bz - series formelles

BZ - SERIES FORMELLES
Le corps K étant R ou C, on se place dans l’espace vectoriel `(K) des suites à coefficients dans K.
Définition 1 Si a = (an )n≥0 est un élément de `(K), on appelle ordre de a le nombre
inf{n ∈ N | an 6= 0} si a 6= 0
ν(a) =
.
+∞
si a = 0
On a immédiatement
ν(a + b) ≥ min(ν(a), ν(b)) ,
et si λ est un nombre non nul,
ν(λa) = ν(a) .
On pose alors
N (a) = 2−ν(a) .
On définit ainsi une application de `(K) dans R+ qui vérifie les propriétés suivantes :
1)
2)
3)
4)
N (a) = 0 si et seulement si a = 0,
N (λa) = N (a) pour toute suite a et tout scalaire non nul λ,
N (a + b) ≤ max(N (a), N (b)),
N (a) ≤ 1.
On définit alors une distance ultramétrique et bornée sur `(K) en posant
d(a, b) = N (b − a) .
De plus
|N (a) − N (b)| ≤ N (a − b) ,
et l’application N est continue pour cette distance.
Proposition 1 La topologie définie par la distance d n’est autre que la topologie produit sur KN ,
où K est muni de la topologie discrète.
Supposons que la suite (a(k))k≥0 converge vers a dans (`(K), d). Pour tout s ≥ 0, il existe k(s) tel que,
si k est supérieur à k(s), alors
d(a(k), a) < 2−s ,
BZ 2
c’est-à-dire
ν(a(k) − a) > s ,
et donc,
a(k)s = as .
La suite (a(k)s )k≥0 est donc stationnaire.
On remarque au passage que l’application πn qui à a associe an est alors continue.
Inversement, si pour tout s ≥ 0, il existe k(s) tel que, si k est supérieur à k(s) alors
a(k)s = as ,
posons
K(s) = max k(r) .
0≤r≤s
Alors, si k ≥ K(s), et 0 ≤ r ≤ s, on a
a(k)r = ar ,
donc
ν(a(k) − a) ≥ s + 1 ,
et
d(a(k), a) ≤ 2−(s+1) .
Il en résulte que la suite (a(k))k≥0 converge vers a.
Conséquence : si a = (an )n≥0 est dans `(R) la suite (a(k))k≥0 définie par
a(k) = (a1 , . . . , ak , 0, . . . , 0, . . .)
converge vers a.
Proposition 2 Pour tout entier k, l’ensemble ν −1 ({k}) est connexe.
Tout d’abord, ν −1 ({k}) = N −1 ({2−k }) est fermé comme image réciproque d’un fermé par une application continue.
D’autre part, soit a dans ν −1 ({k}) et b dans la boule ouverte de centre a et de rayon 2−k . On a donc
d(a, b) < 2−k ,
d’où l’on déduit
N (a − b) ≤ 2−(k+1) ,
donc
ν(a − b) ≥ k + 1 .
BZ 3
Comme
a0 = · · · = ak−1 = 0 et ak 6= 0 ,
ainsi que
a0 − b0 = · · · = ak − bk = 0 ,
on en déduit que
b0 = · · · = bk−1 = 0 et bk 6= 0 ,
d’où l’on déduit finalement
ν(a) = ν(b) = k .
La boule ouverte de centre a et de rayon 2−k est incluse dans ν −1 ({k}) qui est donc ouvert.
Opérations dans `(K)
En plus des opérations d’espace vectoriel, on définit le produit
!
n
X
(an )(bn ) =
ak bn−k .
k=0
On définit alors sur `(K) une structure d’algèbre commutative intègre unitaire. L’élément neutre étant
1l = (1, 0, . . . , 0, . . .) .
De plus
ν(ab) = ν(a) + ν(b) et N (ab) = N (a)N (b) .
L’intégrité de l’anneau résulte de cette dernière formule.
Posons alors
z = (0, 1, 0, . . . , 0, . . .) .
