1 Étude d`une série de fonctions

MP 933 &934 Devoir Surveillé no4 novembre 
Les trois problèmes sont complètement indépendants.
Le lecteur est invité à commencer par survoler l’ensemble des trois problèmes avant de commencer.
1 Étude d’une série de fonctions
CCP MP 1999 Maths 1
On étudie des propriétés de la série de fonctions de la variable réelle dont le terme général est, kétant un entier
naturel supérieur ou égal à 1:
uk:x7−→ 1
(k+x)3/2+ (k+x)1/2.
Quand elle existe, on note la somme de cette série par
U(x) =
∞
X
k=1
uk(x).
Dans cette partie (la première sur les quatre qui constituaient le problème original), on étudie des propriétés liées à
la régularité de U, notamment son comportement aux bornes de son intervalle de définition, ainsi que son intégrabilité.
1. Montrer que le domaine de définition de Uest ]−1 ; +∞[. Dans la suite, on note Icet intervalle.
2. a) Montrer que l’application x7→
∞
P
k=2
uk(x)est définie et de classe C1sur [−1 ; +∞[.
b) En déduire que :
—Uest de classe C1sur I;
— il existe deux réels λet µtels qu’au voisinage de −1, on ait
U(x)∼
x→−1
λ
(x+ 1)µ.
3. a) Montrer que Uest intégrable sur l’intervalle ]−1 ; 0 ].
b) Pour −1< a < b et kentier naturel non nul, calculer R[a;b]uk. On pourra poser t=√x+kpour x∈[a;b].
c) Calculer R]−1 ; 0 ] U.
4. On étudie Uau voisinage de +∞.
a) Trouver lim
+∞U.
b) Pour x∈Ifixé, justifier l’intégrabilité sur [ 1 ; +∞[de l’application
t7−→ 1
(t+x)3/2+ (t+x)1/2.
c) Trouver, à l’aide de Z+∞
1
dt
(t+x)3/2+ (t+x)1/2, un développement au voisinage de +∞de la forme
U(x) = δ
xν+ O 1 xν+1 .
d) Uest-elle intégrable sur [ 0 ; +∞[?
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2 Étude d’une équation fonctionnelle
et application à la fonction Γd’Euler
Ce problème a pour objectif l’étude des fonctions f: ] 0 ; +∞[→Rvérifiant les relations :
(∗)(∀x > 0f(x+ 1) −f(x) = ϕ(x)
f(1) = λ
où λest un réel donné et ϕ: ] 0 ; +∞[→Rest une fonction donnée.
I Une équation fonctionnelle
On suppose dans cette partie que ϕest décroissante sur ] 0 ; +∞[et que lim
x→+∞ϕ(x) = 0
I.1. On pose pour tous n∈N∗et p∈N:un(p) = ϕ(n)−ϕ(n+p).
a) Pour tout entier N> p, calculer N
P
n=1
un(p)en fonction des nombres un(N).
b) En déduire, pour tout p∈N, la convergence et la somme de la série P
n>1
un(p).
I.2. On pose, pour tous n∈N∗et x∈R+:un(x) = ϕ(n)−ϕ(n+x).
a) Montrer que la série P
n>1
un(x)converge pour tout x∈R+.
Indication : Après avoir fixé un réel x, on pourra choisir un entier qui lui est supérieur.
b) Montrer que la série de fonctions P
n>1
unconverge uniformément sur tout segment de R+.
I.3. On pose pour tout x > 0:f0(x) = λ−ϕ(x) +
+∞
P
n=1 ϕ(n)−ϕ(n+x). Montrer que la fonction f0est croissante et vérifie
les relations (∗).
I.4. Soit fune fonction croissante sur ] 0 ; +∞[vérifiant les relations (∗). On pose g=f−f0.
a) Montrer qu’il existe T>0tel que g(x) = g(x+ T) pour tout x > 0.
b) Montrer que pour tout n∈N∗et pour tout x∈] 0 ; 1 ], on a : g(x)6ϕ(n).
c) En déduire que f0est l’unique fonction croissante et vérifiant les relations (∗).
I.5. On suppose dans cette question que ϕest continue sur ] 0 ; +∞[.
a) Montrer que f0est continue sur ] 0 ; +∞[.
b) Montrer que f0+ϕest prolongeable par continuité en 0.
II Dérivation
On suppose dans cette partie que ϕest de classe C1sur ] 0 ; +∞[, que ϕ′est décroissante sur ] 0 ; +∞[et que
lim
x→+∞ϕ′(x) = 0.
II.1. Soit µun réel donné. Montrer qu’il existe une unique fonction gµ, définie et croissante sur ] 0 ; +∞[, et vérifiant les
relations :
(∗∗)(∀x > 0gµ(x+ 1) −gµ(x) = ϕ′(x)
gµ(1) = µ
II.2. On pose pour tout x>0:h(x) =
+∞
P
n=1 ϕ′(n)−ϕ′(n+x).
Montrer que la fonction x7→ ϕ(x+ 1) −Rx+1
xh(t) dtest définie et constante sur [ 0 ; +∞[.
II.3. Montrer qu’il existe une unique valeur µ0de µet une unique primitive Gµ0de gµ0sur ] 0 ; +∞[telles que Gµ0vérifie
les relations (∗).
II.4. En déduire qu’il existe une unique fonction f1, dérivable sur ] 0 ; +∞[, vérifiant les relations (∗)et telle que f′
1soit
croissante sur ] 0 ; +∞[.
