nombres complexes : forme trigonométrique

NOMBRES COMPLEXES : FORME TRIGONOMÉTRIQUE
I. Forme trigonométrique :
1°) Module d’un nombre complexe (rappel) :
Définition :
Le module du complexe z = a + ib est le réel positif noté |z| tel que |z| =
 a 2b 2 .
Interprétation géométrique :
Si zM est l’affixe du point M, |zM| = OM (distance de O à M).
⃗ z AB| = AB (distance de A à B).
Si z ⃗
AB est l’affixe du vecteur AB , | ⃗
Propriété :
Pour tout nombre complexes z, zz = |z|2.
Preuve :
zz = (a + ib)(a – ib) = a2 – (ib)2 = a2 + b2 = |z|2.
Exemple :
Calculons le module de chacun des nombres complexes suivants :
|3 + 4i| =
|1 − i| =
 3 24 2
 1 21 2
=5
|−5 − 2i| =
= 2
 −52 −2 2
=  29
|−5| = 5
|9i| = 9
2°) Arguments d’un nombre complexe :
y
Définition :
Soit z = a + ib non nul et M le point d’affixe z.
 On appelle argument de z tout nombre réel θ tel que
M
θ = ( u , ⃗
OM ) [2]
|z|
 On note θ = arg (z)
 θ vérifie :
{
v
⃗
a
 a b 2
b
sin = 2 2
 a b
cos =
2
O
u
⃗
b
θ = arg(z)
a
H
x
 L'unique argument  compris dans l'intervalle ]– ; ]
est appelé l'argument principal de z.
Exemple :
Soit z = 2  3 – 2i. Calculons le module et l'argument principal  de z.
|z| =
 2  3 2
2
2
=  124 = 4

2 3
3
=  . Donc  =
. Mais attention, on se souvient que sur le cercle trigonométrique il y a
6
4
2


deux angles qui ont le même cosinus : 6 et – 6 . Pour savoir duquel des deux il s'agit, il faut regarder le signe
−2
1
de sin  ou plus simplement le signe de b. Ici, sin  =
= − < 0 (tout comme b = –2 < 0). On en conclue
4
2

que  = – .
6
cos  =
Remarque :
Nous remarquons donc que, si  ∈ ]– ; ], cos  permet de trouver la valeur absolue de  et que sin  ou
b permettent d'en déterminer le signe.
Propriété :
Deux nombres complexes z et z' sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux et leurs arguments sont égaux
à 2  près (modulo 2 pour les spécialistes).
si a > 0, alors z ∈ ℝ+∗ et on a donc arg(z) = 0
:a
rg
si a < 0, alors z ∈ ℝ et on a donc arg(z) = 
-∗
 si a = 0 alors
)=
3
/4
)=
–3
/
4

2
a = 0 et b < 0 : arg (z) = – /2
0
:a
rg
(z
 si a = b alors
=
b
et
a
<
0

si a et b sont positifs, arg(z) = 4
a
3
si a et b sont négatifs arg(z) = – 4
(z
)=
a > 0 et b = 0 : arg (z) = 0
a < 0 et b = 0 : arg (z) = 

si b > 0, M ∈ [0 ; v ) et on a donc arg(z) =
2
si b < 0, M ∈ [0 ; – v ) et on a donc arg(z) = –
(z
:a
rg
0
0
<
>
a
a
 si b = 0 alors
et
et
–b
b
=
=
Quelques cas simples : soit z = a + ib non nul affixe
du point M :
y
a = 0 et b > 0 : arg (z) =  /2
a
a
Remarque :
/
4
z = z' ⇔ |z| = |z'| et arg (z) = arg (z') à 2 près.
a
=
x
–b
et
a
>
0
:a
rg
(z
)=
–
/4
 si a = –b alors

si a > 0, arg(z) = – 4
3
si a < 0, arg(z) = 4 .
Exemples :

3

arg(1 + i) = 4 ; arg(2i) = 2 ; arg(3) = 0 ; arg(–2 + 2i) = 4 .
3°) Forme trigonométrique :
y
Définition :
Soit z le nombre complexe de module  et
d’argument .
D’après la figure ci-contre, z peut s’écrire
z = cos + isin cos + i sin ).
Cette
écriture
est
appelée
trigonométrique du nombre complexe.
forme
Réciproquement, si z = cos + i sin ) avec
 et  réels et  > 0, alors  = |z| et  = arg(z) (2).
M
 sin 
sin 
O

1

cos 
 cos 
x
II. Propriété des module et arguments :
1°) Propriétés immédiates :
Propriété :
Pour tout nombre complexe non nul :
(1) |–z| = |z| ;
arg(–z) = arg(z) +  [2].
(2) |z| = |z| ;
arg(z) = –arg(z) [2].
y
M1' (–z = –a + ib)
(3) z est un nombre réel non nul si et
seulement si arg (z) = 0 [].
M (z = a + ib)
b