Par définition du produit
z n = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, . . .)
où le nombre 1 figure à la n + 1−ième place.
Si a = (ak ) est dans `(K) on a
(a0 , 0, . . . , 0, . . .) = a0 1l ,
et, pour k ≥ 1,
(0, . . . , 0, ak , 0, . . . , 0, . . .) = ak z k .
Alors
(a0 , a1 , . . . , an , 0, . . . , 0, . . .) = a0 1l +
n
X
k=1
ak z k .
BZ 4
Comme l’application qui à λ associe λ 1l est un morphisme injectif d’algèbre
! de K dans `(K), on peut
n
X
confondre λ avec λ 1l. Alors, puisque a est la limite de la suite
ak z k
, on en déduit que a est
k=0
la somme d’une série. On a
a=
∞
X
n≥0
ak z k .
k=0
Un tel objet sera appelé une série formelle et nous noterons désormais K[[z]] l’ensemble des séries
formelles à coefficients dans K.
L’ensemble K[z] est alors une sous-algèbre dense de K[[z]].
Proposition 3 L’anneau K[[z]] est un anneau topologique.
Pour l’addition, on a
N ((a1 − b1 ) − (a2 − b2 )) = N ((a1 − a2 ) − (b1 − b2 )) ≤ max(N (a1 − a2 ), N (b1 − b2 )) .
L’application qui à (a, b) associe a − b est donc continue.
Pour le produit
N (a1 b1 − a2 b2 ) = N (a1 (b1 − b2 ) + b2 (a1 − a2 ))
≤ max(N (a1 (b1 − b2 )), N (b2 (a1 − a2 )))
≤ max(N (a1 )N (b1 − b2 ), N (b2 )N (a1 − a2 ))
≤ max(N (a1 − a2 ), N (b1 − b2 )) .
L’application qui à (a, b) associe a b est donc continue.
Remarque : l’application qui à (λ, a) associe λa de K × K[[z]] dans K[[z]] n’est pas continue si K est
muni de la valeur absolue. Elle ne l’est que pour la topologie discrète. Donc K[[z]] n’est pas une algèbre
topologique.
Séries dans K[[z]]
Théorème 1
La série S =
∞
X
fn est convergente dans K[[z]] si et seulement si la suite (ν(fn ))
n=0
admet +∞ pour limite, ou encore si et seulement si la suite (N (fn )) converge vers 0. De plus
N (S) ≤ max N (fk ) .
k≥0
BZ 5
Notons Sk la somme partielle de rang k de la série. Si la série est convergente, la suite (Sk ) converge
vers S donc (fk ) = (Sk+1 − Sk ) converge vers 0. Alors (N (fk )) converge vers 0 et (ν(fk )) admet +∞
pour limite.
Réciproquement, si (ν(fk )) admet +∞ pour limite, pour tout r il existe Nr tel que, si k > Nr , alors
ν(fk ) > r ,
d’où l’on déduit
πr (fk ) = 0 .
Alors
πr (Sk ) =
k
X
πr (fn ) =
n=0
Nr
X
πr (fn ) = πr (SNr ) .
n=0
Donc la suite (πr (Sk ))k≥0 est constante à partir d’un certain rang. Alors si l’on note ur cette constante
et si l’on pose
∞
X
S=
un z n ,
n=0
on a, à partir d’un certain rang,
πr (Sk ) = πr (S) ,
et donc la suite (Sk ) converge vers S.
Enfin
N (Sn ) ≤ max N (fk ) ≤ max N (fk ) ,
0≤k≤n
k≥0
donc
N (S) ≤ max N (fk ) .
k≥0
Remarque : le résultat précédent s’interprète comme une permutation de sommations. Si
fk =
∞
X
an (k) z n ,
n=0
on a alors
∞
X
k=0
Les sommes
∞
X
k=0
fk =
∞
∞
X
X
n=0
!
an (k)
zn .
k=0
an (k) ne comportent en fait qu’un nombre fini de termes.
