Démonstration - Emilie Cravero

Partie 2 : Arithmétique
ℕ: 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙𝑠
ℕ∗ = ℕ{0}
ℤ = 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓𝑠
I. Division euclidienne
Théorème :
Soient (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ2 : 𝑆𝑖 𝑏 ≠ 0, ∃(𝑞, 𝑟) ∈ ℤ2 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶
𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ |𝑏| .
Le couple (𝑟, 𝑞) vérifiant ces hypothèses est unique.
Démonstration :
Existence : 𝑏 > 0
𝐸 = {𝑎 − 𝑏𝑘 ≥ 0}. E n’est pas vide car 𝑎 ∈ 𝐸 si 𝑎 ≥ 0, et 𝑎 − 𝑏𝑎 ∈ 𝐸 si 𝑎 < 0
Soit r le plus petit élément de E :
𝑟 ≥ 0 𝑒𝑡 ∃𝑞 \ 𝑟 = 𝑎 − 𝑏𝑞
𝑟 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏𝑞 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏(𝑞 + 1)
Or 𝑟 − 𝑏 < 𝑟 donc 𝑟 − 𝑏 ∉ 𝐸 et 𝑟 − 𝑏 de la forme 𝑎 − 𝑏𝑘
⇒𝑟−𝑏 <0⇒0≤𝑟 ≤𝑏
Unicité (par l’absurde) :
On suppose (𝑅, 𝑄) ≠ (𝑟, 𝑞) vérifient 𝑎 = 𝑏𝑄 + 𝑅 = 𝑏𝑞 + 𝑟
⇒ 𝑏(𝑄 − 𝑞) = 𝑟 − 𝑅
𝑄 ≠ 𝑞 ⇒ 𝑄 − 𝑞 ≠ 0 ⇒ |𝑄 − 𝑞| > 0 ⇒ |𝑏(𝑄 − 𝑞)| ≥ |𝑏| ⇒ |𝑟 − 𝑅| ≥ |𝑏|
Autre façon ? |𝑟 − 𝑅| = |𝑏(𝑄 − 𝑞)| = |𝑏||𝑄 − 𝑞| avec |𝑄 − 𝑞| ≥ 1
D’où |𝑟 − 𝑅| ≥ |𝑏|
D’autre part 0 ≤ 𝑟 < |𝑏| 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑅 < |𝑏| ⇒ −|𝑏| < 𝑟 − 𝑅 < |𝑏| ⇒ |𝑟 − 𝑅| < |𝑏|
|𝑟 − 𝑅| ≥ |𝑏|
Donc : {
: Contradiction ⇒ 𝑟 = 𝑅 𝑒𝑡 𝑞 = 𝑄 d’où l’unicité
|𝑟 − 𝑅| < |𝑏|
Exemple :
150|11 ∶ 150 = 11 × 13 + 7
𝑛
𝑞
𝑟
80 = 7 × −12 + 4
Théorème 2 :
Si 𝑐|𝑎 et 𝑐|𝑏 alors ∀(𝑢, 𝑣) ∈ ℤ2 , 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏|𝑐
En particulier,
𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 + 𝑏
𝑐 𝑆𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 − 𝑏
Démonstration :
𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 ⇔ ∃𝑞1 \𝑎 = 𝑐𝑞1
{
𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑏 ⇔ ∃𝑞2 \𝑏 = 𝑐𝑞2
𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 = 𝑢𝑐𝑞1 + 𝑣𝑐𝑞2 = 𝑐(𝑢𝑞1 + 𝑣𝑞2 )
Exemple :
Critère de divisibilité par ℤ :
Soient les 𝑎𝑖 ∈ {0. .9} les chiffres qui composent un nombre en base 10 ,
𝑛 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 = 10𝑛 𝑎𝑛 + 10𝑛−1 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 10𝑎1 + 𝑎0
= (10𝑛−1 𝑎𝑛 + 10𝑛−2 𝑎𝑛−1 + ⋯ 𝑎1 )10 + 𝑎0
Or 2 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 10 ⇒ 2 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 𝑠𝑖 2 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎0
II. Nombres premiers
𝑛 ∈ ℕ∗ qui n’a pour diviseur dans ℕ∗ que 1 et lui-même ⇒ 𝑛 est un nombre premier
Théorème 3 :
Si 𝑛 > 1, son plus petit diviseur > 1 est un nombre premier
Démonstration :
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐸 = {𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 > 1 𝑑𝑒 𝑛}
𝐸 ≠ ∅ 𝑐𝑎𝑟 𝑛 ∈ 𝐸
Soit 𝑝 le plus petit élément de 𝐸.
