chapitre 2

2 Arithmétique dans Z
1 Divisibilité
1.1 Division euclidienne
On commence par rappeler ce qu’est la division euclidienne de deux entiers.
Proposition 10. Soient aet bdeux entiers relatifs. Si bÓ= 0, il existe un unique couple (q, r)
d’entiers relatifs tels que :
a=bq +ret 06r < |b|
Le nombre qs’appelle le quotient et rest le reste de la division euclidienne de apar b.
Démonstration. Prenons aet bÓ= 0 dans N. L’idée est de coincer aentre deux multiples
consécutifs de b. Soit
A={q∈N|bq 6a}
C’est une partie non vide et minorée (par 0), donc elle admet un plus grand élément q. Mais
alors q+ 1 n’est pas dans Aet donc
bq 6a < b(q+ 1)
Si on pose r=a−bq, on a bien 06r < b. D’où l’existence. par ailleurs, si
a=bq +r=bq′+r′⇒b|q−q′|=|r′−r|
Si l’on suppose 06r < b et 06r′< b alors
06|r′−r|< b
et l’égalité précédente ne peut avoir lieu que si r=r′et b=b′.
Exemples :
Division euclidienne de ±17 par ±5.
17 = 5 ×3 + 2,−17 = 5 ×(−4) + 3
17 = (−5) ×(−3) + 2,−17 = (−5) ×4 + 3
Montrer que, si best non nul, on a :
a=bq +ret 06|r|6|b|
2
Y a-t-il unicité ?
15 = 10 ×1 + 5 = 10 ×2−5
13

2 Arithmétique dans Z
1.2 Divisibilité
Si aet bsont des éléments de Z, on dit que adivise b, ou que best un multiple de as’il existe
kdans Ztel que b=ak. Cela s’écrit a|b.
Définition 6. L’ensemble des a∈Ztels que a|best l’ensemble des diviseurs de b. On le notera
D(b).
D(15) = {−15,−5,−3,−1,1,3,5,15}
L’ensemble des btels que a|best l’ensemble des multiples de a. On le note aZ.
6Z={. . . , −72, . . . , −12,−6,0,6,12,18, . . .}
Remarque : 0Z={0}et D(0) = Z. À part ce cas particulier affligeant, l’ensemble des diviseurs
de bÓ= 0 est fini (pourquoi ?) et l’ensemble des multiples de aÓ= 0 est infini.
Par ailleurs, et pour aet bquelconques :
Proposition 11.
a|b⇐⇒ bZ⊂aZ
a|bet b|a⇐⇒ a=±b⇐⇒ D(a) = D(b)⇐⇒ aZ=bZ
a|bet a|c⇒a|bu +cv
où uet vsont des éléments quelconques de Z
La relation « divise » est donc synonyme de la relation d’inclusion dans les sous-groupes aZ. Il
est intéressant d’observer le dessin qui suit.
1.3 Les idéaux de Z
On sait que Zest un groupe commutatif pour l’addition (loi associative et commutative,
il existe un élément neutre 0et tout élément a un symétrique pour l’addition, appelé son
opposé). Il existe des sous-ensembles de Zqui sont aussi des groupes pour +: ce sont les sous-
groupes de Z.
Théorème 12. Les ensembles de la forme aZsont les seuls sous-groupes de Z.
La démonstration est un « modèle » de démonstration. Il est important de bien la connaître.
Démonstration. Dans une première étape, on vérifie que aZest bien un sous-groupe de Z. Il
suffit de vérifier que c’est un ensemble non vide stable pour l’addition et pour l’opposition (cf.
les critères de sous-espace vectoriel).
Soit maintenant Gun sous-groupe quelconque de Z. S’il ne contient que 0, il coïncide avec
0Z. Sinon, il contient bnon nul, et donc −bpuisque c’est un sous-groupe. L’un des deux est
strictement positif, donc G∩Z∗
+est non vide, soit ason plus petit élément (cela fait partie des
propriétés de N, toute partie non vide de Na un plus petit élément). Gest stable par addition,
il contient tout les multiples de a. Soit maintenant nun élément quelconque de Get n=aq +r
sa division euclidienne par a. Comme r=n−aq est la différence de deux éléments de Gil est
dans G. Ce reste rest positif, strictemment plus petit que a, il est donc nul par définition de a.
Ainsi tout élément nde Gest un multiple de aet G=aZ.
14