BZ 6
Composition de séries formelles
Théorème 2 Soit f et g deux séries formelles. Si l’on a
f=
∞
X
an z n ,
n=0
la série
∞
X
an g n converge dans deux cas seulement :
n=0
1) si l’ordre de g est non nul,
2) si f est un polynôme.
On a
k
ν(ak g ) =
+∞
k ν(g)
si ak = 0
.
si ak =
6 0
La série converge si et seulement si la suite (ν(ak g k )) admet +∞ pour limite. Alors, ou bien ak = 0
pour k ≥ k0 et f est un polynôme, ou bien il existe une suite (pk ) telle que apk soit non nul pour tout
k. Dans ce cas la suite (pk ν(g)) admet +∞ pour limite et donc ν(g) n’est pas nul.
Inversement si ν(g) est non nul, on a
ν(ak g k ) ≥ k ν(g) ,
et donc la suite (ν(ak g k )) admet +∞ pour limite et la série converge. D’autre part si f est un polynôme
la série est une somme finie.
Définition 2 Lorsque la série précédente converge, on notera
f ◦g =
∞
X
an g n .
n=0
C’est la composée des séries f et g.
Remarque : en composant les séries f et z, on retrouve f et on notera indifféremment
f = f ◦ z = f (z) =
n
X
ak z k .
k=0
Proposition 4
Kn [z] × K[[z]].
L’application qui à (f, g) associe f ◦ g est continue sur K[[z]] × ν −1 (N∗ ) et sur
BZ 7
Du fait des relations
N (f1 ◦ g1 − f2 ◦ g2 ) ≤ max(N (f1 ◦ g1 − f1 ◦ g2 ), N (f1 ◦ g2 − f2 ◦ g2 ))
il suffit de montrer que la continuité est séparée.
Lemme 1 On a
N (f ◦ g1 − f ◦ g2 ) ≤ N (g1 − g2 ) .
Tout d’abord
N (g1n − g2n ) = N (g1 − g2 )N (g1n−1 + g1n−2 g2 + · · · + g2n−1 ) ≤ N (g1 − g2 ) .
Alors
N (f ◦ g1 − f ◦ g2 ) = N
∞
X
!
ak (g1k − g2k )
k=0
≤ max N (ak (g1k − g2k )) ≤ max N (g1k − g2k ) ≤ N (g1 − g2 ) .
k≥0
k≥0
Lemme 2 Dans K[[z]] × ν −1 (N∗ ), on a
N (f1 ◦ g − f2 ◦ g) ≤ N (f1 − f2 ) .
Comme ν(g) n’est pas nul, on a
ν(g k ) = k ν(g) ≥ k .
Donc
N (g k ) ≤ 2−k .
Alors
N (f1 ◦ g − f2 ◦ g) ≤ max N ((ak (1) − ak (2))g k ) .
k≥0
Or N ((ak (1) − ak (2))g k ) est nul si k < ν(f1 − f2 ), donc
N (f1 ◦ g − f2 ◦ g) ≤
≤
≤
max
N ((ak (1) − ak (2))g k )
max
N (g k )
max
2−k ≤ 2−ν(f1 −f2 ) = N (f1 − f2 ) .
k≥ν(f1 −f2 )
k≥ν(f1 −f2 )
k≥ν(f1 −f2 )
BZ 8
Lemme 3 Dans Kn [z] × K[[z]], on a
N (f1 ◦ g − f2 ◦ g) ≤ 2n N (f1 − f2 ) .
On a
N (f1 ◦ g − f2 ◦ g) ≤ max N ((ak (1) − ak (2))g k ) ≤ max N (ak (1) − ak (2)) .
k≥0
k≥0
Or N (ak (1) − ak (2)) vaut 1 si ak (1) − ak (2) est non nul, et 0 sinon. Si l’on a
ν(f1 − f2 ) = k ≤ n ,
alors
N (f1 ◦ g − f2 ◦ g) ≤ 1
et
N (f1 − f2 ) = 2−k ,
donc
N (f1 ◦ g − f2 ◦ g) ≤ 2k N (f1 − f2 ) ≤ 2n N (f1 − f2 ) .