–a
(4) z est un nombre imaginaire pur non nul si
π
et seulement si arg (z) = 2 [].
M1 (–z = –a – ib)
O
–b
a
x
M' (z = a – ib)
2°) Opérations :
Propriété :
Pour tous nombres complexes non nuls z et z', et pour tout entier naturel n,
(1) |zz'| = |z|.|z'|
arg(zz') = arg(z) + arg(z') [2]
(2) |zn| = |z|n
arg(zn) = n arg(z) [2]
( 1z ) = –arg (z)
z
arg ( ) = arg (z) – arg (z')
z'
|1z| = |1z|
z'
|z '|
(4) | | =
|z|
z
(3)
arg
(5) |z + z'|  |z| + |z'|
c'est l'inégalité triangulaire.
Preuve :
(1) on pose z = (cos  + i sin ) et z = '(cos ' + i sin ').
On a alors zz'
= (cos  + i sin ) × '(cos ' + i sin ')
= '(cos  + i sin )(cos ' + i sin ')
= '(cos  cos ' + i cos  sin ' + i sin  cos ' + i2 sin  sin ')
= '(cos  cos ' – sin  sin ' + i (cos  sin ' + sin  cos '))
= '(cos ( + ') + i sin ( + ')) d'après les formules d'addition vue en première
(chapitre application du produit scalaire, II. Trigonométrie).
(3) On pose z =
1
, d'où zz' = 1.
z'
Donc 1 = '(cos ( + ') + i sin ( + ')).
Or |1| = 1 et arg (1) = 0 donc ' = 1 et  + ' = 0
donc  =
1
et  = –'.
ρ'
3°) Lien avec le plan complexes :
Propriété :
Si A et B sont deux points du plan complexes muni du repère orthonormal (O; ⃗
u,⃗
v ) ayant pour affixes
respectives zA et zB, alors
AB = |zB – zA| et si A et B sont distincts, (⃗u ; ⃗
AB) = arg (zB – zA).
Corollaire (hors programme) :
Soient A(zA), B(zB), C(zC) et D(zD) quatre points deux à deux distincts. Alors :
z −z
CD z D− z C
=
AB; ⃗
CD)=arg D C .
et (⃗
AB z B −z A
z B −z A
|
|
(
)
Preuve :
z −z
CD |z D− z C| z D− z C
=
=
AB; ⃗
CD)=( ⃗u ; ⃗
CD)−(⃗
AB; ⃗u )=arg ( z D −z C )−arg ( z B −z A )=arg D C .
et (⃗
AB |z B −z A| z B− z A
z B− z A
|
|
(
)
III. Notation exponentielle :
1°) La fonction θ
cos θ + i sin θ :
Propriétés :
Soit f la fonction définie pour tout réel  par f () = cos  + i sin .
(1) f ( + ') = f ()f (').
(2) f est dérivable sur ℝ et f ' () = if ().
Preuve :
(1) On a f ()f (')
= (cos  + i sin ) × (cos ' + i sin ')
= (cos  cos ' + i cos  sin ' + i sin  cos ' + i2 sin  sin ')
= (cos  cos ' – sin  sin ' + i (cos  sin ' + sin  cos '))
= (cos ( + ') + i sin ( + ')) d'après les formules d'addition vue en première
(chapitre application du produit scalaire, II. Trigonométrie).
= f ( + ')
Conclusion :
La fonction f vérifie une relation fonctionnelle analogue à celle de la fonction exponentielle.
(2) On l'admet pour le moment, on pourra le démontrer aisément lorsque l'on aura étudié les fonctions
sinus et cosinus et que l'on saura que (cos)' = –sin et que (sin)' = cos.
Conclusion :
Cette relation est à rapprocher du fait que si g (x) = ekx, alors g est dérivable sur ℝ et g' (x) = kekx.
Notation :
Ces analogies avec la fonction exponentielle conduisent à la notation :
Pour tout nombre réel , ei = cos  + i sin .
Ainsi ei désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est .
|ei| = 1 et arg (ei) =  [2]
Exemples :
e0i = e2i = 1 ; ei = e–i = –1 ; e
iπ
2
−i π
2
=i; e
= –i ; e
iπ
4
=
√ 2 + √ 2 i ; i 23π = − 1 + √ 3 i ; −iθ = e iθ .
e
e
2
2
2 2
2°) Forme exponentielle d'un nombre complexes :
Définition :
Soit z = a + ib un nombre complexe non nul de module  = |z| et dont un argument est θ = arg (z).
Une forme exponentielle de z est z =  eiθ.
Cette écriture est appelée notation exponentielle de z.
Remarque :
On a alors z =  eiθ = (cos θ + i sin θ) =  cos θ + i sin θ = a + ib.
Exemple 1 :
Exemple 2 :
Passage de la forme algébrique à la forme
Passage de la forme exponentielle à la forme
exponentielle :
algébrique :
z=1+i
|z| =
 1 21 2
= 2

arg (z) = 4 (cas où a = b > 0)
Donc z =
iπ
√2 e 4 .
z = 4e
i
3π
4
[ ( ) ( )]
3π
3π
+i sin
z = 4 cos
4
[
4
√
√
z = 4 – +i
2
2
2
2
]
z = – 2 √ 2+2 i √ 2 .
Propriétés :
Pour tous nombres réels non nuls  et ' et pour tout entier naturel n,
(1) ei × ei' = ei(+') ; (2) (e i θ)n = ein ; (3)
1
ei θ
iθ
–i
i( – ')
=
e
=
et
(4)
.
e
iθ
i θ' = e
e
e