bz - series formelles

BZ - SERIES FORMELLES
Le corps Kétant Rou C, on se place dans l’espace vectoriel `(K)des suites à coefficients dans K.
Définition 1 Si a= (an)n≥0est un élément de `(K), on appelle ordre de ale nombre
ν(a) = inf{n∈N|an6= 0}si a6= 0
+∞si a= 0 .
On a immédiatement
ν(a+b)≥min(ν(a), ν(b)) ,
et si λest un nombre non nul,
ν(λa) = ν(a).
On pose alors
N(a) = 2−ν(a).
On définit ainsi une application de `(K)dans R+qui vérifie les propriétés suivantes :
1) N(a) = 0 si et seulement si a= 0,
2) N(λa) = N(a)pour toute suite aet tout scalaire non nul λ,
3) N(a+b)≤max(N(a), N(b)),
4) N(a)≤1.
On définit alors une distance ultramétrique et bornée sur `(K)en posant
d(a, b) = N(b−a).
De plus
|N(a)−N(b)| ≤ N(a−b),
et l’application Nest continue pour cette distance.
Proposition 1 La topologie définie par la distance dn’est autre que la topologie produit sur KN,
où Kest muni de la topologie discrète.
Supposons que la suite (a(k))k≥0converge vers adans (`(K), d). Pour tout s≥0, il existe k(s)tel que,
si kest supérieur à k(s), alors
d(a(k), a)<2−s,

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c’est-à-dire
ν(a(k)−a)> s ,
et donc,
a(k)s=as.
La suite (a(k)s)k≥0est donc stationnaire.
On remarque au passage que l’application πnqui à aassocie anest alors continue.
Inversement, si pour tout s≥0, il existe k(s)tel que, si kest supérieur à k(s)alors
a(k)s=as,
posons
K(s) = max
0≤r≤sk(r).
Alors, si k≥K(s), et 0≤r≤s, on a
a(k)r=ar,
donc
ν(a(k)−a)≥s+ 1 ,
et
d(a(k), a)≤2−(s+1) .
Il en résulte que la suite (a(k))k≥0converge vers a.
Conséquence : si a= (an)n≥0est dans `(R)la suite (a(k))k≥0définie par
a(k)=(a1, . . . , ak,0,...,0, . . .)
converge vers a.
Proposition 2 Pour tout entier k, l’ensemble ν−1({k})est connexe.
Tout d’abord, ν−1({k}) = N−1({2−k})est fermé comme image réciproque d’un fermé par une appli-
cation continue.
D’autre part, soit adans ν−1({k})et bdans la boule ouverte de centre aet de rayon 2−k. On a donc
d(a, b)<2−k,
d’où l’on déduit
N(a−b)≤2−(k+1) ,
donc
ν(a−b)≥k+ 1 .

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Comme
a0=··· =ak−1= 0 et ak6= 0 ,
ainsi que
a0−b0=··· =ak−bk= 0 ,
on en déduit que
b0=··· =bk−1= 0 et bk6= 0 ,
d’où l’on déduit finalement
ν(a) = ν(b) = k .
La boule ouverte de centre aet de rayon 2−kest incluse dans ν−1({k})qui est donc ouvert.
Opérations dans `(K)
En plus des opérations d’espace vectoriel, on définit le produit
(an)(bn) = n
X
k=0
akbn−k!.
On définit alors sur `(K)une structure d’algèbre commutative intègre unitaire. L’élément neutre étant
1l = (1,0,...,0, . . .).
De plus
ν(ab) = ν(a) + ν(b) et N(ab) = N(a)N(b).
L’intégrité de l’anneau résulte de cette dernière formule.
Posons alors
z= (0,1,0,...,0, . . .).
Par définition du produit
zn= (0,...,0,1,0,...,0, . . .)
où le nombre 1figure à la n+ 1−ième place.
Si a= (ak)est dans `(K)on a
(a0,0,...,0, . . .) = a01l ,
et, pour k≥1,
(0,...,0, ak,0,...,0, . . .) = akzk.
Alors
(a0, a1, . . . , an,0,...,0, . . .) = a01l +
n
X
k=1
akzk.

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Comme l’application qui à λassocie λ1l est un morphisme injectif d’algèbre de Kdans `(K), on peut
confondre λavec λ1l. Alors, puisque aest la limite de la suite n
X
k=0
akzk!n≥0 , on en déduit que aest
la somme d’une série. On a
a=
∞
X
k=0
akzk.
Un tel objet sera appelé une série formelle et nous noterons désormais K[[z]] l’ensemble des séries
formelles à coefficients dans K.
L’ensemble K[z]est alors une sous-algèbre dense de K[[z]].
Proposition 3 L’anneau K[[z]] est un anneau topologique.
Pour l’addition, on a
N((a1−b1)−(a2−b2)) = N((a1−a2)−(b1−b2)) ≤max(N(a1−a2), N(b1−b2)) .
L’application qui à (a, b)associe a−best donc continue.
Pour le produit
N(a1b1−a2b2) = N(a1(b1−b2) + b2(a1−a2))
≤max(N(a1(b1−b2)), N(b2(a1−a2)))
≤max(N(a1)N(b1−b2), N(b2)N(a1−a2))
≤max(N(a1−a2), N(b1−b2)) .
L’application qui à (a, b)associe a b est donc continue.
Remarque : l’application qui à (λ, a)associe λa de K×K[[z]] dans K[[z]] n’est pas continue si Kest
muni de la valeur absolue. Elle ne l’est que pour la topologie discrète. Donc K[[z]] n’est pas une algèbre
topologique.
Séries dans K[[z]]
Théorème 1 La série S=
∞
X
n=0
fnest convergente dans K[[z]] si et seulement si la suite (ν(fn))
admet +∞pour limite, ou encore si et seulement si la suite (N(fn)) converge vers 0. De plus
N(S)≤max
k≥0N(fk).

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Notons Skla somme partielle de rang kde la série. Si la série est convergente, la suite (Sk)converge
vers Sdonc (fk)=(Sk+1 −Sk)converge vers 0. Alors (N(fk)) converge vers 0et (ν(fk)) admet +∞
pour limite.
Réciproquement, si (ν(fk)) admet +∞pour limite, pour tout ril existe Nrtel que, si k > Nr, alors
ν(fk)> r ,
d’où l’on déduit
πr(fk) = 0 .
Alors
πr(Sk) =
k
X
n=0
πr(fn) =
Nr
X
n=0
πr(fn) = πr(SNr).
Donc la suite (πr(Sk))k≥0est constante à partir d’un certain rang. Alors si l’on note urcette constante
et si l’on pose
S=
∞
X
n=0
unzn,
on a, à partir d’un certain rang,
πr(Sk) = πr(S),
et donc la suite (Sk)converge vers S.
Enfin
N(Sn)≤max
0≤k≤nN(fk)≤max k≥0N(fk),
donc
N(S)≤max
k≥0N(fk).
Remarque : le résultat précédent s’interprète comme une permutation de sommations. Si
fk=
∞
X
n=0
an(k)zn,
on a alors ∞
X
k=0
fk=
∞
X
n=0 ∞
X
k=0
an(k)!zn.
Les sommes
∞
X
k=0
an(k)ne comportent en fait qu’un nombre fini de termes.