Terminale S Rappels sur les fonctions sinus et cosinus

Terminale S Rappels sur les fonctions sinus et cosinus
Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont définies, continues et dérivables sur .
La dérivée du sinus est cosinus, la dérivée du cosinus est l’opposé du sinus.
Elles sont périodiques de période
2
π
et bornées dans l’intervalle
[
]
1;1
− .
Graphes des fonctions sinus et cosinus :
Quelques résultats remarquables :
( ) ( )
2 2
:
sin cos 1 pour tout .
x x x+ = ∈
Relation fondamentale
( )
( )
( )
2
2 2 2
Attention aux notations :
cos cos et cos cos
x x x x
= =
( )
( )
( )
( )
Pour tous réels et ,
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
− = +
+ = −
− = −
+ = +
Formules d'addition
et leurs conséquences :
( )
( )
2 2 2 2
Pour tout réel ,
cos 2 cos sin 1 2sin 2cos 1
sin 2 2sin cos
a
a a a a a
a a a
= − = − = −
=
Formules de duplication
( ) ( ) ( )
( ) ( )
:
Pour tout R,
Angles opposés ou parité : cos cos( ) e
t in sin( )
Angles supplémentaires: cos cos( ) et in sin( )
x
x x s x x
x x s x x π π
∈
− = − = −
− = − − =
Propriétés de symétrie
Angles complémentaires: cos sin( ) et in cos( )
2 2
x x s x x
π π
− = − =
0
π
2
π
–
π
– π
2
π
6
π
4
π
3
2π
3
3π
4
5π
6
–
π
6
–
π
4
– π
3 – 2π 3
–
3π
4
–
5π
6
Angle 0 6 4 3 2
3 2 1
Cosinus 1 0
222
1 2 3
Sinus 0 1
222
π π π π
la courbe est appelée sinusoïde

Terminale S Ce qu’il faut savoir de la fonction tangente
La fonction tangente est définie par
( )
(
)
( )
sin
tan cos
x
x
x
=
.
a) Ensemble de définition
(
)
Pour que la fonction tangente soit bien définie, il ne faut pas que cos 0,
c'est à dire que , . Elle est donc
définie sur \ , .
2 2
x
x k k k k
π π
π π
=
= + ∈ + ∈
b) Périodicité
Montrons que la fonction tangente est non seulement périodique de période
2
π
comme les fonctions sinus
et cosinus mais aussi de période π :
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( ) ( )
sin sin sin
tan tan pour tout .
cos cos cos
x x x
x x x
x x x
π
ππ
+ −
+ = = = = ∈
+ −
Nous allons donc pouvoir restreindre l’étude à l’intervalle
;
2 2
π π
−
.
c) Limites au bord de
;
2 2
π π
−
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
2 2
quotient quotient
2 2
/ 2 / 2
2 2
/ 2 / 2
lim sin 1 lim sin 1
lim tan et lim tan
lim cos 0 lim cos 0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
π π
π π
π π
π π
π π
→ →−
+ +
→ →−
→ →−
< <−
< <−
== − 
→ = +∞ → = −∞
= =
d) Variations
( )
La fonction tangente étant le quotient de deux fonctions dérivables définies sur ,
est, elle même, dérivable sur tout intervalle contenu dans son ensemble de définition
et sa dérivée est égale à:
cos cx×
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
2 2
2 2
22
2 2 2 2
2
2 2 2
cos sin 1 d'après la relation fondamentale
cos cos
os sin sin
cos cos sin cos sin sin
1 1 tan
cos cos cos cos
Quelque soit la formule utilisée, il est évident que la
x x
x x
x x x
xx x x x x
x
x x x x
+
= =
− × − = 
+
= = + = + = +
dérivée est strictement positive.
La fonction tangente est donc strictement croissante sur tout intervalle où elle est définie.
e) Valeurs remarquables
Angle 0 6 4 3 2
3
Tangente 0 1 3 non définie
3
π π π π
f) Graphe