Corrigés des exercices de la première feuille

Corrigés des exercices de la première feuille
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Si n = 0 ou n = 1, c’est une évidence.
Si n = 2, le triplet (3, 4, 5) convient. On parle de
triplet pythagoricien et l’on sait tous les trouver.
Si n > 3, l’équation n’admet que les solutions
triviales où x y = 0. C’est le théorème de FermatWiles, énoncé par Pierre de Fermat en 1642 et
démontré par Andrew Wiles en 1995, comme conséquence d’un énoncé plus général.
Bien-sûr, b = 0 convient. L’intérêt est de trouver
un b non nul, s’il existe.
Cherchons
donc le plus petit entier b > 0 tel que
√
a = 1141 b2 + 1 soit entier. Autrement dit, cherchons deux entiers a et b, les plus petits possibles,
tels que a2 − 1141 b2 = 1.
Cette équation fait partie des équations dites de
Pell-Fermat. La théorie, assez complexe, permet de
trouver que b = 30 693 385 322 765 657 197 397 208.
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Oui, par exemple 27286 ≈ 2016 · 102190 .
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Oui, par exemple 20 161 ou 120 163.
Non, mais il vaut environ 163 + 2 · 10−29 . Cette
expression remarquable est due à Ramanujan.
Voici un moyen de le vérifier avec Python. Pour
cela, il est nécessaire d’effectuer des calculs en
multi-précision, c’est-à-dire avec davantage que les
16 décimales usuelles de Python. Voici un exemple
avec le module mpmath.
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Non. Pour le montrer, prouvons le contraire :
tout entier premier, distinct de 2 et 5, divise un
entier ne s’écrivant qu’avec des 1.
Soit un entier premier p ∈
/ {2, 5}. Soit n un
entier. Notons un l’entier qui s’écrit avec n fois le
chiffre 1 : u1 = 1, u2 = 11, etc. On a
Pn−1
un = 1| .{z
. . 1} = k=0 10k = 19 (10n − 1).
n chiffres
Dire que p divise un signifie qu’il existe un entier q tel que un = p q, c’est-à-dire 10n − 1 = 9 p q.
D’après le petit théorème de Fermat, comme 10
et p sont premiers entre eux, il existe q 0 tel que
10p−1 − 1 = p q 0 .
Si p = 3, u3 = 111 est clairement divisible par 3.
Sinon, 9 divise 10p−1 − 1 et est premier avec p
donc, d’après le théorème de Gauss, 9 divise q 0 ,
qui s’écrit donc 9 q. Ainsi, n = p − 1 convient.
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Nommons a et b ces deux nombres. On a
p
√
√
16 − 2 29 + 2 55 − 10 29
√
√ p
√
= 5 + 11 − 2 29 + 2 5 11 − 2 29
√
p
√ 2
=
5 + 11 − 2 29
p
p
√
√
√
donc a = √11 + 2 29 +√ 5 + 11 − 2 29.
Or (11 + 2 29 ) (11 − 2 29 ) = 5
p
p
√
√ 2
√
et
11 + 2 29 + 11 − 2 29 = 22 + 2 5,
donc a = b.
>>> import mpmath as mp
>>> mp.mp.dps = 35
>>> a = (mp.log(640320**3+744)/mp.pi)**2
>>> print(a)
163.00000000000000000000000000002322
>>> print(a - 163)
2.3216700293599250761419202902272782e-29
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La conjecture des nombres premiers jumeaux
affirme qu’il en existe une infinité, mais elle n’est
toujours pas démontrée à l’heure actuelle. Une
avancée majeure dans cette voie est due à Yitang
Zhang (14 mai 2013) : il existe une infinité de
nombres premiers p tels que parmi les entiers entre
p + 1 et p + 7 · 107 , il y a au moins un nombre
premier. Le meilleur résultat actuel, à ma connaissance, remplace 7 · 107 par 12 (22 décembre 2014,
travail collectif dans Polymath8).
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L’aire vaut
9
3π 1
1
−
− Arctan
a.
10
16
4
2
Pour les détails, demandez à K. . . ;-) Mais il y
a plusieurs autres possibilités, je vous laisse les
imaginer.
PSI·1617·MATHS