1−2xZx
0
f(t)dt+Zx
0
tf(t)dt.
Souscetteforme, il apparaˆıtclairement–isn’tit?–quefestd´erivable
dansR.Eneffet, lesfonctionst7→ f(t)ett7→ tf(t)´etantcontinuesdans
R, leth´eor`emefondamentaldu calcul int´egral,(TFCIpourlesintimes...)
s’applique: lesfonctionsF:x7→ Zx
0
f(t)dtetG:x7→ Zx
0
tf(t)dtsont
d´erivablesdansR.Pluspr´ecis´ement, il s’agitdesprimitivesdesfonctions
pr´ec´edentes s’annulanten0.⋆s’´enonce alors:
pour toutx∈R,f(x)=−1−2xF(x)+G(x).(1)
Onen d´eduitais´ementparOPAquefestd´erivabledansRetquesafonction
d´eriv´ee v´erifie:
pour toutx∈R,f′(x)=−2F(x)−2xf(x)+xf(x)=−2F(x)−xf(x)
(2)
CommefetFsontd´erivablesdansR, lafonctionf′apparaˆıtcommeune
sommedefonctionsd´erivables.Elle estdoncd´erivableinturn,andsatisfies:
forall x∈R,f′′(x)=−2f(x)−xf′(x)+−f(x) (3)
Inotherwords,fis solutionofthesecond orderdifferentialequation
y′′ +xy′+3y=0
Moreover, fromtheabove expressionsinvolvingfanditsfirstderivative
(namely(1)and(2)),one caneasilydeduce that
f(0)=−1andf′(0)=0
2