Sandrine C ARUSO Polynômes cyclotomiques Référence(s) : la plupart des livres d’algèbre, par exemple Demazure Pour un développement, l’ensemble est peut-être trop long. Ajuster en admettant un lemme, ou deux, ou le théorème 1... Soient n un entier supérieur à 1, et ζ une racine primitive n-ième de l’unité. Le n-ième polynôme cyclotomique est Φn = n Y (X − ζ k ). k=1 k∧n=1 Théorème 1. Les polynômes cyclotomiques sont à coefficients dans Z. Lemme 1.1. On a Xn − 1 = Y Φd . d|n Q Démonstration. Dans C, on a X n − 1 = nk=1 (X − ζ k ). On a la partition de J1, nK suivante : G J1, nK = {k ∈ J1, nK, k ∧ n = d}. d|n En utilisant cette partition, on écrit n X −1= n Y Y d|n = (X − ζ ) = k=1 k∧n=d d Y Y d|n k d|n (X − ζ nk/d ) = k=1 k∧d=1 n/d Y Y (X − ζ kd ) k=1 k∧(n/d)=1 Y Φd d|n la dernière égalité venant du fait que si ζ est une racine primitive n-ième de l’unité, ζ n/d est une racine primitive d-ième. Lemme 1.2. Soient A un anneau commutatif unitaire intègre et K un corps contenant A. Soient F et G dans A[X], G unitaire1 , tels qu’il existe H ∈ K[X] vérifiant F = GH. Alors H ∈ A[X]. 1 Ou de coefficient dominant inversible. 1 Démonstration. Comme G est unitaire, on peut faire la division euclidienne de F par G dans A[X]. On a ainsi F = GQ + R avec Q, R ∈ A[X] et deg R < deg G. Cette division euclidienne est bien entendu également la division euclidienne dans K[X] ; or, dans un tel anneau, la division euclidienne est unique. On en déduit que R = 0 et Q = H, et donc H ∈ A[X]. Démontrons à présent le théorème 1 par récurrence sur n. On a Φ1 = X − 1, qui est bien à coefficients dans Z. Soit n > 2, et supposons que tous les Φd pour d < n sont à coefficients entiers. D’après le lemme 1.1, on a Y X n − 1 = Φn Φd . d|n d6=n Q Par hypothèse de récurrence, d|n,d6=n Φd est à coefficients entiers, et c’est également le cas de X n − 1. Donc d’après le lemme 1.2, Φn ∈ Z[X], ce qui conclut la récurrence. Théorème 2. Pour tout n, le polynôme Φn est irréductible dans Z[X] (donc dans Q[X]). Soient P ∈ Z[X] un facteur irréductible de Φn , et Q ∈ Z[X] tel que Φn = P Q. Soit ζ une racine de P dans C. Nous allons montrer que pour tout nombre premier p ne divisant pas n, ζ p est aussi racine de P . Supposons que ce ne soit pas le cas. Alors ζ p est racine de Q, donc ζ est racine de Q(X p ). Comme P est irréductible, c’est le polynôme minimal de ζ, et par conséquent, P |Q(X p ). Réduisons l’égalité Φn = P Q modulo p : on a Φn = P Q dans Fp . p p De plus, Q(X p ) = Q ; comme P divise Q(X p ), P divise Q dans Fp . En particulier, il existe S ∈ Fp [X], non constant, tel que S divise P et Q. Ainsi, S 2 divise Φn et donc divise X n − 1̄. Or, (X n − 1̄)0 = n̄X n−1 , qui est premier avec X n − 1̄ car p ne divise pas n. Par conséquent, X n − 1̄ ne peut pas avoir de facteur carré non constant, ce qui contredit l’hypothèse faite au départ. Autrement dit, ζ p est racine de P . Maintenant, pour k premier avec n, en écrivant k = pα1 1 · · · pαr r et en appliquant récursivement le résultat précédent, on montre que ζ k est racine de P . Finalement, Φn divise P et donc Φn = P est irréductible. 2