Corrigés des exercices de la première feuille

Corrigés des exercices de la première feuille
1
Si n= 0 ou n= 1, c’est une évidence.
Si n = 2, le triplet (3 , 4 , 5) convient. On parle de
triplet pythagoricien et l’on sait tous les trouver.
Si n> 3, l’équation n’admet que les solutions
triviales où xy = 0. C’est le théorème de Fermat-
Wiles, énoncé par Pierre de Fermat en 1642 et
démontré par Andrew Wiles en 1995, comme consé-
quence d’un énoncé plus général.
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Oui, par exemple 27286 ≈2016 ·102190.
3
Oui, par exemple 20 161 ou 120 163.
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Non. Pour le montrer, prouvons le contraire :
tout entier premier, distinct de 2et 5, divise un
entier ne s’écrivant qu’avec des 1.
Soit un entier premier p /∈ { 2 , 5 } . Soit n un
entier. Notons un l’entier qui s’écrit avec n fois le
chiffre 1:u1= 1,u2= 11, etc. On a
un= 1 . . . 1
| {z }
nchiffres
=Pn−1
k=0 10k=1
9(10n−1).
Dire que p divise un signifie qu’il existe un en-
tier q tel que un = pq , c’est-à-dire 10
n−
1 = 9 pq .
D’après le petit théorème de Fermat, comme 10
et p sont premiers entre eux, il existe q0 tel que
10p−1−1 = pq0.
Si p = 3, u3 = 111 est clairement divisible par 3.
Sinon, 9divise 10
p−1−
1et est premier avec p
donc, d’après le théorème de Gauss, 9divise q0 ,
qui s’écrit donc 9q. Ainsi, n=p−1convient.
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Nommons aet bces deux nombres. On a
16 −2√29 + 2p55 −10√29
= 5 + 11 −2√29 + 2√5p11 −2√29
=√5 + p11 −2√29 2
donc a=p11 + 2√29 + √5 + p11 −2√29.
Or (11 + 2√29 )(11 −2√29 ) = 5
et p11 + 2√29 + p11 −2√29 2 = 22 + 2√5,
donc a=b.
6
Bien-sûr, b = 0 convient. L’intérêt est de trouver
un bnon nul, s’il existe.
Cherchons donc le plus petit entier b > 0tel que
a =
√1141b2+ 1
soit entier. Autrement dit, cher-
chons deux entiers a et b , les plus petits possibles,
tels que a2−1141b2= 1.
Cette équation fait partie des équations dites de
Pell-Fermat. La théorie, assez complexe, permet de
trouver que b= 30 693 385 322 765 657 197 397 208.
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Non, mais il vaut environ 163 + 2 · 10
−29
. Cette
expression remarquable est due à Ramanujan.
Voici un moyen de le vérifier avec Python. Pour
cela, il est nécessaire d’effectuer des calculs en
multi-précision, c’est-à-dire avec davantage que les
16 décimales usuelles de Python. Voici un exemple
avec le module mpmath.
>>> import mpmath as mp
>>> mp.mp.dps = 35
>>> a = (mp.log(640320**3+744)/mp.pi)**2
>>> print(a)
163.00000000000000000000000000002322
>>> print(a - 163)
2.3216700293599250761419202902272782e-29
8
La conjecture des nombres premiers jumeaux
affirme qu’il en existe une infinité, mais elle n’est
toujours pas démontrée à l’heure actuelle. Une
avancée majeure dans cette voie est due à Yitang
Zhang (14 mai 2013) : il existe une infinité de
nombres premiers p tels que parmi les entiers entre
p + 1 et p + 7 · 10
7
, il y a au moins un nombre
premier. Le meilleur résultat actuel, à ma connais-
sance, remplace 7 · 10
7
par 12 (22 décembre 2014,
travail collectif dans Polymath8).
9
L’aire vaut
9
10 −3π 16 −1 4Arctan 1 2a.
Pour les détails, demandez à K. . . ;-) Mais il y
a plusieurs autres possibilités, je vous laisse les
imaginer.
P S I ·1 6 1 7 ·MATHS