Si par contre
ν(f1 − f2 ) > n ,
alors f1 − f2 est nul et donc f1 = f2 et l’inégalité est évidente.
Remarque : les propriétés habituelles de la composée d’applications restent vraies pour les séries
formelles sous réserve d’appartenir aux ensembles convenables. On a par exemple
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h , (f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h , (f g) ◦ h = (f ◦ h)(g ◦ h) .
Il suffit pour le voir d’utiliser la densité des polynômes dans l’ensemble des séries formelles.
Inverse d’une série formelle
Théorème 3 Soit f dans K[[z]]. Il existe une série formelle g telle que
fg = 1
si et seulement si ν(f ) = 0. Cette série est alors unique et notée 1/f . C’est l’inverse de f .
En raison des propriétés de ν, si l’on a la relation
fg = 1
alors
ν(1) = 0 = ν(f ) + ν(g)
BZ 9
ce qui implique
ν(f ) = ν(g) = 0 .
Soit alors une série f telle que ν(f ) = 0. Donc
f=
∞
X
an z n
n=0
avec a0 non nul.
Considérons la série
∞ f n
1 X
1−
.
g=
a0
a0
n=0
Comme le terme constant de 1 − f /a0 est nul, on a
f n
ν
1−
≥ n,
a0
et la série définissant g converge d’après le théorème 1. Notons gk sa somme partielle de rang k. Alors
X
k k k f
f n X
f n X
f n+1
f gk = 1 − 1 −
1−
=
1−
−
1−
.
a0
a0
a0
a0
n=0
n=0
n=0
En simplifiant, il reste
f
f gk == 1 − 1 −
a0
k+1
.
Comme la suite (N (1 − f /a0 )k+1 ) converge vers 0, on en déduit que la suite (f gk ) converge vers 1, et
donc que le produit f g vaut 1. D’où l’existence de g. L’unicité résulte de l’intégrité de l’anneau.
On peut également retrouver ce résultat en calculant les coefficients de g en fonction de ceux de f .
En écrivant le produit
fg = 1 ,
on obtient,
b0 = 1/a0 ,
et, si n ≥ 1,
n
X
bk an−k = 1 ,
k=0
d’où
bn = −
n−1
1 X
bk an−k .
a0
k=0
BZ 10
Proposition 5 L’application qui à f associe 1/f est une isométrie de ν −1 ({0}).
En écrivant
1/f − 1/g = (g − f )/(f g) ,
on obtient
N (1/f − 1/g) ≤ N (g − f ) = N (f − g) ,
puis en changeant f en 1/f et g en 1/g
N (f − g) ≤ N (1/f − 1/g) ,
d’où l’égalité.
Propriété : lorsque la composée a un sens, on a
(1/f ) ◦ g = 1/(f ◦ g) .
En effet
(f ◦ g)(1/f ) ◦ g = 1 ◦ g = 1 .
Donc par unicité
(1/f ) ◦ g = 1/(f ◦ g) .
Définition 3 Si f est dans K[[z]] et g dans ν −1 ({0}), on définit alors le quotient f /g par
f /g = f × (1/g) .
Dérivée d’une série formelle
Définition 4 Si f =
∞
X
ak z k , on appelle série dérivée de f la série notée f 0 définie par
k=0
0
f (z) =
∞
X
(k + 1)ak+1 z k .
k=0
Théorème 4 L’application D qui à f associe f 0 est une application linéaire continue de K[[z]]
dans lui-même.
BZ 11
La linéarité est évidente. Pour la continuité, montrons tout d’abord le lemme suivant.
Lemme 4 On a
N (f 0 ) = 2N (f − a0 ) .
Si l’on a
ν(f ) = k > 0 ,
alors a0 est nul et
ν(f 0 ) = k − 1 = ν(f ) − 1 = ν(f − a0 ) − 1 .