Si 𝑝 non premier, alors 𝑝 admet un diviseur d tel que 1 < 𝑑 < 𝑝
Donc 𝑑 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑝 et 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 ⇒ 𝑑 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑 < 𝑝 ⇒ 𝑑 ∈ 𝐸 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑 < 𝑝.
Contradictoire avec la définition de p.
Exemple :
Ensemble des diviseurs de 1 : 𝐸 = {1}
Ensemble des diviseurs de 5 : 𝐸 = {1,5}
Ensemble des diviseurs de 18 : 𝐸 = {1,2,3,6,9,18}
Ensemble des diviseurs de 100 : 𝐸 = {1,2,4,5,10,20,25,50,100}
Théorème 4 :
Dans la liste des diviseurs de n, le produit de deux diviseurs entier symétriquement par
rapport au milieu de la liste est égal à n
Théorème 5 :
Un entier 𝑛 ≥ 3 qui n’est divisible par aucun des nombres situés entre 2 et 𝐸(√𝑛) est
un nombre premier
Théorème 6 :
Tout élément de ℕ ≥ 2 est soit un nombre premier soit un produit de nombre premiers
Démonstration :
Cf. chapitre Induction
Corollaire :
Tout entier 𝑛 ≥ 2 peut être décomposé en un produit de puissances de nombres
premiers
On appelle ce produit la décomposition de n en facteurs 1er
Méthode :
Décomposition en facteurs premiers :
1. Déterminer le plus petit diviseur p de n supérieur à 1
2. Diviser n par p tel que n=pm
3. Si m>1, alors on reprend à 1 avec n = m
Exemple :
2200
1100
550
275
55
11
1
2
2
2
5
5
11
2200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 11 = 23 ∙ 52 ∙ 11
Théorème 7 :
Il existe une infinité de nombre premiers
Démonstration :
Soit 𝑝1 . . 𝑝𝑘 des nombres premiers.
Soit p un facteur premier de 𝑛 = 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 + 1
Alors p est différent de tous les 𝑝𝑖 car si 𝑝 = 𝑝𝑖 , alors 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 .
Or 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 ⇒ 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 − 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 ⇒ p DIVISE 1: IMPOSSIBLE
III. PGCD – PPCM
A. PGCD
Définition :
Soient (𝑎, 𝑏) ∈ ℕ∗ 2 .
Les éléments de ℕ∗ qui divisent à la fois a et b sont compris entre 1 et min(𝑎, 𝑏).
