Trigonométrie - CEMC - University of Waterloo

Le Centre d’éducation
en mathématiques et en informatique
Ateliers en ligne Euclide
Atelier no 4
Trigonométrie
c
2014
UNIVERSITY OF WATERLOO
Ateliers en ligne Euclide
Atelier no #4
T RIGONOM ÉTRIE
B O ÎTE À OUTILS
Description
1. Loi des sinus
Formule
a
b
c
=
=
= 2R, R étant le rayon du cercle circonscrit
sin A
sin B
sin C
B
a
c
R
A
C
b
2. Loi du cosinus
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
c2 = b2 + a2 − 2ab cos C
3. Aire d’un triangle ABC
|4ABC| =
1
1
1
ab sin C = bc sin A = ca sin B.
2
2
2
√
4. Aire d’un triangle équilatéral
L’aire est égale à
5. Formule de Héron
|4ABC| =
(aire d’un triangle ABC)
6. Identités trigonométriques
3c2
, c étant la longueur d’un côté.
4
p
p(p − a)(p − b)(p − c),
a+b+c
p étant le demi-périmètre : p =
2
tan θ =
1
sin θ
=
cotan θ
cos θ
sin2 θ + cos2 θ = 1
sin(180◦ − θ) = sin θ
cos(180◦ − θ) = − cos θ
8. Savoir tracer la
y = A sin(kx + d)
y = A cos(kx + d)
y = tan x
1
cos θ
tan2 θ + 1 = sec2 θ
7. Angles supplémentaires
représentation graphique de :
sec θ =
cosec θ =
1
sin θ
1 + cotan2 θ = cosec2 θ
2π
−d
, déphasage
)
k
k
2π
−d
(amplitude A, période
, déphasage
)
k
k
(amplitude A, période
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Atelier no #4
T RIGONOM ÉTRIE
E XEMPLES DE PROBL ÈMES
1. Déterminer les racines de l’équation 2 sin3 x − 5 sin2 x + 2 sin x = 0 dans l’intervalle 0 ≤ x ≤ 2π.
Solution
On factorise le membre de gauche :
2 sin3 x − 5 sin2 x + 2 sin x = 0
sin x(2 sin2 x − 5 sin x + 2) = 0
sin x(2 sin x − 1)(sin x − 2) = 0
1
π
5π
Donc sin x = 0 (d’où x = 0, x = π ou x = 2π), sin x = (d’où x = ou x =
) ou sin x = 2 (qui n’admet
2
6
6
aucune solution, car −1 ≤ sin x ≤ 1).
2. Un avion quitte un porte-avion et se déplace en direction sud à une vitesse de 400 km/h. Le porte-avion se
déplace en direction 300◦ à une vitesse de 32 km/h. L’avion a suffisamment de carburant pour un vol de 4 h.
Quelle est la distance maximale qu’il peut franchir vers le sud de manière qu’il puisse revenir sur le porte-avion ?
Solution
On commence par un dessin. Soit x le nombre d’heures pendant lesquelles l’avion se dirige vers le sud. La
distance qu’il parcourt est égale à 400x km. Pour revenir, l’avion parcourt une distance de 400(5 − x) km en
5 − x heures. Pendant les 5 heures, le porte-avion parcourt 5(32) km, ou 160 km. La direction du porte-avion
est mesurée à partir du nord et l’angle est balayé dans le sens des aiguilles d’une montre. Il y a donc un angle de
120◦ entre la direction sud et la direction du porte-avion. D’après la loi du cosinus, on a :
(400(5 − x))2 = 1602 + (400x)2 − 2 · 160 · 400x · cos 120◦
160
t
400(5
x)
400x
1
Or cos 120◦ = − . On divise chaque membre par 6400 pour obtenir 25(5 − x)2 = 4 + 25x2 + 10x, d’où
2
621
621
x=
. Donc avant de revenir, l’avion peut parcourir 400 ×
km, ou environ 955,4 km.
260
60
3. Soit un triangle ABC. On considère le point D, sur le côté BC, de manière que AD soit la bissectrice de
AB
AC
l’angle A. Démontrer que
=
.
BD
CD
A
θ
B
C
D
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T RIGONOM ÉTRIE
Solution
Les rapports suggèrent l’utilisation de la loi des sinus. Soit ∠ADC = θ.
A
A
sin
sin
sin θ
CD
2
2.
Dans le triangle ADC, on obtient
=
, d’où
=
CD
AC
AC
sin θ
A
A
sin
sin
sin(180◦ − θ)
BD
2
2 , car sin(180◦ − θ) = sin θ.
