TS - trigonometrie

x
cos(x)
sin(x)
Chapitre 7 :
Fonctions trigonométriques
TS
- Fonctions sinus et cosinus
- Dérivées, parité, représentations graphiques.
I. Cerclce trigonométrique et mesure d’un angle orienté
Définition : Dans le cercle trigonométrique (centré en l’origine et de rayon 1) :
La longueur algébrique de l’arc de cercle
IM
dans l’intervalle ]-π;π] est la mesure
principale de l’angle α.
Exemples : Donner les mesures principales des mesures d’angles suivantes :
9 8 4
2 2 2 2
donc
92
2 2
23 24 6
4 4 4 4
donc
23 2
4 4
11 12 4
3 3 3 3
donc
11 2
3 3
7 12 5 5
2
6 6 6 6
donc
7 5 2
6 6
Définition : Soit xune mesure d’angle réelle.
Alors le point M du cercle unité associé à cet
angle de mesure xa pour coordonnées :
M(cos(x); sin(x) )
+
sens
trigonométrique

II. Propriétés des fonctions sinus et cosinus
On considère les fonctions suivantes :
sin : sin( )x x
et
cos : cos( )x x
Quelques valeurs particulières:
x
2
3
4
6
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
cos(x)
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
3
2
-1
sin(x)
-1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
Propriété : Soit xun réel.
La fonction sin est impaire, c’est-à-dire : sin(x)= - sin(-x)
La fonction cos est paire, c’est-à-dire : cos(x)= cos(-x)
Interprétation graphique : la courbe de la fonction sin est symétrique par rapport à
l’origine du repère et la courbe de la fonction cos est symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées.
Propriété : Soit xun réel.
Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques, c’est-à-dire : cos(x+2π)= cos(x)
sin(x+2π)= sin(x)
Interprétation graphique : les courbes des fonctions sin et cos sont périodiques de
période T=2π
Propriété : Soit xun réel.
cos(
2
- x)= sin(x)et sin(
2
- x)= cos(x)
cos(x)
sin(x)

III. Applications : résolutions d’équations et inéquations
Exemples: Résoudre ces équations :
a) 2cos(x)+
3
=0
2cos(x)=-
3
cos(x)=-
3
2
cos(x)=cos(
5
6
)
D’après le cercle trigonométrique, on en
déduit que :
x=
5
6
+2kπ , avec k
ou
x=-
5
6
+2kπ , avec k
b) 2(cos(x))2– 3cos(x) – 2 = 0
On pose : X=cos(x)
2X2– 3X – 2 = 0
Δ=(-3)²-4×(2)×(-2)=25
X1=
3 25 1
2 2 2
ou
X2=
3 25 2
2 2
Impossible car cos(x)☻[-1;1]
On a alors :
X1=
1
2
= cos(x)
D’après le cercle trigonométrique, on en déduit que :
x=
2
3
+2kπ , avec k
ou
x=-
2
3
+2kπ , avec k
c) sin(3x-
2
)= 0
sin(3x-
2
)= sin(0)
3x-
2
= kπ , avec k
3x=
2
+kπ , avec k
x=
6
+k
3
, avec k
-
3
2
5
6
-
5
6
2
3
-
2
3
1
2

6
5
6
1
2
7
6
11
6
Exemples: Résoudre ces inéquations sur I=]-π;π] puis sur J=[0;2π[:
a) 2sin(x)+1 >0
2sin(x) > -1
sin(x) > -
1
2
D’après le cercle trigonométrique, on en
déduit que :
Sur I : x☻
5
; ;
6 6
Sur J : x☻
7 11
0; ;2
6 6
b) 2(cos(x))2– 3cos(x) – 2 ≥ 0
On pose : X=cos(x)
2X2–3X–2≥0
On cherche les racines du trinôme :
Δ=(-3)²-4×(2)×(-2)=25
X1=
3 25 1
2 2 2
ou
X2=
3 25 2
2 2
Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des
racines, donc positif.
2X2–3X–2≥0 ñX☻
1
; 2;
2
Or X=cos(x), donc : cos(x) ☻
1
1; 2
D’après le cercle trigonométrique, on en déduit
que :
Sur I : x☻
2 2
; ;
3 3
Sur J : x☻
2 4
;
3 3
IV. Dérivées des fonctions sinus et cosinus
Propriétés : Soit xun réel. sin et cos sont dérivables sur Ëet :
sin’(x)= cos (x)et cos’(x)= -sin(x)
Pour se souvenir de ces formules on peut utiliser le moyen mnémotechnique suivant :
1
2
-
2
3
2
3
4
3

Pour dériver les fonctions sinus et cosinus, il suffit de tourner
dans le mauvais sens (le sens horaire) :
On peut ensuite en déduire les limites suivantes :
Propriétés :
0
sin( )
lim 1
x
x
x
et
0
cos( ) 1
lim 0
x
x
x
Démonstrations : On revient à la définition du nombre dérivé :
0 0
sin( ) sin(0) sin( )
sin'(0) lim lim
0
x x
x x
x x
Par ailleurs,
sin'(0) cos(0) 1 
Donc :
0
sin( )
lim 1
x
x
x
▪
0 0
cos( ) s(0) cos( ) 1
cos'(0) lim lim
0
x x
x co x
x x
Par ailleurs,
cos'(0) sin(0) 0  
Donc :
0
cos( ) 1
lim 0
x
x
x
▪
Propriétés : Soit aet bdeux réels. Soit fet gdeux fonctions définies par :
f(x)=sin(ax+b)et g(x)=cos(ax+b)
Alors fet gsont dérivables sur Ëet :
f ’(x)=a cos(ax+b)et g’(x)= -a sin(ax+b)
Exemple : Etudier sur [
3
2
;
3
2
] la fonction ftelle que : ┐x☻Ë, f(x)=cos(2x+3)
f’(x)=-2sin(2x+3)
On résout f’(x)≥0 : -2sin(2x+3) ≤0
sin(2x+3) ≥0
D’après le cercle trigonométrique :
π≥2x+3≥0
3
2
≥ x ≥
3
2
Donc le tableau de variations est le suivant :
x
3
2
3
2
3
2
f’(x)
+
-
f
-sin
sin
cos
-cos
3cos(0) 1
2
f 
3cos( ) 1
2
f
3cos( ) 1
2
f