1 Étude d`une série de fonctions

Devoir Surveillé no 4
MP 933 & 934
 novembre 
Les trois problèmes sont complètement indépendants.
Le lecteur est invité à commencer par survoler l’ensemble des trois problèmes avant de commencer.
1
Étude d’une série de fonctions
CCP MP 1999 Maths 1
On étudie des propriétés de la série de fonctions de la variable réelle dont le terme général est, k étant un entier
naturel supérieur ou égal à 1 :
1
.
uk : x 7−→
3/2
(k + x) + (k + x)1/2
Quand elle existe, on note la somme de cette série par
U(x) =
∞
X
uk (x).
k=1
Dans cette partie (la première sur les quatre qui constituaient le problème original), on étudie des propriétés liées à
la régularité de U, notamment son comportement aux bornes de son intervalle de définition, ainsi que son intégrabilité.
1. Montrer que le domaine de définition de U est ] −1 ; +∞ [. Dans la suite, on note I cet intervalle.
2. a) Montrer que l’application x 7→
∞
P
k=2
uk (x) est définie et de classe C 1 sur [ −1 ; +∞ [.
b) En déduire que :
— U est de classe C 1 sur I ;
— il existe deux réels λ et µ tels qu’au voisinage de −1, on ait
U(x) ∼
x→−1
3. a) Montrer que U est intégrable sur l’intervalle ] −1 ; 0 ].
b) Pour −1 < a < b et k entier naturel non nul, calculer
R
c) Calculer ] −1 ; 0 ] U.
R
[a;b]
λ
.
(x + 1)µ
uk . On pourra poser t =
√
x + k pour x ∈ [ a ; b ].
4. On étudie U au voisinage de +∞.
a) Trouver lim U.
+∞
b) Pour x ∈ I fixé, justifier l’intégrabilité sur [ 1 ; +∞ [ de l’application
t 7−→
c) Trouver, à l’aide de
Z
+∞
1
(t +
x)3/2
(t +
x)3/2
1
.
+ (t + x)1/2
dt
, un développement au voisinage de +∞ de la forme
+ (t + x)1/2
δ
1
U(x) = ν + O
.
x
xν+1
d) U est-elle intégrable sur [ 0 ; +∞ [ ?
samedi  novembre  —  frimaire 
/home/walter/LaTeX/MP/Annee/2013/DS-2013/DS04.tex
Devoir Surveillé no 4
Mathématiques, MP 933 & 934

