Partie 2 : Arithmétique ℕ: 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙𝑠 ℕ∗ = ℕ{0} ℤ = 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓𝑠 I. Division euclidienne Théorème : Soient (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ2 : 𝑆𝑖 𝑏 ≠ 0, ∃(𝑞, 𝑟) ∈ ℤ2 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ |𝑏| . Le couple (𝑟, 𝑞) vérifiant ces hypothèses est unique. Démonstration : Existence : 𝑏 > 0 𝐸 = {𝑎 − 𝑏𝑘 ≥ 0}. E n’est pas vide car 𝑎 ∈ 𝐸 si 𝑎 ≥ 0, et 𝑎 − 𝑏𝑎 ∈ 𝐸 si 𝑎 < 0 Soit r le plus petit élément de E : 𝑟 ≥ 0 𝑒𝑡 ∃𝑞 \ 𝑟 = 𝑎 − 𝑏𝑞 𝑟 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏𝑞 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏(𝑞 + 1) Or 𝑟 − 𝑏 < 𝑟 donc 𝑟 − 𝑏 ∉ 𝐸 et 𝑟 − 𝑏 de la forme 𝑎 − 𝑏𝑘 ⇒𝑟−𝑏 <0⇒0≤𝑟 ≤𝑏 Unicité (par l’absurde) : On suppose (𝑅, 𝑄) ≠ (𝑟, 𝑞) vérifient 𝑎 = 𝑏𝑄 + 𝑅 = 𝑏𝑞 + 𝑟 ⇒ 𝑏(𝑄 − 𝑞) = 𝑟 − 𝑅 𝑄 ≠ 𝑞 ⇒ 𝑄 − 𝑞 ≠ 0 ⇒ |𝑄 − 𝑞| > 0 ⇒ |𝑏(𝑄 − 𝑞)| ≥ |𝑏| ⇒ |𝑟 − 𝑅| ≥ |𝑏| Autre façon ? |𝑟 − 𝑅| = |𝑏(𝑄 − 𝑞)| = |𝑏||𝑄 − 𝑞| avec |𝑄 − 𝑞| ≥ 1 D’où |𝑟 − 𝑅| ≥ |𝑏| D’autre part 0 ≤ 𝑟 < |𝑏| 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑅 < |𝑏| ⇒ −|𝑏| < 𝑟 − 𝑅 < |𝑏| ⇒ |𝑟 − 𝑅| < |𝑏| |𝑟 − 𝑅| ≥ |𝑏| Donc : { : Contradiction ⇒ 𝑟 = 𝑅 𝑒𝑡 𝑞 = 𝑄 d’où l’unicité |𝑟 − 𝑅| < |𝑏| Exemple : 150|11 ∶ 150 = 11 × 13 + 7 𝑛 𝑞 𝑟 80 = 7 × −12 + 4 Théorème 2 : Si 𝑐|𝑎 et 𝑐|𝑏 alors ∀(𝑢, 𝑣) ∈ ℤ2 , 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏|𝑐 En particulier, 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 + 𝑏 𝑐 𝑆𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 − 𝑏 Démonstration : 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 ⇔ ∃𝑞1 \𝑎 = 𝑐𝑞1 { 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑏 ⇔ ∃𝑞2 \𝑏 = 𝑐𝑞2 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 = 𝑢𝑐𝑞1 + 𝑣𝑐𝑞2 = 𝑐(𝑢𝑞1 + 𝑣𝑞2 ) Exemple : Critère de divisibilité par ℤ : Soient les 𝑎𝑖 ∈ {0. .9} les chiffres qui composent un nombre en base 10 , 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 = 10𝑛 𝑎𝑛 + 10𝑛−1 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 10𝑎1 + 𝑎0 = (10𝑛−1 𝑎𝑛 + 10𝑛−2 𝑎𝑛−1 + ⋯ 𝑎1 )10 + 𝑎0 Or 2 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 10 ⇒ 2 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 𝑠𝑖 2 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎0 II. Nombres premiers 𝑛 ∈ ℕ∗ qui n’a pour diviseur dans ℕ∗ que 1 et lui-même ⇒ 𝑛 est un nombre premier Théorème 3 : Si 𝑛 > 1, son plus petit diviseur > 1 est un nombre premier Démonstration : 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐸 = {𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 > 1 𝑑𝑒 𝑛} 𝐸 ≠ ∅ 𝑐𝑎𝑟 𝑛 ∈ 𝐸 Soit 𝑝 le plus petit élément de 𝐸. Si 𝑝 non premier, alors 𝑝 