Équivalent d`une série entière

MP 933 &934 Devoir à la Maison no3☞ octobre 
Équivalent d’une série entière
Soient (an)n>0et (bn)n>0deux suites à termes strictement positifs, telles que an∼
n→∞ bn.
On suppose d’autre part que la fonction f:t7→ f(t) =
∞
P
n=0
antnest définie sur R.
1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction g:t7→ g(t) =
∞
P
n=0
bntn?
2. Justifier l’existence d’une suite (γn)n>0convergeant vers 0et telle que
∀n∈Nan=bn(1 + γn).
3. Soit m∈N.
(a) Prouver l’existence de δm= sup
n>m
|γn|.
(b) Montrer que :
∀t > 0∀m∈N
f(t)
g(t)−1
6δm+1
bm+1 tm+1
m
X
n=0
|γn|bntn.
(c) En déduire que f(t)∼
t→+∞g(t).
4. Application : On note hla fonction définie par
t7−→ h(t) =
∞
X
n=0
1 + 1
n+ 1n+1
n!tn.
(a) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h.
(b) Trouver un équivalent de h(t)au voisinage de +∞.
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Quelques algèbres matricielles
Notations
On désigne par Mp,q (C)l’ensemble des matrices à plignes et qcolonnes dont les coefficients sont des nombres
complexes. Pour toute matrice A∈Mp,q (C)on note t Ala matrice transposée de A,Ala matrice obtenue en conjuguant
tous les coefficients de la matrice Aet rg(A) le rang de A.
On fixe un entier n>2et on considère V = Mn,1(C),E = Mn,n(C)munis des opérations usuelles. Les vecteurs
nuls sont notés respectivement 0V, et 0E. L’espace vectoriel Vadmet pour base canonique
e1=
1
0
.
.
.
0
e2=
0
1
.
.
.
0
··· en=
0
0
.
.
.
1
.
Pour (k, m)∈[[1 ; n]]2, on pose Ek,m =ek
tem, ce qui donne une matrice à nlignes et ncolonnes dont le coefficient
d’indice (i, j)vaut 1 si (i, j) = (k, m)et 0sinon. La base canonique de Eest constituée des n2matrices Ek,m,16k6n,
16m6n. On note Ila matrice identité, I = P
16k6n
Ek,k .
Si Aest une matrice élément de Eet Wun sous-espace vectoriel de V,A(W) désigne l’ensemble {Aw;w∈W}.
Si Fest un sous-ensemble de E, on dit que West stable par Fsi
∀A∈F A(W) ⊂W.
On rappelle que toute matrice de Mn(C
C
C)admet au moins un vecteur propre, c’est-à-dire un vecteur
colonne xnon nul tel que : il existe λ∈C
C
Cvérifiant Ax=λx (le scalaire λest alors appelé valeur
propre associée à x).
Pour tout sous-ensemble Lde Eon s’intéresse aux propriétés suivantes :
P1:Lcontient (au moins) une matrice de rang 1 ;
P2:Lcontient (au moins) une matrice de rang n;
P3:Lcontient I ;
P4:Lest un sous-espace vectoriel de E;
P5:Lest stable par produit de matrices : A,B∈L⇒AB ∈L;
P6: si West un sous-espace vectoriel de Vstable par L, alors soit W = {0V}, soit W = V.
(On dit alors que Lest irréductible, NdS&W.)
I Étude de quelques exemples
I.1. Dans cette question I.1, Lest l’ensemble des A∈Equi sont inversibles : L= GLn(C).
a) Soit xun vecteur non nul de V. Montrer que, pour tout vecteur ynon nul de V, il existe une matrice inversible A
telle que Ax=y.
Indication : On peut considérer deux cas :
a) la famille (x, y)est liée ;
b) la famille (x, y)est libre.
En déduire que la propriété P6est vérifiée par L.
b) Indiquer celles des propriétés P1,. . .,P5qui sont vérifiées par L; justifier les réponses.
I.2. Dans cette section I.2, Lest l’ensemble des matrices T = (tk,m )∈Equi sont triangulaires inférieures, c’est-à-dire
telles que
m > k =⇒tk,m = 0.
a) Montrer que enest vecteur propre de tout T∈L, c’est-à-dire qu’il existe λ∈Ctel que Ten=λ en.
Que peut-on dire de la propriété P6pour L?
b) Indiquer celles des propriétés P1,. . .,P5qui sont vérifiées par L; justifier les réponses.