Donner, pour tout x > 0, une expression de f1(x)à l’aide de λ,x,ϕ(1),ϕ(x),R1
0h(t) dtet Rx 0h(t) dt.
II.5. Montrer, pour tout x > 0, les formules suivantes :
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f′
1(x) = ϕ(1) −ϕ′(x) +
+∞
X
n=1 ϕ(n+ 1) −ϕ(n)−ϕ′(n+x)
f1(x) = λ+x ϕ(1) −ϕ(x) +
+∞
X
n=1 ϕ(n)−ϕ(n+x) + x ϕ(n+ 1) −x ϕ(n).
III Un exemple : la fonction Γd’Euler
III.1. Montrer que la série numérique X
n>11
n−ln 1 + 1 nconverge. On notera γsa somme.
III.2. Montrer qu’il existe une unique fonction Γ : ] 0 ; +∞[→] 0 ; +∞[, dérivable sur ] 0 ; +∞[et vérifiant les relations :
(∗ ∗ ∗)
∀x > 0 Γ(x+ 1) = xΓ(x)
Γ(1) = 1 Γ′
Γest croissante sur ] 0 ; +∞[.
III.3. Établir les relations suivantes, valables pour tout x > 0:
ln Γ(x) = −ln(x)−γx −
+∞
X
n=1
ln he−x/n 1 + x
ni,
1
Γ(x)=xeγx lim
N→+∞
N
Y
n=1 1 + x
ne−x/n,Γ(x) = lim
N→+∞NxN!
N
Y
n=0
(x+n)−1.
3 Le premier théorème de Weierstrass
Ce court problème visant à démontrer le premier théorème de Weierstrass, il est bien entendu qu’on ne s’en servira
pas...
I Suites de Dirac
Une fonction f:R→Rest dite à support compact si et seulement si il existe un segment [a;b]en dehors duquel
la fonction fest nulle.
On appelle suite de Dirac toute suite (ϕn)n>0de fonctions continues sur Ret à valeurs réelles, vérifiant :
∀n∈Nϕn>0
∀n∈NZ+∞
−∞
ϕn= 1
∀η > 0ZRr[−η; +η] ϕn−−−−→
n→∞ 0.
I.1. On définit la suite (δn)n>1par :
∀n∈N∗δn(x) = (n+1
21− |x|nsi −16x61
0sinon.
Représenter schématiquement la suite (δn)n>1, et montrer que c’est une suite de Dirac.
I.2. Soit (ϕn)n>0une suite de Dirac. Soit f:R→Rune fonction continue à support compact. Montrer que
lim
n→∞ Z+∞
−∞
ϕn(x)f(x) dx=f(0).
Indication : On pourra commencer par le cas où f(0) = 0, et on epsilonisera avec soin.
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II Produit de convolution
Soit f:R→Rune fonction continue à support compact ; pour fixer les idées, on pourra supposer que fest nulle
en dehors d’un segment [−a;a], avec a > 0.
Pour toute fonction g:R→Rcontinue, on définit le produit de convolution h=f∗gpar :
∀x∈Rh(x) = Z+∞
−∞
f(t)g(x−t) dt.
II.1. Si g:R→Rest une fonction continue, justifier l’existence de f∗get de g∗f, et montrer que f∗g=g∗f.
II.2. Soit (ϕn)n>0une suite de Dirac. Pour tout n∈N, on définit fn=f∗ϕn. Montrer que la suite (fn)n>0converge
simplement vers f.
II.3. Justifier le fait que fest uniformément continue.
II.4. Montrer que la suite (fn)n>0converge uniformément vers f.
Indication : Pour x∈R, on remarquera que
f(x) = Z+∞
−∞
ϕn(t)f(x) dt.
Ensuite, on epsilonisera avec.... avec quoi ? avec soin !
III Démonstration du théorème de Weierstrass
III.1. Pour tout n∈N∗, on note an=R1
−1(1 −x2)ndxet on définit
ψn(x) = (a−1
n(1 −x2)nsi −16x61,
0sinon.
On ne cherchera pas à calculer an.
Représenter schématiquement la suite (ψn)n>1.
a) Soit η∈] 0 ; 1 ]. Montrer que, pour tout n∈N∗, on a
06ZRr[−η; +η] ψn(x) dx62(1 −η)
an
(1 −η2)n.
b) Déterminer une relation entre anet an−1. En notant αn=2(1 −η)(1 −η2)n
an
, déterminer lim
n→∞
αn+1
αn
et en déduire
lim
n→∞ αn.
c) Montrer que (ψn)n>1est une suite de Dirac.
III.2. Soit fune fonction continue, à support inclus dans −1
2; + 1 2. On note, pour tout n∈N:fn=ψn∗f, où (ψn)n>0a
été définie dans la question III.1
En remarquant que :
∀x∈−1
2; + 1 2fn(x) = 1 anZ+1/2
−1/2
f(t)1−(x−t)2ndt,
montrer que la restriction de fnà−1
2;1 2est une fonction polynomiale.
III.3. Soit h−1
4; + 1 4:→Rune fonction continue. Montrer qu’on peut la prolonger en une fonction continue sur R, à
support dans −1
2;1 2.
III.4. Soit [a;b]un segment de Ret soit g: [ a;b]→Rune fonction continue. Montrer qu’il existe une suite (Pn)n>0de
fonctions polynomiales qui converge uniformément vers g.
Le premier théorème de Weierstrass DS04.tex