1 Divisibilité
Les sous-groupes de Zont une propriété supplémentaire : si nest un entier,
∀a∈Z,∀b∈nZ, ab ∈nZ
Autrement dit, nZest un sous-groupe de (Z,+) qui est aussi stable par le produit d’un élément
quelconque de Z. On dit que nZest un idéal de Z. Nous retrouverons cette notion dans le cas
général d’un anneau.
1.4 Bézout et Gauss
Deux entiers de Zsont premiers entre eux (on dit aussi étrangers) s’ils n’ont d’autres diviseurs
communs que 1et −1. On écrit alors a∧b= 1. Il existe une façon « simple » de le décider : on
dresse les listes finies de tous les diviseurs de aet de b....
Théorème 13 (de Bezout).ax +by = 1 admet au moins une solution (x, y)dans Z2si et
seulement si aet bsont premiers entre eux.
Démonstration. Commençons par observer que aZ+bZ(ensemble des sommes d’un multiple
de aet d’un multiple de b) est un sous-groupe de Z: c’est d’ailleurs le plus petit sous-groupe
de Zqui contient aet b. Il est donc de la forme dZ(avec dpositif). Mais alors aZ⊂dZdonc d
divise a. De même ddivise b. Si donc aet bsont premiers entre eux, d= 1 et 1s’écrit comme
somme d’un multiple de aet d’un multiple de b. Réciproquement, si ax +by = 1, alors tout
diviseur commun de aet de bdivise 1:aet bsont premiers entre eux.
Le théorème de Gauss relie divisibilité et nombres premiers entre eux :
Théorème 14 (de Gauss).Pour tout a,bet c,
Ia|bc
a∧b= 1 ⇒a|c
Démonstration.
au +bv = 1 ⇒a(uc) + (bc)v=c
À l’aide du théorème de Bezout et du théorème de Gauss, on peut montrer que lorsque aet b
sont premiers entre eux, l’équation de Bezout au +bv = 1 a une infinité de solutions.
1.5 p.g.c.d. et p.p.c.m.
On généralise le paragraphe précédent.
Définition 7. Si aet bsont dans Z, leur p.g.c.d. est l’entier naturel ddéfini par aZ+bZ=dZ,
et leur p.p.c.m. est l’entier naturel mdéfini par aZ∩bZ=mZ.
Proposition 15. Le p.g.c.d. est le plus grand commun diviseur en ce sens que si d′divise
à la fois aet balors d′divise d.
Le p.p.c.m. est le plus petit des multiples communs de aet b, et tout multiple commun de aet b
est multiple du p.p.c.m.
15

