Trigonométrie - CEMC - University of Waterloo

Le Centre d’´ education
en math´ ematiques et en informatique
Ateliers en ligne Euclide
Atelier no4
Trigonom´ etrie
c
2014 UNIVERSITY OF WATERLOO

Ateliers en ligne Euclide Atelier no#4 TRIGONOM´ ETRIE
BOˆ ITE ` A OUTILS
Description Formule
1. Loi des sinus a
sin A=b sin B=c sin C= 2R,R´
etant le rayon du cercle circonscrit
B
AC
ca
b
R
2. Loi du cosinus a2=b2+c2−2bc cos A
b2=a2+c2−2ac cos B
c2=b2+a2−2ab cos C
3. Aire d’un triangle ABC |4ABC|=1
2ab sin C=1 2bc sin A=1 2ca sin B.
4. Aire d’un triangle ´ equilat´ eral L’aire est ´ egale ` a√3c2
4,c´
etant la longueur d’un cˆ ot´ e.
5. Formule de H´ eron |4ABC|=pp(p−a)(p−b)(p−c),
(aire d’un triangle ABC)p´ etant le demi-p´ erim` etre : p=a+b+c
2
6. Identit´ es trigonom´ etriques tan θ=1
cotan θ=sin θ cos θsec θ=1 cos θcosec θ=1 sin θ
sin2θ+ cos2θ= 1 tan2θ+ 1 = sec2θ1 + cotan2θ=cosec2θ
7. Angles suppl´ ementaires sin(180◦−θ) = sin θ
cos(180◦−θ) = −cos θ
8. Savoir tracer la y=Asin(kx +d)(amplitude A, p´ eriode 2π
k, d´
ephasage −d
k)
repr´ esentation graphique de : y=Acos(kx +d)(amplitude A, p´ eriode 2π
k, d´
ephasage −d
k)
y= tan x
LECENTRE D’´ EDUCATION EN MATH ´ EMATIQUES ET EN INFORMATIQUE 2

Ateliers en ligne Euclide Atelier no#4 TRIGONOM´ ETRIE
EXEMPLES DE PROBL ` EMES
1. D´ eterminer les racines de l’´ equation 2 sin3x−5 sin2x+ 2 sin x= 0 dans l’intervalle 0≤x≤2π.
Solution
On factorise le membre de gauche :
2 sin3x−5 sin2x+ 2 sin x= 0
sin x(2 sin2x−5 sin x+ 2) = 0
sin x(2 sin x−1)(sin x−2) = 0
Donc sin x= 0 (d’o` ux= 0,x=πou x= 2π), sin x=1
2(d’o`
ux=π
6ou x=5π 6) ou sin x= 2 (qui n’admet
aucune solution, car −1≤sin x≤1).
2. Un avion quitte un porte-avion et se d´ eplace en direction sud ` a une vitesse de 400 km/h. Le porte-avion se
d´ eplace en direction 300◦` a une vitesse de 32 km/h. L’avion a suffisamment de carburant pour un vol de 4 h.
Quelle est la distance maximale qu’il peut franchir vers le sud de mani` ere qu’il puisse revenir sur le porte-avion ?
Solution
On commence par un dessin. Soit xle nombre d’heures pendant lesquelles l’avion se dirige vers le sud. La
distance qu’il parcourt est ´ egale ` a400xkm. Pour revenir, l’avion parcourt une distance de 400(5 −x)km en
5−xheures. Pendant les 5 heures, le porte-avion parcourt 5(32) km, ou 160 km. La direction du porte-avion
est mesur´ ee ` a partir du nord et l’angle est balay´ e dans le sens des aiguilles d’une montre. Il y a donc un angle de
120◦entre la direction sud et la direction du porte-avion. D’apr` es la loi du cosinus, on a :
(400(5 −x))2= 1602+ (400x)2−2·160 ·400x·cos 120◦
400x
400(5 x)
160
t
Or cos 120◦=−1
2. On divise chaque membre par 6400 pour obtenir 25(5 −x)2= 4 + 25x2+ 10x, d’o`
u
x=621
260. Donc avant de revenir, l’avion peut parcourir 400 ×621 60 km, ou environ 955,4 km.
3. Soit un triangle ABC. On consid` ere le point D, sur le cˆ ot´ eBC, de mani` ere que AD soit la bissectrice de
l’angle A. D´ emontrer que AB
BD =AC CD .
A
DC
B
θ
LECENTRE D’´ EDUCATION EN MATH ´ EMATIQUES ET EN INFORMATIQUE 3