2
Étude d’une équation fonctionnelle
et application à la fonction Γ d’Euler
Ce problème a pour objectif l’étude des fonctions f : ] 0 ; +∞ [ → R vérifiant les relations :
(
∀x > 0
f (x + 1) − f (x) = ϕ(x)
(∗)
f (1) = λ
où λ est un réel donné et ϕ : ] 0 ; +∞ [ → R est une fonction donnée.
I
Une équation fonctionnelle
On suppose dans cette partie que ϕ est décroissante sur ] 0 ; +∞ [ et que lim ϕ(x) = 0
x→+∞
I.1. On pose pour tous n ∈ N et p ∈ N : un (p) = ϕ(n) − ϕ(n + p).
N
P
a) Pour tout entier N > p, calculer
un (p) en fonction des nombres un (N).
∗
n=1
b) En déduire, pour tout p ∈ N, la convergence et la somme de la série
∗
I.2. On pose, pour tous n ∈ NP
et x ∈ R+ : un (x) = ϕ(n) − ϕ(n + x).
a) Montrer que la série
un (x) converge pour tout x ∈ R+ .
P
un (p).
n>1
n>1
Indication : Après avoir fixé un réel x, on pourra choisir un entier qui lui est supérieur.
b) Montrer que la série de fonctions
P
un converge uniformément sur tout segment de R+ .
n>1
I.3. On pose pour tout x > 0 : f0 (x) = λ − ϕ(x) +
les relations (∗).
+∞
P
n=1
ϕ(n) − ϕ(n + x) . Montrer que la fonction f0 est croissante et vérifie
I.4. Soit f une fonction croissante sur ] 0 ; +∞ [ vérifiant les relations (∗). On pose g = f − f0 .
a) Montrer qu’il existe T > 0 tel que g(x) = g(x + T) pour tout x > 0.
b) Montrer que pour tout n ∈ N∗ et pour tout x ∈ ] 0 ; 1 ], on a : g(x) 6 ϕ(n).
c) En déduire que f0 est l’unique fonction croissante et vérifiant les relations (∗).
I.5. On suppose dans cette question que ϕ est continue sur ] 0 ; +∞ [.
a) Montrer que f0 est continue sur ] 0 ; +∞ [.
b) Montrer que f0 + ϕ est prolongeable par continuité en 0.
II
Dérivation
On suppose dans cette partie que ϕ est de classe C 1 sur ] 0 ; +∞ [, que ϕ′ est décroissante sur ] 0 ; +∞ [ et que
lim ϕ′ (x) = 0.
x→+∞
II.1. Soit µ un réel donné. Montrer qu’il existe une unique fonction gµ , définie et croissante sur ] 0 ; +∞ [, et vérifiant les
relations :
(
∀x > 0
gµ (x + 1) − gµ (x) = ϕ′ (x)
(∗∗)
gµ (1) = µ
II.2. On pose pour tout x > 0 :
+∞
P
ϕ′ (n) − ϕ′ (n + x) .
n=1
R x+1
Montrer que la fonction x 7→ ϕ(x + 1) − x h(t) dt est définie et constante sur [ 0 ; +∞ [.
h(x) =
II.3. Montrer qu’il existe une unique valeur µ0 de µ et une unique primitive Gµ0 de gµ0 sur ] 0 ; +∞ [ telles que Gµ0 vérifie
les relations (∗).
II.4. En déduire qu’il existe une unique fonction f1 , dérivable sur ] 0 ; +∞ [, vérifiant les relations (∗) et telle que f1′ soit
croissante sur ] 0 ; +∞ [.
R1
Rx
Donner, pour tout x > 0, une expression de f1 (x) à l’aide de λ, x, ϕ(1), ϕ(x), 0 h(t) dt et 0 h(t) dt.
II.5. Montrer, pour tout x > 0, les formules suivantes :
DS04.tex
Devoir Surveillé no 4
Mathématiques, MP 933 & 934

f1′ (x) = ϕ(1) − ϕ′ (x) +
+∞
X
n=1
f1 (x) = λ + x ϕ(1) − ϕ(x) +
III
ϕ(n + 1) − ϕ(n) − ϕ′ (n + x)
+∞
X
n=1
ϕ(n) − ϕ(n + x) + x ϕ(n + 1) − x ϕ(n) .
Un exemple : la fonction Γ d’Euler
X1
III.1. Montrer que la série numérique
n>1
1
− ln 1 +
converge. On notera γ sa somme.
n
n
III.2. Montrer qu’il existe une unique fonction Γ : ] 0 ; +∞ [ → ] 0 ; +∞ [, dérivable sur ] 0 ; +∞ [ et vérifiant les relations :

