Devoir Surveillé no 4 MP 933 & 934 novembre Les trois problèmes sont complètement indépendants. Le lecteur est invité à commencer par survoler l’ensemble des trois problèmes avant de commencer. 1 Étude d’une série de fonctions CCP MP 1999 Maths 1 On étudie des propriétés de la série de fonctions de la variable réelle dont le terme général est, k étant un entier naturel supérieur ou égal à 1 : 1 . uk : x 7−→ 3/2 (k + x) + (k + x)1/2 Quand elle existe, on note la somme de cette série par U(x) = ∞ X uk (x). k=1 Dans cette partie (la première sur les quatre qui constituaient le problème original), on étudie des propriétés liées à la régularité de U, notamment son comportement aux bornes de son intervalle de définition, ainsi que son intégrabilité. 1. Montrer que le domaine de définition de U est ] −1 ; +∞ [. Dans la suite, on note I cet intervalle. 2. a) Montrer que l’application x 7→ ∞ P k=2 uk (x) est définie et de classe C 1 sur [ −1 ; +∞ [. b) En déduire que : — U est de classe C 1 sur I ; — il existe deux réels λ et µ tels qu’au voisinage de −1, on ait U(x) ∼ x→−1 3. a) Montrer que U est intégrable sur l’intervalle ] −1 ; 0 ]. b) Pour −1 < a < b et k entier naturel non nul, calculer R c) Calculer ] −1 ; 0 ] U. R [a;b] λ . (x + 1)µ uk . On pourra poser t = √ x + k pour x ∈ [ a ; b ]. 4. On étudie U au voisinage de +∞. a) Trouver lim U. +∞ b) Pour x ∈ I fixé, justifier l’intégrabilité sur [ 1 ; +∞ [ de l’application t 7−→ c) Trouver, à l’aide de Z +∞ 1 (t + x)3/2 (t + x)3/2 1 . + (t + x)1/2 dt , un développement au voisinage de +∞ de la forme + (t + x)1/2 δ 1 U(x) = ν + O . x xν+1 d) U est-elle intégrable sur [ 0 ; +∞ [ ? samedi novembre — frimaire /home/walter/LaTeX/MP/Annee/2013/DS-2013/DS04.tex Devoir Surveillé no 4 Mathématiques, MP 933 & 934 2 Étude d’une équation fonctionnelle et application à la fonction Γ d’Euler Ce problème a pour objectif l’étude des fonctions f : ] 0 ; +∞ [ → R vérifiant les relations : ( ∀x > 0 f (x + 1) − f (x) = ϕ(x) (∗) f (1) = λ où λ est un réel donné et ϕ : ] 0 ; +∞ [ → R est une fonction donnée. I Une équation fonctionnelle On suppose dans cette partie que ϕ est décroissante sur ] 0 ; +∞ [ et que lim ϕ(x) = 0 x→+∞ I.1. On pose pour tous n ∈ N et p ∈ N : un (p) = ϕ(n) − ϕ(n + p). N P a) Pour tout entier N > p, calculer un (p) en fonction des nombres un (N). ∗ n=1 b) En déduire, pour tout p ∈ N, la convergence et la somme de la série ∗ I.2. On pose, pour tous n ∈ NP et x ∈ R+ : un (x) = ϕ(n) − ϕ(n + x). a) Montrer que la série un (x) converge pour tout x ∈ R+ . P un (p). n>1 n>1 Indication : Après avoir fixé un réel x, on pourra choisir un entier qui lui est supérieur. b) Montrer que la série de fonctions P un converge uniformément sur tout segment de R+ . n>1 I.3. On pose pour tout x > 0 : f0 (x) = λ − ϕ(x) + les relations (∗). +∞ P n=1 ϕ(n) − ϕ(n + x) . Montrer que la fonction f0 est croissante et vérifie I.4. Soit f une fonction croissante sur ] 0 ; +∞ [ vérifiant les relations (∗). On pose g = f − f0 . a) Montrer qu’il existe T > 0 tel que g(x) = g(x + T) pour tout x > 0. b) Montrer que pour tout n ∈ N∗ et pour tout x ∈ ] 0 ; 1 ], on a : g(x) 6 ϕ(n). c) En déduire que f0 est l’unique fonction croissante et vérifiant les relations (∗). I.5. On suppose dans cette question que ϕ est continue sur ] 0 ; +∞ [. a) Montrer que f0 est continue sur ] 0 ; +∞ [. b) Montrer que f0 + ϕ est prolongeable par continuité en 0. II Dérivation On suppose dans cette partie que ϕ est de classe C 1 sur ] 0 ; +∞ [, que ϕ′ est décroissante sur ] 0 ; +∞ [ et que lim ϕ′ (x) = 0. x→+∞ II.1. Soit µ un réel donné. Montrer qu’il existe une unique fonction gµ , définie et croissante sur ] 0 ; +∞ [, et vérifiant les relations : ( ∀x > 0 gµ (x + 1) − gµ (x) = ϕ′ (x) (∗∗) gµ (1) = µ II.2. On pose pour tout x > 0 : +∞ P ϕ′ (n) − ϕ′ (n + x) . n=1 R x+1 Montrer que la fonction x 7→ ϕ(x + 1) − x h(t) dt est définie et constante sur [ 0 ; +∞ [. h(x) = II.3. Montrer qu’il existe une unique valeur µ0 de µ et une unique primitive Gµ0 de gµ0 sur ] 0 ; +∞ [ telles que Gµ0 vérifie les relations (∗). II.4. En déduire qu’il existe une unique fonction f1 , dérivable sur ] 0 ; +∞ [, vérifiant les relations (∗) et telle que f1′ soit croissante sur ] 0 ; +∞ [. R1 Rx Donner, pour tout x > 0, une expression de f1 (x) à l’aide de λ, x, ϕ(1), ϕ(x), 0 h(t) dt et 0 h(t) dt. II.5. Montrer, pour tout x > 0, les formules suivantes : DS04.tex Devoir Surveillé no 4 Mathématiques, MP 933 & 934 f1′ (x) = ϕ(1) − ϕ′ (x) + +∞ X n=1 f1 (x) = λ + x ϕ(1) − ϕ(x) + III ϕ(n + 1) − ϕ(n) − ϕ′ (n + x) +∞ X n=1 ϕ(n) − ϕ(n + x) + x ϕ(n + 1) − x ϕ(n) . Un exemple : la fonction Γ d’Euler X1 III.1. Montrer que la série numérique n>1 1 − ln 1 + converge. On notera γ sa somme. n n III.2. Montrer qu’il existe une unique fonction Γ : ] 0 ; +∞ [ → ] 0 ; +∞ [, dérivable sur ] 0 ; +∞ [ et vérifiant les relations : Γ(x + 1) = x Γ(x) ∀x > 0 (∗ ∗ ∗) Γ′ Γ(1) = 1 est croissante sur ] 0 ; +∞ [. Γ III.3. Établir les relations suivantes, valables pour tout x > 0 : ln Γ(x) = − ln(x) − γx − +∞ X h x i ln e−x/n 1 + , n n=1 N Y 1 x −x/n = x eγx lim 1+ e , N→+∞ Γ(x) n n=1 3 Γ(x) = lim Nx N! N→+∞ N Y (x + n)−1 . n=0 Le premier théorème de Weierstrass Ce court problème visant à démontrer le premier théorème de Weierstrass, il est bien entendu qu’on ne s’en servira pas... I Suites de Dirac Une fonction f : R → R est dite à support compact si et seulement si il existe un segment [ a ; b ] en dehors duquel la fonction f est nulle. On appelle suite de Dirac toute suite (ϕn )n>0 de fonctions continues sur R et à valeurs réelles, vérifiant : ∀n ∈ N ϕn > 0 Z +∞ ϕn = 1 −∞ Z ϕn −−−−→ 0. ∀n ∈ N ∀η > 0 Rr[ −η ; +η ] n→∞ I.1. On définit la suite (δn )n>1 par : ∀n ∈ N ∗ δn (x) = ( n+1 2 0 1 − |x| n si − 1 6 x 6 1 sinon. Représenter schématiquement la suite (δn )n>1 , et montrer que c’est une suite de Dirac. I.2. Soit (ϕn )n>0 une suite de Dirac. Soit f : R → R une fonction continue à support compact. Montrer que lim n→∞ Z +∞ ϕn (x) f (x) dx = f (0). −∞ Indication : On pourra commencer par le cas où f (0) = 0, et on epsilonisera avec soin. DS04.tex Devoir Surveillé no 4 Mathématiques, MP 933 & 934 II Produit de convolution Soit f : R → R une fonction continue à support compact ; pour fixer les idées, on pourra supposer que f est nulle en dehors d’un segment [ −a ; a ], avec a > 0. Pour toute fonction g : R → R continue, on définit le produit de convolution h = f ∗ g par : Z +∞ ∀x ∈ R h(x) = f (t) g(x − t) dt. −∞ II.1. Si g : R → R est une fonction continue, justifier l’existence de f ∗ g et de g ∗ f , et montrer que f ∗ g = g ∗ f . II.2. Soit (ϕn )n>0 une suite de Dirac. Pour tout n ∈ N, on définit fn = f ∗ ϕn . Montrer que la suite (fn )n>0 converge simplement vers f . II.3. Justifier le fait que f est uniformément continue. II.4. Montrer que la suite (fn )n>0 converge uniformément vers f . Indication : Pour x ∈ R, on remarquera que f (x) = Z +∞ ϕn (t) f (x) dt. −∞ Ensuite, on epsilonisera avec.... avec quoi ? avec soin ! III III.1. Pour tout n ∈ N∗ , on note an = Démonstration du théorème de Weierstrass R1 −1 (1 − x2 )n dx et on définit ψn (x) = ( 2 n a−1 n (1 − x ) 0 si − 1 6 x 6 1, sinon. On ne cherchera pas à calculer an . Représenter schématiquement la suite (ψn )n>1 . a) Soit η ∈ ] 0 ; 1 ]. Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , on a Z 2(1 − η) 06 ψn (x) dx 6 (1 − η 2 )n . a n Rr[ −η ; +η ] 2(1 − η)(1 − η 2 )n αn+1 , déterminer lim et en déduire n→∞ αn an b) Déterminer une relation entre an et an−1 . En notant αn = lim αn . n→∞ c) Montrer que (ψn )n>1 est une suite de Dirac. III.2. Soit f une fonction continue, à support inclus dans − 12 ; + 12 . On note, pour tout n ∈ N : fn = ψn ∗ f , où (ψn )n>0 a été définie dans la question III.1 En remarquant que : 1 1 ∀x ∈ − ; + 2 2 1 fn (x) = an Z +1/2 −1/2 f (t) 1 − (x − t)2 n dt, montrer que la restriction de fn à − 21 ; 12 est une fonction polynomiale. III.3. Soit h − 14 ; + 14 :→ R une fonction continue. Montrer qu’on peut la prolonger en une fonction continue sur R, à support dans − 21 ; 12 . III.4. Soit [ a ; b ] un segment de R et soit g : [ a ; b ] → R une fonction continue. Montrer qu’il existe une suite (Pn )n>0 de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers g. Le premier théorème de Weierstrass DS04.tex