nombres complexes : forme trigonométrique

NOMBRES COMPLEXES : FORME TRIGONOMÉTRIQUE
I. Forme trigonométrique :
1°) Module d’un nombre complexe (rappel) :
Définition :
Le module du complexe z = a + ib est le réel positif noté |z| tel que |z| =
a2b2
.
Interprétation géométrique :
Si zM est l’affixe du point M, |zM| = OM (distance de O à M).
Si
z
⃗
AB
est l’affixe du vecteur
⃗
AB
,
|
z
⃗
AB
|
= AB (distance de A à B).
Propriété :
Pour tout nombre complexes z, zz = |z|2.
Preuve :
zz = (a + ib)(a – ib) = a2 – (ib)2 = a2 + b2 = |z|2.
Exemple :
Calculons le module de chacun des nombres complexes suivants :
|3 + 4i| =
3242
= 5
|1 − i| =
1212
=
2
|−5 − 2i| =
−52−22
=
29
|−5| = 5
|9i| = 9
2°) Arguments d’un nombre complexe :
Définition :
Soit z = a + ib non nul et M le point d’affixe z.
 On appelle argument de z tout nombre réel θ tel que
θ = (
u
,
⃗
OM
) [2]
 On note θ = arg (z)
 θ vérifie :
{
cos = a
a2b2
sin = b
a2b2
L'unique argument  compris dans l'intervalle ]– ; ]
est appelé l'argument principal de z.
Exemple :
Soit z =
2 3
– 2i. Calculons le module et l'argument principal  de z.
|z| =
2 3222
=
124
= 4
cos  =
2 3
4
=
3
2
. Donc  =
6
. Mais attention, on se souvient que sur le cercle trigonométrique il y a
deux angles qui ont le même cosinus :
6
et –
6
. Pour savoir duquel des deux il s'agit, il faut regarder le signe
de sin  ou plus simplement le signe de b. Ici, sin  =
−2
4
=
−1
2
< 0 (tout comme b = –2 < 0). On en conclue
que  = –
6
.
x
y
M
b
O
|z|
θ = arg(z)
aH
⃗
v
⃗
u

Remarque :
Nous remarquons donc que, si  ∈ ]– ; ], cos  permet de trouver la valeur absolue de  et que sin  ou
b permettent d'en déterminer le signe.
Propriété :
Deux nombres complexes z et z' sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux et leurs arguments sont égaux
à 2 près (modulo 2  pour les spécialistes).
z = z' ⇔ |z| = |z'| et arg (z) = arg (z') à 2 près.
Remarque :
Quelques cas simples : soit z = a + ib non nul affixe
du point M :
 si b = 0 alors
si a > 0, alors z ∈ ℝ+∗ et on a donc arg(z) = 0
si a < 0, alors z ∈ ℝ-∗ et on a donc arg(z) = 
 si a = 0 alors
si b > 0, M ∈ [0 ;
v
) et on a donc arg(z) =
2
si b < 0, M ∈ [0 ; –
v
) et on a donc arg(z) = –
2
 si a = b alors
si a et b sont positifs, arg(z) =
4
si a et b sont négatifs arg(z) = –
3
4
 si a = –b alors
si a > 0, arg(z) = –
4
si a < 0, arg(z) =
3
4
.
Exemples :
arg(1 + i) =
4
; arg(2i) =
2
; arg(3) = 0 ; arg(–2 + 2i) =
3
4
.
3°) Forme trigonométrique :
Définition :
Soit z le nombre complexe de module et
d’argument .
D’après la figure ci-contre, z peut s’écrire
z = cos + i sin cos + i sin ).
Cette écriture est appelée forme
trigonométrique du nombre complexe.
Réciproquement, si z = cos + i sin ) avec
et réels et > 0, alors = |z| et = arg(z) (2).
0x
y
a = 0 et b > 0 : arg (z) =  /2
a = 0 et b < 0 : arg (z) = – /2
a > 0 et b = 0 : arg (z) = 0
a < 0 et b = 0 : arg (z) = 
a = b et a > 0 : arg (z) = /4
a = b et a < 0 : arg (z) = –3 /4
a = –b et a < 0 : arg (z) = 3/4
a = –b et a > 0 : arg (z) = –/4
1
x
y
M
cos
sin
cos
sin
O