Ateliers en ligne Euclide Atelier no#4 TRIGONOM´ ETRIE
Solution
Les rapports sugg` erent l’utilisation de la loi des sinus. Soit ∠ADC =θ.
Dans le triangle ADC, on obtient
sin A
2
CD =sin θ AC , d’o`
uCD
AC =
sin A
2
sin θ.
Dans le triangle ABD, on obtient
sin A
2
BD =sin(180◦−θ) AB , d’o`
uBD
AB =
sin A
2
sin θ, car sin(180◦−θ) = sin θ.
Donc CD
AC =BD AB , d’o`
uAB
BD =AC CD .
Ce r´ esultat est le th´ eor` eme de la bissectrice d’un triangle.
4. Dans le triangle ABC suivant, ∠C=∠A+ 60◦,BC = 1,AC =ret AB =r2(r > 1).
D´ emontrer que r < √2.
B
C A
r
1r2
60 + αα
Solution
Ce probl` eme ´ etait le dernier probl` eme du concours Euclide 1996, ce qui indique un degr´ e´ elev´ e de difficult´ e.
Comme beaucoup de probl` emes difficiles, il fait appel ` a une vari´ et´ e d’outils.
Soit ∠A=α. Donc ∠C=α+ 60◦et ∠B= 120◦−2α. D’apr` es la loi des sinus :
r2
1=sin(α+ 60◦) sin α
=sin αcos 60◦+ sin 60◦cos α
sin α
=√3
2cotan α+1 2
Puisque la somme des mesures d’angles du triangle est ´ egale ` a180◦, on a 0< α < 60◦. Dans cet intervalle, la
fonction tangente est croissante et son inverse, la fonction cotangente, est d´ ecroissante.
D’apr` es la loi du cosinus :
r2= 1 + r4−2r2cos(120◦−2α) (1)
Or :
(r2−1)2≥0,d’o` ur4+ 1 ≥2r2(2)
On reporte r4+ 1 de l’in´ equation (2) dans l’´ equation (1) pour obtenir r2≥2r2−2r2cos(120◦−2α), d’o` u
cos(120◦−2α)≥1
2.
Donc α≥30◦et r2=√3
2cotan α+1 2, d’o`
ur2≤√3
2·√3 1+1 2, ou r2≤2, ce qu’il fallait d´
emontrer.
LECENTRE D’´ EDUCATION EN MATH ´ EMATIQUES ET EN INFORMATIQUE 4

Ateliers en ligne Euclide Atelier no#4 TRIGONOM´ ETRIE
TROUSSE DE PROBL ` EMES
1. (a) Sachant que 2 sin(2θ) + 1 = 0, d´ eterminer la plus petite valeur positive possible de θ(en degr´ es).
(b) D´ eterminer toutes les racines de l’´ equation 2(sin2θ−cos2θ) = 8 sin θ−5dans l’intervalle −π≤θ≤π.
2. On consid` ere un triangle ABC dans lequel AB = 7.Mest un point sur le cˆ ot´ eBC de mani` ere que BM = 5,
MC = 6 et AM = 3. D´ eterminer la longueur exacte du cˆ ot´ eAC.
56
73
B M C
A
3. Pour d´ eterminer la hauteur MN d’une tour, sur une ˆ ıle, on a choisi deux points, Aet B,` a 100 m l’un de
l’autre, de mani` ere que A,Bet Nsoient situ´ es dans le mˆ eme plan horizontal. On a ensuite mesur´ e pour obtenir
∠NAB = 108◦,∠ABN = 47◦et ∠MBN = 32◦. D´ eterminer la hauteur de la tour au m` etre pr` es.
A
NB
100 m
M
4. Un rectangle P QRS est situ´ e de mani` ere que son cˆ ot´ eP Q soit sur l’axe des abscisses. De plus, ses sommets
Set Rsont situ´ es sur la courbe d´ efinie par y=kcos x. Sachant que le cˆ ot´ eP Q a une longueur de π
3et que le
rectangle a une aire de 5π
3, d´
eterminer la valeur de k.
PQ
S R
y
x
O
π
2
2
π
LECENTRE D’´ EDUCATION EN MATH ´ EMATIQUES ET EN INFORMATIQUE 5