D’autre part, si ν(f ) = 0, alors
ν(f − a0 ) > 0 ,
donc, en appliquant ce qui précède à f − a0 , on obtient
ν(f 0 ) = ν((f − a0 )0 ) = ν(f − a0 ) − 1 .
En revenant à N , on obtient le résultat voulu.
Alors si (fn ) converge vers f , on a, à partir d’un certain rang,
a0 (fn ) = a0 (f ) ,
d’où, à partir de ce rang,
N (fn0 − f 0 ) = 2N (fn − f ) ,
ce qui montre la continuité de D.
Notations : si f est une série formelle, on notera f (0) le terme constant de la série. On notera f (k) la
série formelle dérivée d’ordre k obtenue par la relation de récurrence
f (k) = (f (k−1) )0
à partir de
f (0) = f .
On obtient alors la formule de Taylor
f (z) =
∞
X
f (k) (0)
k=0
k!
zk .
En effet, par une récurrence immédiate, le terme constant de f (k) vaut
f (k) (0) = k!ak .
BZ 12
Propriétés :
(f + g)0 = f 0 + g 0 ,
f 0 = 0 si et seulement si f est constante,
f (k) = 0 si et seulement si f appartient à Kk [z],
(f g)0 = f 0 g + gf 0 ,
k X
k
(k)
e) (f g) =
f (r) g (k−r) ,
r
a)
b)
c)
d)
r=0
f) (f k )0 = kf 0 f k−1 pour k ∈ Z, lorsque f k existe.
g) (f ◦ g)0 = (f 0 ◦ g)g 0 lorsque la composée existe.
a) est la linéarité.
b) et c) résultent de la formule de Taylor.
d) est vraie pour les polynômes donc, par densité, pour les séries formelles.
e) se déduit de d par récurrence.
f) pour n = 2, se déduit de d), puis par récurrence pour tout entier positif et toute série formelle.
Si f est dans ν −1 ({0}), en partant de la dérivée de
(1/f )f = 1
on trouve
(1/f )0 = −f 0 /f 2 = −f 0 f −2 .
Si on applique cette formule à f −n lorsque n ≥ 0, on obtient
(f n )0 = −(−n)f 0 f −n−1 /f 2n = nf 0 f n−1 .
g) La formule est vraie pour des polynômes et se conserve par densité chaque fois que la composée a
un sens.
Primitive d’une série formelle
Définition 5 Si f =
∞
X
ak z k , la série
k=0
F (z) =
∞
X
ak−1
k=1
est appelée primitive de f .
k
zk ,
BZ 13
Proposition 6 L’application I qui à f associe F est une application linéaire continue surjective
de K[[z]] sur ν −1 (N∗ ), et l’on a
N (f )
N (I(f )) =
,
2
ainsi que
D ◦ I = Id .
La linéarité est évidente et par construction
ν(I(f )) = ν(f ) + 1 .
De même, par construction
D ◦ I(f ) = f .
Puissance d’une série formelle de ν −1 (N∗ )
Proposition 7 Si f =
∞
X
an z n , on a, pour tout k ≥ 1,
n=1
k
f =
∞
X
Pn,k (a1 , . . . , an−k+1 )z n ,
n=k
où Pn,k appartient à N[z1 , . . . , zn−k+1 ]. La lettre zn−k+1 figurant dans un seul monôme qui est
kz1k−1 zn−k+1 .
De plus,
Pk,k (z1 ) = z1k .
La démonstration se fait par récurrence sur k.
Si l’on pose
Pn,1 (z1 , . . . , zn ) = zn ,
on a bien
f=
∞
X
n=1
et les conditions sont vérifiées.