Γ(x + 1) = x Γ(x)
 ∀x > 0
(∗ ∗ ∗)
Γ′
 Γ(1) = 1
est croissante sur ] 0 ; +∞ [.
Γ
III.3. Établir les relations suivantes, valables pour tout x > 0 :
ln Γ(x) = − ln(x) − γx −
+∞
X
h
x i
ln e−x/n 1 +
,
n
n=1
N Y
1
x −x/n
= x eγx lim
1+
e
,
N→+∞
Γ(x)
n
n=1
3
Γ(x) = lim Nx N!
N→+∞
N
Y
(x + n)−1 .
n=0
Le premier théorème de Weierstrass
Ce court problème visant à démontrer le premier théorème de Weierstrass, il est bien entendu qu’on ne s’en servira
pas...
I
Suites de Dirac
Une fonction f : R → R est dite à support compact si et seulement si il existe un segment [ a ; b ] en dehors duquel
la fonction f est nulle.
On appelle suite de Dirac toute suite (ϕn )n>0 de fonctions continues sur R et à valeurs réelles, vérifiant :
∀n ∈ N
ϕn > 0
Z +∞
ϕn = 1
−∞
Z
ϕn −−−−→ 0.
∀n ∈ N
∀η > 0
Rr[ −η ; +η ]
n→∞
I.1. On définit la suite (δn )n>1 par :
∀n ∈ N
∗
δn (x) =
(
n+1
2
0
1 − |x|
n
si − 1 6 x 6 1
sinon.
Représenter schématiquement la suite (δn )n>1 , et montrer que c’est une suite de Dirac.
I.2. Soit (ϕn )n>0 une suite de Dirac. Soit f : R → R une fonction continue à support compact. Montrer que
lim
n→∞
Z
+∞
ϕn (x) f (x) dx = f (0).
−∞
Indication : On pourra commencer par le cas où f (0) = 0, et on epsilonisera avec soin.
DS04.tex
Devoir Surveillé no 4
Mathématiques, MP 933 & 934

II
Produit de convolution
Soit f : R → R une fonction continue à support compact ; pour fixer les idées, on pourra supposer que f est nulle
en dehors d’un segment [ −a ; a ], avec a > 0.
Pour toute fonction g : R → R continue, on définit le produit de convolution h = f ∗ g par :
Z +∞
∀x ∈ R
h(x) =
f (t) g(x − t) dt.
−∞
II.1. Si g : R → R est une fonction continue, justifier l’existence de f ∗ g et de g ∗ f , et montrer que f ∗ g = g ∗ f .
II.2. Soit (ϕn )n>0 une suite de Dirac. Pour tout n ∈ N, on définit fn = f ∗ ϕn . Montrer que la suite (fn )n>0 converge
simplement vers f .
II.3. Justifier le fait que f est uniformément continue.
II.4. Montrer que la suite (fn )n>0 converge uniformément vers f .
Indication : Pour x ∈ R, on remarquera que
f (x) =
Z
+∞
ϕn (t) f (x) dt.
−∞
Ensuite, on epsilonisera avec.... avec quoi ? avec soin !
III
III.1. Pour tout n ∈ N∗ , on note an =
Démonstration du théorème de Weierstrass
R1
−1
(1 − x2 )n dx et on définit
ψn (x) =
(
2 n
a−1
n (1 − x )
0
si − 1 6 x 6 1,
sinon.
On ne cherchera pas à calculer an .
Représenter schématiquement la suite (ψn )n>1 .
a) Soit η ∈ ] 0 ; 1 ]. Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , on a
Z
2(1 − η)
06
ψn (x) dx 6
(1 − η 2 )n .
a
n
Rr[ −η ; +η ]
2(1 − η)(1 − η 2 )n
αn+1
, déterminer lim
et en déduire
n→∞ αn
an
b) Déterminer une relation entre an et an−1 . En notant αn =
lim αn .
n→∞
c) Montrer que (ψn )n>1 est une suite de Dirac.
III.2. Soit f une fonction continue, à support inclus dans − 12 ; + 12 . On note, pour tout n ∈ N : fn = ψn ∗ f , où (ψn )n>0 a
été définie dans la question III.1
En remarquant que :
1
1
∀x ∈ − ; +
2
2
1
fn (x) =
an
Z
+1/2
−1/2
f (t) 1 − (x − t)2
n
dt,
montrer que la restriction de fn à − 21 ; 12 est une fonction polynomiale.
III.3. Soit h − 14 ; + 14 :→ R une fonction continue. Montrer qu’on peut la prolonger en une fonction continue sur R, à
support dans − 21 ; 12 .
III.4. Soit [ a ; b ] un segment de R et soit g : [ a ; b ] → R une fonction continue. Montrer qu’il existe une suite (Pn )n>0 de
fonctions polynomiales qui converge uniformément vers g.
Le premier théorème de Weierstrass
DS04.tex