I.3. Dans cette section I.3, n= 2 et Lest un sous-ensemble de Epour lequel P3et P4sont vérifiées.
a) On suppose que P1n’est pas vérifiée par L(les matrices 2×2de rang 1appartiennent donc toutes à ErL,
complémentaire de Ldans E). Soient A∈Let λ∈C. Quelles sont les valeurs possibles du rang de A−λI? Montrer
que Lest l’ensemble des homothéties vectorielles.
b) On suppose que P6est vérifiée par L. Montrer qu’alors la propriété P1, est vérifiée par L.
*** Dans toute la suite du problème, P4et P5sont supposées vérifiées :
L
L
Lest donc un sous-espace vectoriel de Estable par produit matriciel. ***
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II
Dans cette partie, les propriétés P3et P6sont supposées vérifiées par L(en plus de P4et P5). On veut montrer
qu’alors P1aussi est vérifiée.
On note
m= min nrg(M) ; M ∈Lr{0E}o,
et on se propose de montrer que m= 1, ce qui établira P1.
On suppose dans un premier temps que m>2. On note alors M0un élément de Lqui vérifie rg(M0) = met on
considère une base (z1, z2,...,zm)de M0(V). On note x1, x2,...,xmdes éléments de Vtels que :
∀i∈[[1 ; m]] M0xi=zi.
II.1. Montrer que {Nz1; N ∈L}= V.
On note alors N0un élément de Lqui vérifie N0z1=x2et on pose M1= M0N0M0. Montrer que (M0,M1)est
une famille libre.
II.2. Montrer que M0(V) est stable par M0N0puis que
∃(α, z)∈C×M0(V) z6= 0Vet M0N0z=αz.
En déduire que 0<rg(M1−αM0)<rg(M0).
Conclure que m= 1.
III Aucun hyperplan n’est stable par produit matriciel
Dans cette partie on suppose que n > 2et que la dimension de Lest supérieure ou égale à n2−1. On veut montrer
que P3et P6sont vérifiées (on rappelle que P4et P5le sont toujours), puis que L= E , c’est-à-dire qu il n’existe pas
d’hyperplan de Estable par produit matriciel.
III.1. Soit Wun sous-espace vectoriel de Vstable par L; on note kla dimension de W. Montrer que
{M∈E ; M(W) ⊂W}
est un sous-espace vectoriel de Equi contient Let dont la dimension vaut n2−k(n−k). En déduire que W = {0V}
ou W = V. On a donc démontré P6.
III.2. a) On suppose ici :
∃(k, m)∈[[1 ; n]]2k6=met Ek,m ∈ErL.(∗)
On note alors H= Vect(Ek,m,I) le sous-espace vectoriel de Eengendré par Ek,m et I. Montrer que dim(H∩L)>1
puis que Lcontient une matrice inversible.
b) On suppose ici que c’est le contraire de (∗) qui est vrai, donc
k6=m=⇒Ek,m ∈L.
Trouver une combinaison linéaire de ces Ek,m qui donne une matrice inversible. En déduire que dans tous les cas L
contient une matrice inversible A.
III.3. Montrer que pour la matrice Adéfinie ci-dessus, la famille A,A2,...,An2+1est une famille liée. En déduire qu’il
existe un entier p > 0et des nombres complexes (λi)06i6ptels que λ0λp6= 0 et
λ0I + λ1A + ···+λpAp= 0.
Montrer alors que I∈L.
On a donc démontré P3.
Compte tenu de la partie II, la propriété P1est donc satisfaite. On note alors M0une matrice de rang 1qui
appartient à L, matrice que l’on peut écrire
M0=v0
tw0,où v0, w0∈Vr{0V}.
On introduit le produit scalaire canonique sur V,(v, w)7→ t¯vw et, pour v∈Von pose
Av={Lv; L ∈L}Bv={tLv; L ∈L}
et Cv= (Bv)⊥={u∈V ; ∀w∈Bv
t¯uw = 0}.
III.4. Soit u∈V,u6= 0V. Montrer que Cuest un sous-espace vectoriel de Vstable par Let que Bun’est pas réduit à {0V}.
Montrer alors que Cu={0V}et Bu= V.
Montrer que Av= V. En déduire que pour tout (x.y)∈V2, il existe L,M∈Ltels que Lv0=xet tMw0=y, puis
que toute matrice A∈Ede rang 1appartient à L. Montrer que L= E.
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