II. Propriété des module et arguments :
1°) Propriétés immédiates :
Propriété :
Pour tout nombre complexe non nul :
(1) |–z| = |z| ; arg(–z) = arg(z) +  [2].
(2) |z| = |z| ; arg(z) = –arg(z) [2].
(3) z est un nombre réel non nul si et
seulement si arg (z) = 0 [].
(4) z est un nombre imaginaire pur non nul si
et seulement si arg (z) =
π
2
[].
2°) Opérations :
Propriété :
Pour tous nombres complexes non nuls z et z', et pour tout entier naturel n,
(1) |zz'| = |z|.|z'| arg(zz') = arg(z) + arg(z') [2]
(2) |zn| = |z|narg(zn) = n arg(z) [2]
(3)
|
1
z
|
=
1
| z |
arg
(
1
z
)
= –arg (z)
(4)
|
z '
z
|
=
| z ' |
|
z
|
arg
(
z
z'
)
= arg (z) – arg (z')
(5) |z + z'| |z| + |z'| c'est l'inégalité triangulaire.
Preuve :
(1) on pose z = (cos  + i sin ) et z = '(cos ' + i sin ').
On a alors zz' = (cos  + i sin ) × '(cos ' + i sin ')
= '(cos  + i sin )(cos ' + i sin ')
= '(cos  cos ' + i cos  sin ' + i sin  cos ' + i2 sin  sin ')
= '(cos  cos ' – sin  sin ' + i (cos  sin ' + sin  cos '))
= '(cos ( +  ') + i sin ( +  ')) d'après les formules d'addition vue en première
(chapitre application du produit scalaire, II. Trigonométrie).
(3) On pose z =
1
z'
, d'où zz' = 1.
Donc 1 = '(cos ( +  ') + i sin ( +  ')).
Or |1| = 1 et arg (1) = 0 donc ' = 1 et +  ' = 0
donc  =
1
ρ'
et  = –'.
3°) Lien avec le plan complexes :
Propriété :
Si A et B sont deux points du plan complexes muni du repère orthonormal
(O; ⃗u,⃗v)
ayant pour affixes
respectives zA et zB, alors
AB = |zB – zA| et si A et B sont distincts,
( ⃗ u ;
⃗
AB)
= arg (zB – zA).
x
y
O
M (z = a + ib)
M' (z = a – ib)M1 (–z = –a – ib)
M1' (–z = –a + ib)
a
–a
–b
b

Corollaire (hors programme) :
Soient A(zA), B(zB), C(zC) et D(zD) quatre points deux à deux distincts. Alors :
CD
AB =
|
zD−zC
zB−zA
|
et
(
⃗
AB;
⃗
CD)=arg
(
zD−zC
zB−zA
)
.
Preuve :
CD
AB=
|
zD−zC
|
|
zB−zA
|
=
|
zD−zC
zB−zA
|
et
(
⃗
AB;
⃗
CD)=( ⃗ u;
⃗
CD)−(
⃗
AB; ⃗ u)=arg
(
zD−zC
)
−arg
(
zB−zA
)
=arg
(
zD−zC
zB−zA
)
.
III. Notation exponentielle :
1°) La fonction θ cos θ + i sin θ :
Propriétés :
Soit f la fonction définie pour tout réel par f ( ) = cos + i sin   .
(1) f ( + ') =   f ( )f ( ').
(2) f est dérivable sur ℝ et f ' ( ) = if ( ).
Preuve :
(1) On a f ( )f ( ') = (cos  + i sin ) × (cos ' + i sin ')
= (cos  cos ' + i cos  sin ' + i sin  cos ' + i2 sin  sin ')
= (cos  cos ' – sin  sin ' + i (cos  sin ' + sin  cos '))
= (cos ( + ') + i sin  ( + ')) d'après les formules d'addition vue en première 
(chapitre application du produit scalaire, II. Trigonométrie).
= f ( + ') 
Conclusion :
La fonction f vérifie une relation fonctionnelle analogue à celle de la fonction exponentielle.
(2) On l'admet pour le moment, on pourra le démontrer aisément lorsque l'on aura étudié les fonctions
sinus et cosinus et que l'on saura que (cos)' = –sin et que (sin)' = cos.
Conclusion :
Cette relation est à rapprocher du fait que si g (x) = ekx, alors g est dérivable sur ℝ et g' (x) = kekx.
Notation :
Ces analogies avec la fonction exponentielle conduisent à la notation :
Pour tout nombre réel , ei = cos + i sin  .
Ainsi ei désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est .
|ei| = 1 et arg (ei) =  [2]
Exemples :
e0i = e2i = 1 ; ei = e–i = –1 ;
eiπ
2
= i ;
e−iπ
2
= –i ;
eiπ
4
=
√
2
2+
√
2
2i
;
ei2π
3
=
−1
2+
√
3
2i
;
e−iθ
=
eiθ
.
2°) Forme exponentielle d'un nombre complexes :
Définition :
Soit z = a + ib un nombre complexe non nul de module  = |z| et dont un argument est θ = arg (z).
Une forme exponentielle de z est z =  eiθ.
Cette écriture est appelée notation exponentielle de z.

Remarque :
On a alors z =  eiθ = (cos θ + i sin θ) =  cos θ + i sin θ = a + ib.
Exemple 1 :
Passage de la forme algébrique à la forme
exponentielle :
z = 1 + i
|z| =
1212
=
2
arg (z) =
4
(cas où a = b > 0)
Donc z =
√
2 eiπ
4
.
Exemple 2 :
Passage de la forme exponentielle à la forme
algébrique :
z =
4ei3π
4
z =
4
[
cos
(
3π
4
)
+i sin
(
3π
4
)
]
z =
4
[
–
√
2
2+i
√
2
2
]
z =
–2
√
2+2 i
√
2
.
Propriétés :
Pour tous nombres réels non nuls  et ' et pour tout entier naturel n,
(1) ei × ei' = ei( + ') ; (2)
(eiθ)n
= ein ; (3)
1
eiθ
= e–i =
eiθ
et (4)
eiθ
eiθ'
= ei( – ').