Ils forment donc un ensemble fini dont le plus grand élément est appelé 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎, 𝑏) =
𝑎∧𝑏



Si 𝑎 ∧ 𝑏 = 1 alors a et b sont dits premiers entre eux
𝑎 ∧ 0 = 𝑎 par définition
Si (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ2 , 𝑎 ∧ 𝑏 = |𝑎| ∧ |𝑏|
Exemple :
Calcul de 36 ∧ 90




𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 36 = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 90 = {1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90}
𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛𝑠 𝑑𝑒 36 𝑒𝑡 90 = {1,2,3,6,9,18}
36 ∧ 90 = 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 = 18
Propriété :
𝑎∧𝑏 =𝑏∧𝑎
𝑎∧1 =1
𝑎∧𝑎 =𝑎
𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎
𝑎 ∧ 𝑝 = 𝑝 𝑠𝑖 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝐴
5) 𝑆𝑖 𝑝 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟, {
𝑎 ∧ 𝑝 = 1 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛
𝑝 ∧ 𝑞 = 𝑝 𝑠𝑖 𝑝 = 𝑞
6) 𝑆𝑖 𝑝 𝑒𝑡 𝑞 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟, {
𝑝 ∧ 𝑞 = 1 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛
1)
2)
3)
4)
Calcul du pgcd par l’algorithme d’Euclide
On utilise la division euclidienne de a et b jusqu’à obtenir un reste nul
𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟
𝑎 = 𝑟0 ∙ 𝑞1 + 𝑟1
0≤𝑟<𝑏
𝑟 =𝑏
{ 0
𝑞1 = 𝑞
𝑟0 = 𝑟1 ∙ 𝑞2 + 𝑟2
𝑟1 = 𝑟2 ∙ 𝑞3 + 𝑟3
…
𝑟𝑘 = 𝑟𝑘+1 ∙ 𝑞𝑘+2 + 𝑟𝑘+2
𝑟𝑛−2 = 𝑟𝑛−1 ∙ 𝑞𝑛 + 𝒓𝒏
𝑟𝑛−1 = 𝑟𝑛 ∙ 𝑞𝑛−1 + 0
Le pgcd de a et de b est le dernier reste non nul 𝑟𝑛
Exemple :
Calcul de 36 ∧ 90
𝑎
𝑏
36 = 90 × 0 + 36
90 = 36 × 2 + 𝟏𝟖
36 = 18 × 2 + 0
Calcul de 96 ∧ 91
96 = 81 × 1 + 15
81 = 15 × 5 + 6
15 = 6 × 2 + 𝟑
6= 3×2+ 0
Démonstration :
Remarque le calcul des divisions successives s’arrête
0 ≤ 𝑟 < 𝑟0
0 ≤ 𝑟1 < 𝑟0
0 ≤ 𝑟2 < 𝑟1 < 𝑟0
…
0 ≤ 𝑟𝑛 < 𝑟𝑛−1 < ⋯ < 𝑟0
∙ Montrons que 𝑟𝑛 et un diviseur commun de a et de b
𝑟 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟𝑛−1
𝑂𝑟 ∶ { 𝑛
Ect …
⇒ 𝑟𝑛 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟𝑛−2
On montre facilement par récurrence que 𝑟𝑛 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟0 et 𝑟𝑛 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎
Donc 𝑟𝑛 est un diviseur commun de a et b
∙ Montrons que tout diviseur commun c de a et b divise 𝑟0 :
Soit c diviseur commun de a et b :
𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 − 𝑏 ∙ 𝑞 ⇒ 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟1
⇒ 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟0 − 𝑟1 𝑞2 ⇒ 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟2
On montre par récurrence que 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟𝑛
𝑟 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛 𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑏
Donc { 𝑛
𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑟𝑛
Théorème 7 :
Les diviseurs communs à 2 nombres a et b sont tous diviseurs de 𝑎 ∧ 𝑏
Théorème 8 :