Dans le triangle ABD, on obtient
=
, d’où
=
BD
AB
AB
sin θ
BD
AB
AC
CD
=
, d’où
=
.
Donc
AC
AB
BD
CD
Ce résultat est le théorème de la bissectrice d’un triangle.
◦
2
4. Dans le triangle ABC
√ suivant, ∠C = ∠A + 60 , BC = 1, AC = r et AB = r (r > 1).
Démontrer que r < 2.
B
r2
1
60 + α
C
α
r
A
Solution
Ce problème était le dernier problème du concours Euclide 1996, ce qui indique un degré élevé de difficulté.
Comme beaucoup de problèmes difficiles, il fait appel à une variété d’outils.
Soit ∠A = α. Donc ∠C = α + 60◦ et ∠B = 120◦ − 2α. D’après la loi des sinus :
r2
sin(α + 60◦ )
=
1
sin α
sin α cos 60◦ + sin 60◦ cos α
=
sin α
√
3
1
=
cotan α +
2
2
Puisque la somme des mesures d’angles du triangle est égale à 180◦ , on a 0 < α < 60◦ . Dans cet intervalle, la
fonction tangente est croissante et son inverse, la fonction cotangente, est décroissante.
D’après la loi du cosinus :
r2 = 1 + r4 − 2r2 cos(120◦ − 2α)
(1)
(r2 − 1)2 ≥ 0, d’où r4 + 1 ≥ 2r2
(2)
Or :
On reporte r + 1 de l’inéquation (2) dans l’équation (1) pour obtenir r2 ≥ 2r2 − 2r2 cos(120◦ − 2α), d’où
1
cos(120◦ − 2α) ≥ .
2 √
√ √
3
1
3
3 1
Donc α ≥ 30◦ et r2 =
cotan α + , d’où r2 ≤
·
+ , ou r2 ≤ 2, ce qu’il fallait démontrer.
2
2
2
1
2
4
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T ROUSSE DE PROBL ÈMES
1.
(a) Sachant que 2 sin(2θ) + 1 = 0, déterminer la plus petite valeur positive possible de θ (en degrés).
(b) Déterminer toutes les racines de l’équation 2(sin2 θ − cos2 θ) = 8 sin θ − 5 dans l’intervalle −π ≤ θ ≤ π.
2. On considère un triangle ABC dans lequel AB = 7. M est un point sur le côté BC de manière que BM = 5,
M C = 6 et AM = 3. Déterminer la longueur exacte du côté AC.
A
7
3
5
B
M
C
6
3. Pour déterminer la hauteur M N d’une tour, sur une ı̂le, on a choisi deux points, A et B, à 100 m l’un de
l’autre, de manière que A, B et N soient situés dans le même plan horizontal. On a ensuite mesuré pour obtenir
∠N AB = 108◦ , ∠ABN = 47◦ et ∠M BN = 32◦ . Déterminer la hauteur de la tour au mètre près.
M
B
N
100 m
A
4. Un rectangle P QRS est situé de manière que son côté P Q soit sur l’axe des abscisses. De plus, ses sommets
π
S et R sont situés sur la courbe définie par y = k cos x. Sachant que le côté P Q a une longueur de et que le
3
5π
rectangle a une aire de
, déterminer la valeur de k.
3
y
π
2
S
R
P
O
π
2
Q
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x
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3π
, −2 est un point minimum. La
4
droite d’équation y = 1 coupe la courbe au point D. Déterminer les coordonnées de D.
5. La figure suivante présente la courbe définie par y = a sin kx. Le point
y
y = a sin kx
y=1
D
x
O
3
4
, 2
6. Un petit carré, qui a une aire de 9 cm2 , est entouré de quatre triangles congruents, de manière à former un grand
carré qui a une aire de 89 cm2 . Comme il est indiqué dans la figure suivante, chaque triangle a un angle θ.
Déterminer la valeur de tan θ.
θ
θ
θ
7. Un prisme droit a une hauteur de
F AC.
√
θ
3 cm et sa base carrée a des côtés de 1 cm. Déterminer le cosinus de l’angle
F
G
E
H
D
C
1
A
1
B
8. Chaque petit triangle équilatéral qui forme la grille suivante a des côtés de longueur 1. Les sommets du triangle
W AT sont des sommets de ces petits triangles équilatéraux. Déterminer l’aire du triangle W AT .
W
A
T
9. Soit un triangle ABC dans lequel AB = 8 et ∠CAB = 60◦ . Les côtés BC et AC ont des côtés de longueurs
respectives a et b, chacune étant un entier. Déterminer les valeurs possibles de a et de b.
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