admet un diviseur d tel que 1 < 𝑑 < 𝑝 Donc 𝑑 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑝 et 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 ⇒ 𝑑 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑 < 𝑝 ⇒ 𝑑 ∈ 𝐸 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑 < 𝑝. Contradictoire avec la définition de p. Exemple : Ensemble des diviseurs de 1 : 𝐸 = {1} Ensemble des diviseurs de 5 : 𝐸 = {1,5} Ensemble des diviseurs de 18 : 𝐸 = {1,2,3,6,9,18} Ensemble des diviseurs de 100 : 𝐸 = {1,2,4,5,10,20,25,50,100} Théorème 4 : Dans la liste des diviseurs de n, le produit de deux diviseurs entier symétriquement par rapport au milieu de la liste est égal à n Théorème 5 : Un entier 𝑛 ≥ 3 qui n’est divisible par aucun des nombres situés entre 2 et 𝐸(√𝑛) est un nombre premier Théorème 6 : Tout élément de ℕ ≥ 2 est soit un nombre premier soit un produit de nombre premiers Démonstration : Cf. chapitre Induction Corollaire : Tout entier 𝑛 ≥ 2 peut être décomposé en un produit de puissances de nombres premiers On appelle ce produit la décomposition de n en facteurs 1er Méthode : Décomposition en facteurs premiers : 1. Déterminer le plus petit diviseur p de n supérieur à 1 2. Diviser n par p tel que n=pm 3. Si m>1, alors on reprend à 1 avec n = m Exemple : 2200 1100 550 275 55 11 1 2 2 2 5 5 11 2200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 11 = 23 ∙ 52 ∙ 11 Théorème 7 : Il existe une infinité de nombre premiers Démonstration : Soit 𝑝1 . . 𝑝𝑘 des nombres premiers. Soit p un facteur premier de 𝑛 = 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 + 1 Alors p est différent de tous les 𝑝𝑖 car si 𝑝 = 𝑝𝑖 , alors 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 . Or 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 ⇒ 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 − 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 ⇒ p DIVISE 1: IMPOSSIBLE III. PGCD – PPCM A. PGCD Définition : Soient (𝑎, 𝑏) ∈ ℕ∗ 2 . Les éléments de ℕ∗ qui divisent à la fois a et b sont compris entre 1 et min(𝑎, 𝑏). Ils forment donc un ensemble fini dont le plus grand élément est appelé 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎, 𝑏) = 𝑎∧𝑏 Si 𝑎 ∧ 𝑏 = 1 alors a et b sont dits premiers entre eux 𝑎 ∧ 0 = 𝑎 par définition Si (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ2 , 𝑎 ∧ 𝑏 = |𝑎| ∧ |𝑏| Exemple : Calcul de 36 ∧ 90 𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 36 = {1,2,3,4,6,9,12,18,36} 𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 90 = {1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90} 𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛𝑠 