Polynômes cyclotomiques

Sandrine CARUSO
Polynômes cyclotomiques
Référence(s) : la plupart des livres d’algèbre, par exemple Demazure
Pour un développement, l’ensemble est peut-être trop long. Ajuster en admettant un
lemme, ou deux, ou le théorème 1...
Soient nun entier supérieur à 1, et ζune racine primitive n-ième de l’unité. Le
n-ième polynôme cyclotomique est
Φn=
n
Y
k=1
k∧n=1
(X−ζk).
Théorème 1. Les polynômes cyclotomiques sont à coefficients dans Z.
Lemme 1.1. On a
Xn−1 = Y
d|n
Φd.
Démonstration. Dans C, on a Xn−1 = Qn
k=1(X−ζk). On a la partition de J1, nK
suivante :
J1, nK=G
d|n
{k∈J1, nK, k ∧n=d}.
En utilisant cette partition, on écrit
Xn−1 = Y
d|n
n
Y
k=1
k∧n=d
(X−ζk) = Y
d|n
n/d
Y
k=1
k∧(n/d)=1
(X−ζkd)
=Y
d|n
d
Y
k=1
k∧d=1
(X−ζnk/d) = Y
d|n
Φd
la dernière égalité venant du fait que si ζest une racine primitive n-ième de l’unité, ζn/d
est une racine primitive d-ième.
Lemme 1.2. Soient Aun anneau commutatif unitaire intègre et Kun corps contenant
A. Soient Fet Gdans A[X],Gunitaire1, tels qu’il existe H∈K[X]vérifiant F=GH.
Alors H∈A[X].
1Ou de coefficient dominant inversible.
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Démonstration. Comme Gest unitaire, on peut faire la division euclidienne de Fpar G
dans A[X]. On a ainsi
F=GQ +R
avec Q, R ∈A[X]et deg R < deg G. Cette division euclidienne est bien entendu égale-
ment la division euclidienne dans K[X]; or, dans un tel anneau, la division euclidienne
est unique. On en déduit que R= 0 et Q=H, et donc H∈A[X].
Démontrons à présent le théorème 1 par récurrence sur n. On a Φ1=X−1, qui est
bien à coefficients dans Z. Soit n>2, et supposons que tous les Φdpour d < n sont à
coefficients entiers. D’après le lemme 1.1, on a
Xn−1 = ΦnY
d|n
d6=n
Φd.
Par hypothèse de récurrence, Qd|n,d6=nΦdest à coefficients entiers, et c’est également le
cas de Xn−1. Donc d’après le lemme 1.2, Φn∈Z[X], ce qui conclut la récurrence.
Théorème 2. Pour tout n, le polynôme Φnest irréductible dans Z[X](donc dans Q[X]).
Soient P∈Z[X]un facteur irréductible de Φn, et Q∈Z[X]tel que Φn=P Q.
Soit ζune racine de Pdans C. Nous allons montrer que pour tout nombre premier pne
divisant pas n,ζpest aussi racine de P. Supposons que ce ne soit pas le cas. Alors ζpest
racine de Q, donc ζest racine de Q(Xp). Comme Pest irréductible, c’est le polynôme
minimal de ζ, et par conséquent, P|Q(Xp). Réduisons l’égalité Φn=P Q modulo p:
on a
Φn=P Q dans Fp.
De plus, Q(Xp) = Qp; comme Pdivise Q(Xp),Pdivise Qpdans Fp. En particulier,
il existe S∈Fp[X], non constant, tel que Sdivise Pet Q. Ainsi, S2divise Φnet donc
divise Xn−¯ 1. Or, (Xn−¯ 1)0= ¯nXn−1, qui est premier avec Xn−¯ 1car pne divise
pas n. Par conséquent, Xn−¯ 1ne peut pas avoir de facteur carré non constant, ce qui
contredit l’hypothèse faite au départ. Autrement dit, ζpest racine de P.
Maintenant, pour kpremier avec n, en écrivant k=pα1
1· · · pαr
ret en appliquant
récursivement le résultat précédent, on montre que ζkest racine de P. Finalement, Φn
divise Pet donc Φn=Pest irréductible.
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