2 Arithmétique dans Z
Le p.g.c.d. est aussi le plus grand diviseur commun au sens habituel : si l’on note D(a, b)l’en-
semble des diviseurs communs de aet de b, alors D(a, b) = D(a)∩D(b)et den est le plus grand
élément.
Remarque 3.Si aest un entier naturel, a∧0 = a. De même,
a∧b=a⇐⇒ a|b
De la même façon, mest le plus petit commun multiple. On écrit a∧b=dpour désigner le
p.g.c.d. et deux nombres sont premiers entre eux si leur p.g.c.d. est égal à 1. On écrit a∨b=m
pour désigner le p.p.c.m. Résultats utiles :
a∧b=d⇐⇒ 
∃a′∈Z, a =a′d
∃b′∈Z, b =b′d
a′∧b′= 1
(a∧b)(a∨b) = |ab|
Il est possible de généraliser ces définitions à plus de deux éléments. Remarque : la seconde
propriété se démontre à l’aide des nombres premiers.
1.6 Algorithme d’Euclide
C’est un procédé qui permet d’obtenir rapidement le p.g.c.d de deux entiers. Une version permet
également d’obtenir en même temps une solution particulière de l’équation de Bezout (ou sa
généralisation quand les deux nombres ne sont pas premiers entre eux). Donnons nous deux
entiers naturels aet b: Tout repose sur le lemme :
Lemme 16. Si a=bq +r, alors a∧b=b∧r
Il suffit de vérifier, ce qui est immédiat, qu’avec ces hypothèses D(a, b) = D(b, r). Le lemme peut
s’appliquer au cas de la division euclidienne de apar b. On peut ensuite réappliquer le lemme en
faisant la division euclidienne de bpar r, etc : c’est le principe de l’algorithme d’Euclide. Plus
précisément
Théorème 17. Soit aet bdans N∗. Il existe n>1unique et deux uniques suites finies
(q1, . . . , qn)et (r1, r2, . . . , rn+2)telles que :
1. r1=a,r2=b.
2. rk=rk+1qk+rk+2 pour k= 1..n.
3. r2> r3> . . . > rn+2 = 0.
Le p.g.c.d. de aet best alors rn+1, dernier reste non nul.
On peut faire une démonstration rigoureuse, par exemple par récurrence sur b. L’algorithme
d’Euclide ainsi décrit peut s’écrire sous forme algorithmique.
PGCD(a,b)
x:=a;y:=b;
tant que y>0 faire
(x,y):=(y,x mod y);
rendre(x);
16

2 Relation d’équivalence et ensembles quotients
1.7 Nombres premiers
Un entier naturel pest premier s’il n’a pas d’autre diviseur dans Nque 1et lui-même (dans Z, ce
sera ±1et ±p). L’ensemble Pdes nombres premiers est assez mystérieux, sujet de nombreuses
conjectures ; il y a une infinité de nombres premiers (résultat du à Euclide), ils se raréfient mais
on ignore par exemple s’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, c’est-à-dire de la
forme n, n + 2 comme 11 et 13. Une autre propriété.
Proposition 18. Lemme d’Euclide.
Si pest premier, alors p|ab ⇒p|aou p|b.
Démonstration. Si pest premier et si aest dans Z, alors p∧a= 1 ou p∧a=p, car pn’a que
1et pcomme diviseur dans N. Si donc pdivise ab et ne divise pas a, il est premier à aet, par le
théorème de Gauss, il divise b.
Rappelons enfin le théorème fondamental de l’arithmétique :
Théorème 19. Tout entier naturel non nul et différent de 1s’écrit de façon unique (à l’ordre
près) comme produit de nombre premiers.
La démonstration de l’existence d’une telle décomposition se fait par récurrence forte, l’unicité
utilise le lemme précédent.
2 Relation d’équivalence et ensembles quotients
2.1 Congruence dans Z
On dit que aet bsont congrus modulo nlorsque a−best divisible par n. Cela s’écrit a≡
b(mod n). La congruence modulo nest une relation d’équivalence et l’ensemble des classes
d’équivalence est noté Z/nZ. Cette relation de congruence est compatible avec les opérations +
et ×de Z:
Ia≡a′(mod n)
b≡b′(mod n)⇒a+b≡a′+b′(mod n)et ab ≡a′b′(mod n)
Exercice 1. Quels sont les derniers chiffres possibles du carré d’un entier naturel ? Réponse,
0,1,4,9,6,5.
2.2 Ensemble quotient
L’ensemble formé par les classes d’équivalence s’appelle le quotient de Epar R, il est noté E/R.
Ce vocabulaire s’explique aisément : on a divisé l’ensemble Een faisant des regroupements, dans
le quotient, des éléments équivalents sont considérés comme identiques. Ce passage au quotient
est extrêmement fréquent en algèbre, nous en verrons des exemples dans la suite du cours.
Supposons que Esoit muni d’une loi de composition, c’est-à-dire d’une application :
E×E−→ E
(x, y)Ô−→ x∗y
17