1) Soient (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℕ∗ 3 , (𝑐𝑎) ∧ (𝑐𝑏) = 𝑐(𝑎 ∧ 𝑏)
2) Si c’est un diviseur commun à a et b, alors
𝑎
𝑐
𝑏
∧𝑐=
(𝑎∧𝑏)
𝑐
Théorème 9 :
∀(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) ∈ ℕ∗ 4 , (𝑎 ∧ 𝑏) 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 (𝑎𝑐) ∧ (𝑏𝑑)
Démonstration :
Tout diviseur de a divise ac et tout diviseur de b divise bd. Donc les diviseurs communs à a et b
ont aussi des diviseurs communs à ac et bd
En particulier 𝑎 ∧ 𝑏 diviseur commun de ac et bd
Théorème 10 : Lemme de Gauss :
Soient (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℕ∗ 3 ,
1) Si 𝑎 ∧ 𝑏 = 1 et si 𝑎 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑏𝑐, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑐
2) Si 𝑎 ∧ 𝑏 = 1 et 𝑎 ∧ 𝑐 = 1, alors 𝑎 ∧ (𝑏𝑐) = 1
3) Si 𝑎 ∧ 𝑏 = 1, alors 𝑎 ∧ 𝑏𝑐 = 𝑎 ∧ 𝑐
Théorème 11 :
Soit p premier s’il divise le produit ∏𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 , alors il divise au moins l’un des 𝑎𝑖
Démonstration :
Supposons que p ne divise aucun des 𝑎𝑖 , alors 𝑝 ∧ 𝑎𝑖 = 1 ∀ 𝑖
𝑝 ∧ 𝑎1 = 1
} ⇒ 𝑝 ∧ (𝑎1 𝑎2 ) = 1 (D’après le théorème n° 10 – 2 )
𝑝 ∧ 𝑎2 = 1
On montre donc par récurrence que
𝑛
𝑛
𝑝 ∧ ∏ 𝑎𝑖 = 1 ⇒ 𝑝 𝑁𝐸 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑃𝐴𝑆 ∏ 𝑎𝑖
𝑖=1
𝑖=1
Contradiction avec l’hypothèse de départ ⇒ 𝑝 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑖
Calcul du pgcd en utilisant la décomposition en facteurs premiers :
2200
1100
550
275
55
11
1
2
2
2
5
5
1
⇒ 2200 = 23 × 30 × 52 × 70 × 111 × 130
}
Définition :
On définit 𝑣𝑝 (𝑛) comme la valeur de l’exposant du facteur premier p dans la
décomposition de n :
𝑣2 (2200) = 3
𝑣3 (2200) = 0
90
45
15
5
1
2
36
3
18
𝐸𝑇
3
9
5
3
1
90 = 21 × 32 × 51 × 70 × …
36 = 22 × 32 × 50 × 70 × …
2
2
3
3
⇒
}
90 ∧ 36 = 18
{90 ∧ 36 = 2𝟏 × 3𝟐 × 5𝟎 × 7𝟎
𝑣𝑝 (𝑎 ∧ 𝑏) = inf [(𝑣𝑝 (𝑎), 𝑣𝑝 (𝑏))]
𝑣𝑝 (𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐) = 𝑣𝑝 ((𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐) = 𝑣𝑝 (𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐)) = inf [(𝑣𝑝 (𝑎), 𝑣𝑝 (𝑏), 𝑣𝑝 (𝑐))]
Propriété :
𝑎1 ∧ 𝑎2 ∧ … ∧ 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∧ (𝑎2 ∧ … ∧ 𝑎𝑛 ) = 𝑎1 ∧ (𝑎2 ∧ (𝑎3 ∧ … ∧ 𝑎𝑛 ))
Pour calculer le pgcd de plusieurs entiers il suffit d’appliquer le calcul de pgcd de 2 entiers
successivement
B. PPCM
Définition :
Soient (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) ∈ ℕ∗ 𝑛
Alors l’ensemble des multiples communs aux 𝑎𝑖 n’est pas vide car il contient ∏𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 .
Son plus petit élément est appelé 𝑝𝑝𝑐𝑚(𝑎, 𝑏), noté 𝑎 𝑈𝑁𝐼𝑂𝑁 𝑏
Théorème :
Soient (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) ∈ ℕ∗ 𝑛
Alors :
𝑣𝑝 (𝑎1 ∨ 𝑎2 ∨ … ∨ 𝑎𝑛 ) = sup [(𝑣𝑝 (𝑎1 ), 𝑣𝑝 (𝑎2 ), … , 𝑣𝑝 (𝑎𝑛 ))]
Exemple :
90 ∨ 36 = 22 × 32 × 51 = 180
PRENDRE EXEMPLE SUR EMILIE
𝑎𝑏 = (𝑎 ∧ 𝑏)(𝑎 ∨ 𝑏) car la décomposition en produit de facteurs premiers est unique
Exemple :
15 ∧ 20 = 5
20
=4
5
15 × 4 = 60 = 15 ∨ 20