HST-2901 Histoire des mathématiques

HST-2901 Histoire des math´ematiques
Exercices 7: Fermat et Descartes, Cavalieri
1. En 1637, Descartes a utilis´e la m´ethode des coefficients ind´etermin´es pour r´esoudre
l’´equation quartique
x4+bx2+cx +d= 0
en proc´edant comme suit. Posons
x4+bx2+cx +d= (x2+kx +h)(x2−kx +m).
En comparant les coefficients de chaque puissance de x, on obtient trois ´equations pour
les inconnues h, k, m, qu’on peut ramener `a une ´equation de degr´e 6 pour k, qui est en
fait une ´equation cubique pour k2. Encore une fois, l’´equation de degr´e 4 est ramen´ee
`a une ´equation cubique.
(a) Compl´eter les d´etails dans le cas particulier de l’´equation
x4−2x2+ 8x−3 = 0
(b) V´erifier que 4 est une solution de l’´equation cubique associ´ee, et en d´eduire les
solutions de l’´equation originale.
2. (a) Montrer que si mest impair, alors le polynˆome xm+ 1 est divisible par x+ 1, en
´ecrivant explicitement la factorisation.
(b) D´eduire que si un nombre de la forme 2N+1 est premier, alors Nest une puissance
de 2. [Les nombres de la forme 22n+ 1 sont appel´es les nombres de Fermat.]
3. (a) Montrer que si met nsont des nombres naturels, alors le polynˆome xmn −1 est
divisible par xm−1, en ´ecrivant explicitement la factorisation.
(b) D´eduire que si un nombre de la forme 2N−1 est premier, alors Nest premier.
[Un nombre de la forme 2p−1 est appel´e un nombre de Mersenne.]
4. En utilisant la m´ethode de Fermat, d´eterminer la sous-tangente `a l’ellipse x2/9+y2/4 =
1 au point (3√3/2,1).
5. Utiliser le principe de Fermat pour montrer la loi de r´eflexion `a l’effet que l’angle
d’incidence est ´egal `a l’angle de r´eflexion.
6. D´eterminer la valeur maximale de bx−x3pour x > 0 en utilisant la m´ethode d’ad´equation
de Fermat.
7. Fermat avait utilis´e sa m´ethode d’ad´equation pour d´eterminer la forme du plus grand
cylindre que peut ˆetre inscrit dans une sph`ere donn´ee: le rapport de la hauteur au
diam`etre de la base est 1/√2. Retrouver ce r´esultat.

8. Utiliser la m´ethode de Fermat pour montrer la formule
Zb
0
xndx =bn+1
n+ 1
o`u maintenant n=p/q o`u p, q ∈N. [Suggestion: commencer le calcul comme fait en
classe, et poser s=r1/q `a la fin du calcul.]
9. Utiliser le principe de Cavalieri pour montrer que le volume d’un parabolo¨ıde inscrit
dans un cylindre est la moiti´e du volume du cylindre, en montrant que le volume du
parabolo¨ıde est ´egal `a celui de son compl´ement (par rapport au cylindre). [Suggestion:
placer un des cylindres la tˆete en bas.]
10. Le tore est le solide engendr´e quand un cercle de rayon r < R situ´e, disons, dans le
plan yz et centr´e en (0, R, 0), tourne autour de l’axe des z(penser `a la surface d’un
beigne). En utilisant le deuxi`eme principe de Cavalieri, montrer que le volume du tore
est 2π2Rr2.
11. On consid`ere un cylindre vertical de rayon r, qu’on coupe par un plan inclin´e qui passe
par un diam`etre de la base du cylindre, d´elimitant ainsi un solide qu’on appellera un
sabot. Utiliser le deuxi`eme principe de Cavalieri pour d´eterminer le volume du sabot
en fonction de ret de sa hauteur h. (R´eponse: 2hr2/3).
Figure 1: Un sabot