𝑑𝑒 36 𝑒𝑡 90 = {1,2,3,6,9,18} 36 ∧ 90 = 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 = 18 Propriété : 𝑎∧𝑏 =𝑏∧𝑎 𝑎∧1 =1 𝑎∧𝑎 =𝑎 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 𝑎 ∧ 𝑝 = 𝑝 𝑠𝑖 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝐴 5) 𝑆𝑖 𝑝 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟, { 𝑎 ∧ 𝑝 = 1 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 𝑝 ∧ 𝑞 = 𝑝 𝑠𝑖 𝑝 = 𝑞 6) 𝑆𝑖 𝑝 𝑒𝑡 𝑞 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟, { 𝑝 ∧ 𝑞 = 1 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 1) 2) 3) 4) Calcul du pgcd par l’algorithme d’Euclide On utilise la division euclidienne de a et b jusqu’à obtenir un reste nul 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 𝑎 = 𝑟0 ∙ 𝑞1 + 𝑟1 0≤𝑟<𝑏 𝑟 =𝑏 { 0 𝑞1 = 𝑞 𝑟0 = 𝑟1 ∙ 𝑞2 + 𝑟2 𝑟1 = 𝑟2 ∙ 𝑞3 + 𝑟3 … 𝑟𝑘 = 𝑟𝑘+1 ∙ 𝑞𝑘+2 + 𝑟𝑘+2 𝑟𝑛−2 = 𝑟𝑛−1 ∙ 𝑞𝑛 + 𝒓𝒏 𝑟𝑛−1 = 𝑟𝑛 ∙ 𝑞𝑛−1 + 0 Le pgcd de a et de b est le dernier reste non nul 𝑟𝑛 Exemple : Calcul de 36 ∧ 90 𝑎 𝑏 36 = 90 × 0 + 36 90 = 36 × 2 + 𝟏𝟖 36 = 18 × 2 + 0 Calcul de 96 ∧ 91 96 = 81 × 1 + 15 81 = 15 × 5 + 6 15 = 6 × 2 + 𝟑 6= 3×2+ 0 Démonstration : Remarque le calcul des divisions successives s’arrête 0 ≤ 𝑟 < 𝑟0 0 ≤ 𝑟1 < 𝑟0 0 ≤ 𝑟2 < 𝑟1 < 𝑟0 … 0 ≤ 𝑟𝑛 < 𝑟𝑛−1 < ⋯ < 𝑟0 ∙ Montrons que 𝑟𝑛 et un diviseur commun de a et de b 𝑟 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟𝑛−1 𝑂𝑟 ∶ { 𝑛 Ect … ⇒ 𝑟𝑛 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟𝑛−2 On montre facilement par récurrence que 𝑟𝑛 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟0 et 𝑟𝑛 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 Donc 𝑟𝑛 est un diviseur commun de a et b ∙ Montrons que tout diviseur commun c de a et b divise 𝑟0 : Soit c diviseur commun de a et b : 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 − 𝑏 ∙ 𝑞 ⇒ 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟1 ⇒ 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟0 − 𝑟1 𝑞2 ⇒ 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟2 On montre par récurrence que 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟𝑛 𝑟 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛 𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑏 Donc { 𝑛 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟𝑛 Théorème 7 : Les diviseurs communs à 2 nombres a et b sont tous diviseurs de 𝑎 ∧ 𝑏 Théorème 8 : 1) Soient (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℕ∗ 3 , (𝑐𝑎) ∧ (𝑐𝑏) = 𝑐(𝑎 ∧ 𝑏) 2) Si c’est un diviseur commun à a et b, alors 𝑎 𝑐 𝑏 ∧𝑐= (𝑎∧𝑏) 𝑐 Théorème 9 : ∀(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) ∈ ℕ∗ 4 , (𝑎 ∧ 𝑏) 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 (𝑎𝑐) ∧ (𝑏𝑑) Démonstration : Tout diviseur de a divise ac et tout diviseur de b divise bd. Donc les diviseurs communs à a et b ont aussi des diviseurs communs à ac et bd En particulier 𝑎 ∧ 𝑏 diviseur commun de ac et bd Théorème 10 : Lemme de Gauss : Soient (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℕ∗ 3 , 1) Si 𝑎 ∧ 𝑏 = 1 et si 𝑎 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑏𝑐, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑐 2) Si 𝑎 ∧ 𝑏 = 1 et 𝑎 ∧ 𝑐 = 1, alors 𝑎 ∧ (𝑏𝑐) = 1 3) Si 𝑎 ∧ 𝑏 = 1, alors 𝑎 ∧ 𝑏𝑐 = 𝑎 ∧ 𝑐 Théorème 11 : Soit p premier s’il divise le produit ∏𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 , alors il divise au moins l’un des 𝑎𝑖 Démonstration : Supposons que p ne divise aucun des 𝑎𝑖 , alors 𝑝 ∧ 𝑎𝑖 = 1 ∀ 𝑖 𝑝 ∧ 𝑎1 = 1 } ⇒ 𝑝 ∧ (𝑎1 𝑎2 ) = 1 (D’après le théorème n° 10 – 2 ) 𝑝 ∧ 𝑎2 = 1 On montre donc par récurrence que 𝑛 𝑛 𝑝 ∧ ∏ 𝑎𝑖 = 1 ⇒ 𝑝 𝑁𝐸 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑃𝐴𝑆 ∏ 𝑎𝑖 𝑖=1 𝑖=1 Contradiction avec l’hypothèse de départ ⇒ 𝑝 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑖 Calcul du pgcd en utilisant la décomposition en facteurs premiers : 2200 1100 550 275 55 11 1 2 2 2 5 5 1 ⇒ 2200 = 23 × 30 × 52 × 70 × 111 × 130 } Définition : On définit 𝑣𝑝 (𝑛) comme la valeur de l’exposant du facteur premier p dans la décomposition de n : 𝑣2 (2200) = 3 𝑣3 (2200) = 0 90 45 15 5 1 2 36 3 18 𝐸𝑇 3 9 5 3 1 90 = 21 × 32 × 51 × 70 × … 36 = 22 × 32 × 50 × 70 × … 2 2 3 3 ⇒ } 90 ∧ 36 = 18 {90 ∧ 36 = 2𝟏 × 3𝟐 × 5𝟎 × 7𝟎 𝑣𝑝 (𝑎 ∧ 𝑏) = inf [(𝑣𝑝 (𝑎), 𝑣𝑝 (𝑏))] 𝑣𝑝 (𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐) = 𝑣𝑝 ((𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐) = 𝑣𝑝 (𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐)) = inf [(𝑣𝑝 (𝑎), 𝑣𝑝 (𝑏), 𝑣𝑝 (𝑐))] Propriété : 𝑎1 ∧ 𝑎2 ∧ … ∧ 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∧ (𝑎2 ∧ … ∧ 𝑎𝑛 ) = 𝑎1 ∧ (𝑎2 ∧ (𝑎3 ∧ … ∧ 𝑎𝑛 )) Pour calculer le pgcd de plusieurs entiers il suffit d’appliquer le calcul de pgcd de 2 entiers successivement B. PPCM Définition : Soient (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) ∈ ℕ∗ 𝑛 Alors l’ensemble des multiples communs aux 𝑎𝑖 n’est pas vide car il contient ∏𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 . Son plus petit élément est appelé 𝑝𝑝𝑐𝑚(𝑎, 𝑏), noté 𝑎 𝑈𝑁𝐼𝑂𝑁 𝑏 Théorème : Soient (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) ∈ ℕ∗ 𝑛 Alors : 𝑣𝑝 (𝑎1 ∨ 𝑎2 ∨ … ∨ 𝑎𝑛 ) = sup [(𝑣𝑝 (𝑎1 ), 𝑣𝑝 (𝑎2 ), … , 𝑣𝑝 (𝑎𝑛 ))] Exemple : 90 ∨ 36 = 22 × 32 × 51 = 180 PRENDRE EXEMPLE SUR EMILIE 𝑎𝑏 = (𝑎 ∧ 𝑏)(𝑎 ∨ 𝑏) car la décomposition en produit de facteurs premiers est unique Exemple : 15 ∧ 20 = 5 20 =4 5 15 × 4 = 60 = 15 ∨ 20