Pn,1 (a1 , . . . , an )z n ,
BZ 14
Supposons la propriété vraie à l’ordre k. En écrivant
f k+1 = f k f ,
le coefficient de z n dans f k+1 est alors
n−1
X
Pr,k (a1 , . . . , ar−k+1 )an−r .
r=k
Posons donc
Pn,k+1 (z1 , . . . , zn−k ) =
n−1
X
Pr,k (z1 , . . . , zr−k+1 )zn−r .
r=k
Cela donne bien un élément de N[z1 , . . . , zn−k ] tel que
f k+1 =
∞
X
Pn,k+1 (a1 , . . . , an−k )z n .
n=k+1
Le terme contenant zn−k se trouve uniquement dans
Pk,k (z1 )zn−k + Pn−1,k (z1 , . . . , zn−k )z1 .
Comme le seul monôme de Pn−1,k (z1 , . . . , zn−k ) contenant zn−k est, par hypothèse de récurrence,
kz1k−1 zn−k , le terme contenant zn−k dans Pn,k+1 (z1 , . . . , zn−k ) est alors
z1k zn−k + kz1k−1 zn−k z1 = (k + 1)z1k zn−k .
Enfin
Pk+1,k+1 (z1 ) = Pk,k (z1 )z1 = z1k+1 .
Série réciproque d’une série formelle
Remarque préliminaire : l’application π0 qui à f associe f (0) est un morphisme d’algèbre de K[[z]]
sur K. De plus, si f ◦ g a un sens, on a
(f ◦ g)(0) = f (g(0)) .
En effet, ou bien ν(g) est non nul, alors g(0) = 0, et
(f ◦ g)(0) = f (0) = f (g(0)) ,
ou bien f est un polynôme
f=
n
X
ak z k ,
k=0
alors
f ◦g =
n
X
k=0
ak g k ,
BZ 15
donc
(f ◦ g)(0) = π0 (f ◦ g) =
n
X
k
ak π0 (g) =
k=0
n
X
ak g(0)k = f (g(0)) .
k=0
Théorème 5 Si f appartient à ν −1 ({1}), il existe g unique dans ν −1 ({1}) tel que
g ◦ f (z) = z ,
et cette série g est aussi l’unique série telle que
f ◦ g(z) = z .
C’est la série réciproque de f .
Si f possède un inverse à gauche, on a donc
g ◦ f (z) = z ,
et en particulier
g(f (0)) = 0 .
Puisque f (0) est nul, il en est de même de g(0). Cherchons donc g de la forme
g=
∞
X
bk z k .
k=1
Avec les notations utilisées plus haut pour les puissances de f , on a, en intervertissant les sommations,
!
∞
n
X
X
g ◦ f (z) = z =
bk Pn,k (a1 , . . . , an−k+1 ) z n .
n=1
k=1
Donc g est inverse à gauche de f si et seulement si
b1 P1,1 (a1 ) = b1 a1 = 1 ,
c’est-à-dire
b1 =
1
,
a1
puis
n
X
bk Pn,k (a1 , . . . , an−k+1 ) = 0 ,
k=1
d’où l’on tire, puisque
Pn,n (a1 ) = an1 ,
BZ 16
la relation
n−1
1 X
bn = − n
bk Pn,k (a1 , . . . , an−k+1 ) ,
a1
k=1
ce qui permet de déterminer, avec unicité, les coefficients bn par récurrence. Donc tout élément de
ν −1 ({1}) possède un inverse à gauche et celui-ci est aussi dans ν −1 ({1}).
Alors l’inverse à gauche est aussi inverse à droite. En effet, si
g ◦ f (z) = z
et h ◦ g(z) = z ,
on a
h ◦ g ◦ f (z) = h ◦ (g ◦ f )(z) = h(z)
et aussi
h ◦ g ◦ f (z) = (h ◦ g) ◦ f (z) = f (z) ,
d’où
g ◦ f (z) = f ◦ g(z) = z .
Théorème 6 L’application de ν −1 ({1}) dans lui-même qui à f associe f −1 est une isométrie.
Si ν(f1 − f2 ) = 1, alors a1 (1) 6= a1 (2), et donc
b1 (1) =
1
1
6=
= b1 (2) .
a1 (1)
a1 (2)
Il en résulte que
ν(f1−1 − f2−1 ) = ν(f1 − f2 ) .
