TS - trigonometrie

Chapitre 7 :
Fonctions trigonométriques
TS
- Fonctions sinus et cosinus
- Dérivées, parité, représentations graphiques.
I.
Cerclce trigonométrique et mesure d’un angle orienté
Définition : Dans le cercle trigonométrique (centré en l’origine et de rayon 1) :
 dans l’intervalle ]-π;π] est la mesure
La longueur algébrique de l’arc de cercle IM
principale de l’angle α.
+
sens
trigonométrique
Exemples : Donner les mesures principales des mesures d’angles suivantes :
9 8 

9 
donc

  4 
  2 
2
2 2
2
2
2
23 24 

23

donc

  6 
   2 
4
4
4
4
4
4
11
12 

11 
donc 


  4 
  2 
3
3
3
3
3
3
7 12 5
5
7
5
donc


 2 
   2 
6
6
6
6
6
6
sin(x)
Définition : Soit x une mesure d’angle réelle.
Alors le point M du cercle unité associé à cet
angle de mesure x a pour coordonnées :
M ( cos(x) ; sin(x) )
x
cos(x)
II.
Propriétés des fonctions sinus et cosinus
On considère les fonctions suivantes :
et cos : x  cos( x)
sin : x  sin( x)
Quelques valeurs particulières:
x


2
cos(x)
0
sin(x)
-1


3

1
2


4
2
2
3
2

2
2


6
0




6
4
3
2
2
3

3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1

1
2
3
2
3
4

5
6
2
3

2
2
2
2
1
2

-1
0
cos(x)
sin(x)
Propriété : Soit x un réel.
La fonction sin est impaire, c’est-à-dire :
La fonction cos est paire, c’est-à-dire :
sin(x) = - sin(-x)
cos(x) = cos(-x)
Interprétation graphique : la courbe de la fonction sin est symétrique par rapport à
l’origine du repère et la courbe de la fonction cos est symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées.
Propriété : Soit x un réel.
Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques, c’est-à-dire :
cos(x+2π) = cos(x)
sin(x+2π) = sin(x)
Interprétation graphique : les courbes des fonctions sin et cos sont périodiques de
période T=2π
Propriété : Soit x un réel.
cos(

2
- x) = sin(x)
et
sin(

2
- x) = cos(x)
III. Applications : résolutions d’équations et inéquations
Exemples: Résoudre ces équations :
a)
2cos(x)+ 3 =0
2cos(x)=- 3
5
6
3
2
cos(x)=-
5
)
6
D’après le cercle trigonométrique, on en
déduit que :
5
x=
+2kπ , avec k  
6
-
cos(x)=cos(
-
3
2
5
6
ou
x=b)
5
+2kπ , avec k  
6
2(cos(x))2 – 3cos(x) – 2 = 0
On pose : X=cos(x)
2X2 – 3X – 2 = 0
Δ=(-3)²-4×(2)×(-2)=25
3  25
1
X1=

2 2
2
2
3
ou
3  25
Impossible car cos(x)☻ [-1;1]
2
2 2
On a alors :
1
X1=  = cos(x)
2
D’après le cercle trigonométrique, on en déduit que :
2
x=
+2kπ , avec k  
3
X2=
ou
2
x=+2kπ , avec k  
3
c)
sin(3xsin(3x3x-

2
3x=
x=


6
2

2

2
)= 0
)= sin(0)
= kπ
, avec k  
+kπ
, avec k  
+k

3
, avec k  

-
2
3
1
2
Exemples:
a)
2sin(x)+1 >0
2sin(x) > -1
1
sin(x) > 2
D’après le cercle trigonométrique, on en
déduit que :
5    

Sur I : x ☻   ;      ;  
6   6 

Sur J :
b)
Résoudre ces inéquations sur I=]-π;π] puis sur J=[0;2π[:
 7   11

x ☻ 0;   
; 2 
 6   6


5

7 6
6
1
2

2(cos(x))2 – 3cos(x) – 2 ≥ 0
On pose : X=cos(x)
2X2 – 3X – 2 ≥ 0
On cherche les racines du trinôme :
Δ=(-3)²-4×(2)×(-2)=25
3  25
1
X1=

2 2
2
ou
3  25
X2=
2
2 2
Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des
racines, donc positif.
1

2X2 – 3X – 2 ≥ 0
ñ
X ☻  ;     2; 
2

1

Or X=cos(x), donc :
cos(x) ☻  1;  
2

D’après le cercle trigonométrique, on en déduit
que :
2   2 

Sur I : x ☻   ;     ;  
3   3


Sur J :
IV.
 2 4 
x☻  ; 
 3 3 
2
3

1
2
2
4 3
3
-
Dérivées des fonctions sinus et cosinus
Propriétés : Soit x un réel. sin et cos sont dérivables sur Ë et :
sin’(x) = cos (x)
et
cos’(x) = -sin(x)
Pour se souvenir de ces formules on peut utiliser le moyen mnémotechnique suivant :

6 11
6
sin
Pour dériver les fonctions sinus et cosinus, il suffit de tourner
dans le mauvais sens (le sens horaire) :
cos
-cos
-sin
On peut ensuite en déduire les limites suivantes :
sin( x)
co s( x)  1
Propriétés :
et
lim
1
lim
0
x 0
x

0
x
x
Démonstrations : On revient à la définition du nombre dérivé :
sin( x)  sin(0)
sin( x)
sin'(0)  lim
 lim
x 0
x 0
x0
x
Par ailleurs, sin'(0)  cos(0)  1
sin( x)
Donc : lim
▪
1
x 0
x
cos( x)  co s(0)
cos( x)  1
 lim
x 0
x 0
x0
x
Par ailleurs, cos'(0)   sin(0)  0
co s( x)  1
Donc : lim
▪
0
x 0
x
cos'(0)  lim
Propriétés : Soit a et b deux réels. Soit f et g deux fonctions définies par :
f(x)=sin(ax+b)
et
g(x)=cos(ax+b)
Alors f et g sont dérivables sur Ë et :
f ’(x)=a cos(ax+b) et
g’(x)= -a sin(ax+b)
Exemple : Etudier sur [
  3   3
;
] la fonction f telle que :
2
2
┐x☻Ë, f(x)=cos(2x+3)
f’(x)=-2sin(2x+3)
On résout f’(x)≥0 : -2sin(2x+3) ≤ 0
sin(2x+3) ≥ 0
D’après le cercle trigonométrique :
π ≥ 2x+3 ≥ 0
 3
3
≥x≥
2
2
Donc le tableau de variations est le suivant :
x
f’(x)
  3
2
+
3
2
 3
-
2
 3
f     cos(0)  1
 2
f
   3 
f
  cos( )  1
 2 
 3
f
  cos( )  1
 2 