CHAPITRE 3 : LES VARIABLES ALÉATOIRES

CHAPITRE 3 : LES VARIABLES ALÉATOIRES
Introduction
Variable aléatoire X est une application permettant d’associer un nombre réel à toute
éventualité.
On note X(Ω) l’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre X. X est dite :
•Discrète lorsque l’ensemble des valeurs que peut prendre est dénombrable
•Continue lorsqu’elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle de IR
Exemple 1 :
On lance 2 dés. On note S l’application qui à chaque lancée associe la somme des
résultats obtenus.
S est une variable aléatoire qui peut prendre toutes les valeurs de l’ensemble S(Ω)={2,3,
…,12}
Exemple 2 :
Après mise en sachet on pèse les paquets de farine. On note Y l’application qui à chaque
paquet associe son poids en gramme. On a constaté que les poids varient entre 955 et
1100 gr.
Y est une variable aléatoire continu qui peut prendre toutes les valeurs de l’intervalle
Y(Ω) = [950 ;1100]
I) Variable aléatoires discrètes
A) Loi de probabilité ou fonctions de distribution.
1. Définition
L’application qui à chaque valeur possible x d’une variable aléatoire X associe la
probabilité P(X=x) est appelée loi de probabilité ou fonction de distribution de la variable
aléatoire X.
X est la variable aléatoire et x est une réalisation / valeur possible de cette variable X.
•P(X=x) : probabilité de réaliser l’événement de variable aléatoire X prend la valeur
x
•(X=x) : désigne l’événement « la variable aléatoire X prend la valeur x »
2. Exemple
1

Monsieur PLANDO a 3 bateaux à louer à la journée. X désigne le nombre de bateaux loués
par jour sur un mois. Il a pu établir la loi suivante
X0123
P(X=x) 0,6 0,25 0,1 0,05
Diagramme en Bâtons
G1
Remarque :
X est définie comme étant le nombre de bateaux loués par jour en mai. C’est un abus de
langage puisque X n’est pas un nombre mais une variable aléatoire. Donc il est sous-
entendu que X est l’application qui à chaque jour de mai associe le nombre de bateaux
loués ce jour là.
3. Propriété
La somme des P(X=x) vaut 1.
Exemple :
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
= 0,6 + 0,25 + 0,1 + 0,05
= 1
B) Fonction de répartition
1. Définition
L’application F qui, à tout réel x associe la probabilité que la variable aléatoire X prenne
une valeur inférieure ou égale à x, est, par définition, la fonction de répartition de X.
Pour tout x réel, F(X) = P(X ≤ x)
2. Propriétés
•F est une fonction croissante ;
•Pour tout x, on a 0 ≤ F(x) ≤ 1
2

• or (x ≤ + ) est l’événement certain, donc
•: l’événement impossible,
•Et surtout : Pour tout a et tout b réels,
Exemple :
On a une population d’étudiants. 10% sont abonnés à 3 journaux, 20% à 2 journaux et
40% à 1 seul, les autres à aucun. On note X (variable aléatoire) qui associe à chaque
étudiant le nombre d’abonnement qu’il a souscrit. F est la fonction de répartition qui est à
chercher.
Loi de proba de X :
X0123
P(X=x) 0,3 0,4 0,2 0,1
F(0) = P(X ≤ 0) = P(X=0) = 0,3
F(1) = P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,3 + 0,4 = 0,7
F(2) = P(X ≤ 2) = 0,3 + 0,4 + 0,2 = 0,9
F(3) = 1
•Expression de F sur IR
Si x < 0 F(x)=0
Si x € [0,1[ F(x)=0,3
Si x€ [1,2[ F(x)=0,7
Si x € [2,3[ F(x)=0,9
Si x ≥3 F(x)=1
Lorsque X est discrète, F est une fonction en escalier
•Représentation graphique de F
---G2
3

+ P(X > 2) = 1 - P(x ≤ 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,9 = 0,1
+ P(0 < x < 3) = P(1 ≤ x ≤ 2) = P(1 ≤ x < 3) = P(0 < x ≤2) = F(2) - F(0) = 0,9 - 0,3
= 0,6
C) Variables aléatoires discrètes indépendantes
Définition :
Deux variables aléatoires discrètes X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tout
couple (x ;y) de valeurs possibles pour X et Y, les événements X=x est Y=y sont
indépendants.
P(X=x et Y=y)=P(X=x) * P(Y=y)
Exemple :
Un assureur a fait une étude sur ses clients qui pratiquent du ski. Il a établi que la loi du
nombre annuel X d’accidents de voiture de ces clients est :
x 0 1 2
P(X=x) 0,6 0,3 0,1
Pour les mêmes clients Y désigne le nombre de semaines passées à la montagne au cours
de l’année
y 1 2 3
P(Y=y) 0,5 0,45 0,05
Tableau des probabilités des événements (X=x et Y=y) si X et Y indépendants.
P(X=x et Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)
X
Y
0 1 2
1 0,3* 0,15 0,05
2 0,27 0,135 0,045
3 0,03 0,015 0,005
Tableau de la loi conjointe :
O,3 = 0,6*0,5
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Pour savoir si les variables sont indépendantes, alors il faut que les lignes et colonnes
aient un rapport de proportionnalité.
D) Espérance, variance, covariance
1. Définitions
a) Espérance mathématique
L’espérance mathématique de X qui est notée E(x) ou est définie par
C’est bien la moyenne arithmétique des valeurs de x pondérée par leur probabilité.
E(X) est un paramètre de position ou de tendance de X
b) Variance et écart-type
La variance de X notée V(X) est l’espérance de la variable aléatoire
Donc V(X)=
Formule de Köenig
V(X)=E[x2]-[E(x)]2 = E(X2)- 2
Remarque :
V(x)≥0
T(X)= Ecart-type
V(x) et G(x) = mesure la dispersion des valeurs prises par X autour de son espérance
c) Covariance de 2 variables aléatoires
La covariance de X et Y, notée cov(X,Y) est l’espérance de la variable aléatoire
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