Si ν(f1 − f2 ) = r > 1, cela signifie que les r − 1 premiers coefficients de f1 et f2 sont identiques. La
formule de calcul des coefficients de f1−1 et f2−1 montre que ces deux séries ont également leurs r − 1
premiers coefficients identiques. Pour le r−ième,
!
r−1
X
1
br (i) = −
bk (i)Pr,k (a1 (i), . . . , ar−k+1 (i)) + b1 (i)Pr,1 (a1 (i), . . . , ar (i))
a1 (i)r
k=2
!
r−1
X
1
ar (i)
= −
bk (i)Pr,k (a1 (i), . . . , ar−k+1 (i)) +
.
a1 (i)r
a1 (i)
k=2
On en déduit alors que
br (1) − br (2) = −
1
(ar (1) − ar (2)) 6= 0
a1 (i)r+1
et de nouveau
ν(f1−1 − f2−2 ) = ν(f1 − f2 ) .
Remarque : si l’on veut que f ◦ g et g ◦ f aient un sens simultanément, il n’y a que trois possibilités :
BZ 17
1) f et g sont dans ν −1 (N∗ ),
2) f et g sont dans K[z],
3) f ou g est dans K[z] ∩ ν −1 (N∗ ).
Si de plus on veut que
g ◦ f (z) = f ◦ g(z) = z ,
on a f (0) = 0 si et seulement si g(0) = 0, donc f et g sont dans ν −1 (N∗ ), et, en dérivant,
f 0 ◦ g(z)g 0 (z) = 1 ,
d’où
f 0 (0)g 0 (0) = 1 ,
ce qui montre que f et g sont dans ν −1 ({1}). Cette situation est celle du théorème.
Dans le cas où f et g sont des polynômes, on a
deg(f ◦ g) = deg(f ) deg(g) = 1 ,
et donc nécessairement
deg(f ) = deg(g) = 1 .
Alors
f (z) = az + b
avec a non nul, ce qui donne
g(z) =
1
(z − b) .
a
Formule :
(f −1 )0 = 1/f 0 ◦ f −1 .
Cela résulte de la dérivation de
f ◦ f −1 (z) = z .
On obtient
f 0 ◦ f −1 (z)(f −1 )0 (z) = 1 .
Théorème 7 L’ensemble ν −1 ({1}) est stable pour la composition des séries formelles et l’application π1 qui à f associe f 0 (0) est un morphisme de groupe de ν −1 ({1}) sur K.
De la formule
(f ◦ g)0 = f 0 ◦ g g 0 ,
on déduit
(f ◦ g)0 (0) = f 0 ◦ g(0)g 0 (0) = f 0 (0)g 0 (0) ,
BZ 18
c’est-à-dire
π1 (f ◦ g) = π1 (f )π1 (g) .
Donc π1 est un morphisme. De plus, si f est dans ν −1 ({1}), il en est de même de f −1 et
π1 (f −1 ) =
1
.
π1 (f )
L’élément neutre du groupe ν −1 ({1}) est z.
Produit de séries de séries formelles
Théorème 8 Soit deux séries convergentes
F =
∞
X
fn
et G =
n=0
∞
X
gn
n=0
d’éléments de K[[z]]. Si l’on pose
hn =
n
X
fk gn−k ,
k=0
alors la série de terme général hn est convergente et
∞
X
hn = F G .
n=0
On a
N (hn ) ≤ max N (fk gn−k ) ≤ max N (fk )N (gn−k ) .
1≤k≤n
1≤k≤n
Comme les séries de terme général fn et gn sont convergentes, les suites (fn ) et (gn ) convergent vers 0.
Donc, pour tout ε > 0, il existe un entier Q tel que, si k ≥ Q,
N (fk ) < ε ,
et il existe un entier R, tel que, si k ≥ R
N (gk ) < ε .
Alors, soit
n ≥ N = Q+R.
Si k < Q, alors
n−k ≥N −Q=R
donc
N (fk )N (gn−k ) ≤ N (gn−k ) < ε .
