HST-2901 Histoire des mathématiques

HST-2901 Histoire des mathématiques
Exercices 7: Fermat et Descartes, Cavalieri
1. En 1637, Descartes a utilisé la méthode des coefficients indéterminés pour résoudre
l’équation quartique
x4 + bx2 + cx + d = 0
en procédant comme suit. Posons
x4 + bx2 + cx + d = (x2 + kx + h)(x2 − kx + m).
En comparant les coefficients de chaque puissance de x, on obtient trois équations pour
les inconnues h, k, m, qu’on peut ramener à une équation de degré 6 pour k, qui est en
fait une équation cubique pour k 2 . Encore une fois, l’équation de degré 4 est ramenée
à une équation cubique.
(a) Compléter les détails dans le cas particulier de l’équation
x4 − 2x2 + 8x − 3 = 0
(b) Vérifier que 4 est une solution de l’équation cubique associée, et en déduire les
solutions de l’équation originale.
2. (a) Montrer que si m est impair, alors le polynôme xm + 1 est divisible par x + 1, en
écrivant explicitement la factorisation.
(b) Déduire que si un nombre de la forme 2N +1 est premier, alors N est une puissance
n
de 2. [Les nombres de la forme 22 + 1 sont appelés les nombres de Fermat.]
3. (a) Montrer que si m et n sont des nombres naturels, alors le polynôme xmn − 1 est
divisible par xm − 1, en écrivant explicitement la factorisation.
(b) Déduire que si un nombre de la forme 2N − 1 est premier, alors N est premier.
[Un nombre de la forme 2p − 1 est appelé un nombre de Mersenne.]
4. En utilisant la√méthode de Fermat, déterminer la sous-tangente à l’ellipse x2 /9+y 2 /4 =
1 au point (3 3/2, 1).
5. Utiliser le principe de Fermat pour montrer la loi de réflexion à l’effet que l’angle
d’incidence est égal à l’angle de réflexion.
6. Déterminer la valeur maximale de bx−x3 pour x > 0 en utilisant la méthode d’adéquation
de Fermat.
7. Fermat avait utilisé sa méthode d’adéquation pour déterminer la forme du plus grand
cylindre que peut être inscrit
√ dans une sphère donnée: le rapport de la hauteur au
diamètre de la base est 1/ 2. Retrouver ce résultat.
8. Utiliser la méthode de Fermat pour montrer la formule
Z b
0
bn+1
x dx =
n+1
n
où maintenant n = p/q où p, q ∈ N. [Suggestion: commencer le calcul comme fait en
classe, et poser s = r1/q à la fin du calcul.]
9. Utiliser le principe de Cavalieri pour montrer que le volume d’un paraboloı̈de inscrit
dans un cylindre est la moitié du volume du cylindre, en montrant que le volume du
paraboloı̈de est égal à celui de son complément (par rapport au cylindre). [Suggestion:
placer un des cylindres la tête en bas.]
10. Le tore est le solide engendré quand un cercle de rayon r < R situé, disons, dans le
plan yz et centré en (0, R, 0), tourne autour de l’axe des z (penser à la surface d’un
beigne). En utilisant le deuxième principe de Cavalieri, montrer que le volume du tore
est 2π 2 Rr2 .
11. On considère un cylindre vertical de rayon r, qu’on coupe par un plan incliné qui passe
par un diamètre de la base du cylindre, délimitant ainsi un solide qu’on appellera un
sabot. Utiliser le deuxième principe de Cavalieri pour déterminer le volume du sabot
en fonction de r et de sa hauteur h. (Réponse: 2hr2 /3).
Figure 1: Un sabot