3 Loi de Bernoulli 4 Loi binomiale

VARIABLES ALEATOIRES FINIES V Lois usuelles
3 Loi de Bernoulli
Soit p∈[ 0 , 1 ] . Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p , ce que l’on note X → B ( p ) si :
•X(Ω) = {0,1}.
•P(X= 1) = p(et donc P(X= 0) = )
Définition
• On considère une expérience aléatoire à deux issues possibles : succès avec probabilité p et échec avec
probabilité 1 −p.
• Si Xest la variable aléatoire valant 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, alors X → B(p).
Situation modèle : l’indicateur de succès
• Exemple typique. On lance une pièce truquée donnant Pile avec probabilité p.
On note Xla variable aléatoire valant 1 si l’on obtient Pile et 0 si l’on obtient Face. Alors X → B(p).
Si X → B(p), alors E(X) = V(X) =
Proposition : Espérance et variance
Exercice 1 — Démontrer la proposition précédente.
• Remarque (et définition). Soit A⊂Ωun événement. On appelle variable indicatrice de l’événement Ala
variable, notée 1A, qui vaut 1 si Aest réalisé et 0 sinon. Alors 1Asuit une loi de Bernoulli de paramètre p=
En effet
Dans l’exemple typique A=
4 Loi binomiale
Soient n∈N∗ et p∈[ 0 , 1 ] . On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p , ce
que l’on note X → B(n,p) si :
•X(Ω) = ~0,n.
•∀k∈~0,n, P (X=k) = n
kpk(1 −p)n−k
Définition
•Remarque. Il s’agit bien d’une loi de probabilité car n
P
k=0
P(X=k) = n
P
k=0
n
kpk(1 −p)n−k=
• On considère une expérience aléatoire à deux issues possibles : succès avec probabilité p ou échec avec
probabilité 1 −p.
• On effectue nrépétitions indépendantes de cette expérience.
• Si X est la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus lors de ces n répétitions, alors X → B ( n,p ).
En effet, si on considère une telle expérience :
1. On constate que X(Ω) =
2. Pour k∈~0,n, l’événement [X=k]est la réunion de tous les événements réalisant ksuccès et n−kéchecs :
• Le nombre de tels événements est le nombre de façons de choisir ksuccès parmi les nrépétitions. En tout :
• Pour chacune de ces façons, la probabilité de l’événement correspondant est :
ceci car il y a indépendance des répétitions.
• Les événements qui composent [X=k]étant deux à deux incompatibles : P(X=k) =
Situation modèle : le compteur de succès
• Exemple typique. On lance n fois, de manière indépendante, une pièce donnant Pile avec probabilité p . On
note Xla variable aléatoire égale au nombre de piles obtenues. Alors X → B(n,p).
Si X → B(n, p), alors E(X) = V(X) =
Proposition : Espérance et variance
Exercice 2 — 1. Pour tout x∈R, on pose f(x) = n
P
k=0
n
kxk(1 −p)n−k. Montrer que E(X) = pf 0(p).
2. Pour x∈R, calculer la somme définissant f(x) puis montrer ensuite que f0(x) = n(x+ 1 −p)n−1.
3. En déduire que E(X) = np.