BZ 19
Si k ≥ Q
N (fk )N (gn−k ) ≤ N (fk ) < ε .
Donc
N (hn ) < ε ,
ce qui prouve que la série est convergente.
Par ailleurs, on peut écrire
2p
n
X
X
n=0
!
fk gn−k
=
Sp =
2p
X
!
fn
2p−k
X
fk
!
gr
r=0
k=p+1
+
p
X
!
gn
+ Sp ,
n=0
n=0
k=0
où
p
X
2p
X
gk
k=p+1
2p−k
X
!
fr
.
r=0
Or, on a la majoration
N (Sp ) ≤
max (max(N (fk ), N (gk )) ,
p+1≤k≤2p
et le membre de droite converge vers 0 lorsque p tend vers l’infini, d’où
∞
X
hn = F G .
n=0
Série entière et série formelle
Il est clair que toute série entière de rayon non nul peut être considérée comme une série formelle.
Cependant, il faut remarquer qu’il n’y a aucun rapport entre la topologie de la convergence compacte
sur les séries entières et la topologie définie par N .
La suite de fonctions constantes (1/n)n≥1 converge uniformément vers 0, mais
N (1/n) = 1
et la suite n’a pas de limite pour N .
Inversement la suite (nn z n )n≥0 converge vers 0 pour N puisque
N (nn z n ) = 2−n ,
mais elle n’a pas de limite simple, puisque, pour tout z non nul, la suite (nn |z|n ) admet +∞ pour limite.
Il est clair par ailleurs que l’application qui à une série entière associe la série formelle correspondante
est compatible avec les différentes opérations définies ci-dessus. On pourra donc confondre les deux
notions lorsque cela sera utile.
BZ 20
Exponentielle d’une série formelle
Si g est un élément de ν −1 (N∗ ), et si f (z) = ez , la série formelle
eg = f ◦ g
a donc un sens. On peut en fait lui donner un sens pour toute série formelle g. En effet, il suffit de
poser
eg = eg(0) eg−g(0) .
Toutes les formules classiques de l’exponentielle sont alors valables
1) ef +g = ef eg ,
2) e−f = 1/ef ,
3) (ef )0 = f 0 ef .
Il suffit de les vérifier pour des éléments de ν −1 (N∗ ).
1) Les séries de terme général f n /n! et g n /n! sont convergentes, car ν(fn ) et ν(gn ) sont plus grands
que n. En effectuant le produit des séries, qui converge alors automatiquement, on obtient
!
!
∞ ∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
f k g n−k
(f + g)n
1 X n k n−k
f g
=
e e =
f g
= ef +g .
=
k! (n − k)!
n!
k
n!
n=0
k=0
n=0
k=0
n=0
2) On en déduit
ef −f = e0 = 1 = ef e−f ,
ce qui donne
e−f = 1/ef .
3) En dérivant les séries composées, on a alors
(ef )0 = f 0 ef .
Remarque : on a toujours ν(ef ) = 0, et donc N (ef ) = 1, car
(ef )(0) = ef (0) 6= 0 .
Théorème 9 L’application qui à f associe ef est une isométrie de K[[z]] dans ν −1 ({0}).
En partant de
ef − eg = eg (ef −g − 1) ,
on a donc
N (ef − eg ) = N (eg )N (ef −g − 1) = N (ef −g − 1) ,
BZ 21
et il suffit de voir que
N (eu − 1) = N (u) .
C’est évident si u(0) est nul car le premier terme de eu − 1 est celui de u. Dans le cas contraire on a
ν(eu − 1) = ν(u) = 0 .
Remarque : si f est une série entière vérifiant pour tout nombre a non nul, et pour z voisin de a une
relation du type
z−a
,
f (z) = H a, f
a
où H est un polynôme de deux variables, on pourra définir f ◦ g pour toute série formelle en posant
g − g(0)
f ◦ g = H g(0), f
.
g(0)
√
Cela s’applique par exemple à ln z ou 1 + z.