NOMBRES PREMIERS

Chapitre 02 Nombres premiers Terminale S Spécialité
NOMBRES PREMIERS
Dans ce chapitre, on se place dans N.
I- généralités
Définition Soit nun entier naturel. Nest un nombre premier s’il admet exactement deux
diviseurs dans N: 1 et lui-même.
Remarques
•0 n’est pas premier, il admet une infinité de diviseurs.
•1 n’est pas premier, il admet un seul diviseur.
•2 est un nombre premier
Théorème 1
Soit n∈N,n>2.
Si nn’est pas premier, il admet au moins un diviseur premier : son plus petit diviseur
dans Nautre que 1.
Démonstration
On va faire un raisonnement par l’absurde.
nn’est pas premier donc nadmet au moins un diviseur strict (distinct de n) strictement
plus grand que 1.
Soit ple plus petit de ces diviseurs. On a 1 < p < n.
Supposons que pne soit pas un nombre premier. Alors il existe d∈Ntel que 1 < d < p
et ddivise p. Alors ddivise n, ce qui est impossible. pest donc un nombre premier.
Conséquence
Si nn’est divisible par aucun entier ppremier tel que 2 6p6√n, alors nest premier.
Démonstration
Démonstration par contraposée : « si P vraie alors Q vraie »équivaut à « si Q faux alors
P faux ».
On va supposer que nn’est pas premier et on va démontrer qu’alors il admet un diviseur
premier inférieur ou égal à √n.
Si nn’est pas premier, d’après le théorème précédent, il admet un diviseur premier pqui
est son plus petit diviseur , 1 < p < n.
Alors n=p×q,qest aussi un diviseur de ndonc p6qet p26pq soit p26nou encore
p6√n.
Voir dans le manuel Savoir-faire 5 p. 17 : Reconnaître si un entier est premier - Algorithme
Crible d’Erathostène
Dans un tableau carré de 100 cases, on écrit les cent premiers entiers naturels non nuls.
On va barrer tous les entiers qui ne sont pas premiers.
On barre le 1.
2 est un nombre premier. On barre tous les multiples de 2.
3 est un nombre premier. On barre tous les multiples de 3.
On continue ainsi.
A chaque étape, le premier nombre non barré est un nombre premier, en effet il n’admet
1

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aucun diviseur premier strict autre que 1.
A chaque étape, le premier multiple de pà barrer est p2.
On s’arrête lorsqu’on a barré les multiples de 7. En effet si un entier naturel inférieur
ou égal à 10 n’est pas premier, il est divisible par un nombre premier inférieur ou égal à
√100 = 10 .
Propriété
Soient aet bdeux entiers naturels non nuls et pun nombre premier. Si pdivise ab, alors
pdivise aou pdivise b.
Démonstration
Démonstration par disjonction des cas
•Si pdivise a, alors la propriété est vraie
•Si pne divise pas a, alors pest premier avec apuisque padmet pour seuls diviseurs 1
et p, et d’après le théorème de Gauss pdivise b.
Théorème 2
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration
On fait une démonstration par l’absurde.
Supposons que l’ensemble des nombres premiers soit fini.
Notons p1,p2,···,pnles nombres premiers.
On considère le nombre N=p1×p2× ··· × pn+ 1.
Nn’est pas un nombre premier, donc il existe un nombre premier pkqui divise N.
Alors pkdivise N−p1×p2× ··· × pn= 1, ce qui est impossible.
Il existe donc une infinité de nombres premiers.
5 mm
II- Décomposition en produit de facteurs premiers
Théorème 1
Tout entier naturel n>2 s’écrit de manière unique comme produit de nombres premiers.
Démonstration
•Existence
2

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nentier naturel supérieur ou égal à 2 admet au moins un diviseur premier p>2.
On a alors n=n1×p1avec n1< n.
Si n1= 1, alors nest premier.
Si n>2, il existe un entier p2premier qui divise n1.
n1=p2×n2donc n=p1×p2×n2avec n2< n1< n.
On obtient ainsi une suite d’entiers naturels strictement décroissante et minorée par
1, donc cette suite est finie et le dernier terme est égal à 1.
Donc n=p1×p2× ··· × pk, avec p1,p2,···,pkpremiers.
•Unicité admise
On note n=pα1
1×pα2
2× · ·· × pαr
ravec p1,p2,···,prnombres premiers distincts deux à
deux et α1,α2,···,αrentiers naturels non nuls.
Exemple
Décomposer en produit de facteurs premiers 4312.
4312 2
2156 2
1078 2
539 7
77 11
11 11
1
Théorème 2
Soit aet bdeux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
bdivise asi et seulement si tout facteur figurant dans la décomposition de ben produit de
facteurs premiers figure aussi dans celle de aavec un exposant supérieur ou égal à celui
qu’il a dans la décomposition de b.
Démonstration
•Si a=b×q, la décomposition de aen produit de facteurs premiers s’obtient en faisant
le produit de la décomposition de bpar celle de q.
Dans la décomposition de afigurent donc tous les facteurs qui figurent dans celle de b
avec un exposant au moins égal.
•Soit a=pα1
1pα2
2···pαk
ket b=pβ1
1pβ2
2···pβr
ravec r6ket, pour tout i, 1 6i6r,
βi6αi.
On a alors :
a=pα1−β1
1pα2−β2
2···pαr−βr
rpαr+1
r+1 ···pαk
k×pβ1
1pβ2
2···pβr
r
=pα1−β1
1pα2−β2
2···pαr−βr
rpαr+1
r+1 ···pαk
k×b.
best donc un diviseur de a.
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