Démonstration - Emilie Cravero

Partie 2 : Arithmétique
I. Division euclidienne
Théorème :
Soient 
 .
Le couple  vérifiant ces hypothèses est unique.
Démonstration :
Existence : 
. E n’est pas vide car  si , et  si 
Soit r le plus petit élément de E :
Or  donc  et  de la forme 
Unicité (par l’absurde) :
On suppose  vérifient 
Autre façon ?  avec 
D’où 

D’autre part 
Donc : 
 : Contradiction  d’où l’unicité
Exemple : 
Théorème 2 :
Si  et  alors 
En particulier, 
Démonstration :
Exemple :
Critère de divisibilité par  :
Soient les  les chiffres qui composent un nombre en base 10 ,
Or 
II. Nombres premiers
 qui n’a pour diviseur dans  que 1 et lui-même  est un nombre premier

Théorème 3 :
Si , son plus petit diviseur  est un nombre premier
Démonstration : 
Soit  le plus petit élément de .
Si  non premier, alors  admet un diviseur d tel que 
Donc .
Contradictoire avec la définition de p.
Exemple :
Ensemble des diviseurs de 1 : 
Ensemble des diviseurs de 5 : 
Ensemble des diviseurs de 18 : 
Ensemble des diviseurs de 100 : 
Théorème 4 :
Dans la liste des diviseurs de n, le produit de deux diviseurs entier symétriquement par
rapport au milieu de la liste est égal à n
Théorème 5 :
Un entier  qui n’est divisible par aucun des nombres situés entre 2 et  est
un nombre premier
Théorème 6 :
Tout élément de  est soit un nombre premier soit un produit de nombre premiers

Démonstration :
Cf. chapitre Induction
Corollaire :
Tout entier  peut être décomposé en un produit de puissances de nombres
premiers
On appelle ce produit la décomposition de n en facteurs 1er
Méthode :
Décomposition en facteurs premiers :
1. Déterminer le plus petit diviseur p de n supérieur à 1
2. Diviser n par p tel que n=pm
3. Si m>1, alors on reprend à 1 avec n = m
Exemple :  
Théorème 7 :
Il existe une infinité de nombre premiers
Démonstration :
Soit  des nombres premiers.
Soit p un facteur premier de 
Alors p est différent de tous les  car si , alors .

Or : IMPOSSIBLE