CHAPITRE 3 : LES VARIABLES ALÉATOIRES

CHAPITRE 3 : LES VARIABLES ALÉATOIRES
Introduction
Variable aléatoire X est une application permettant d’associer un nombre réel à toute
éventualité.
On note X(Ω) l’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre X. X est dite :
•
•
Discrète lorsque l’ensemble des valeurs que peut prendre est dénombrable
Continue lorsqu’elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle de IR
Exemple 1 :
On lance 2 dés. On note S l’application qui à chaque lancée associe la somme des
résultats obtenus.
S est une variable aléatoire qui peut prendre toutes les valeurs de l’ensemble S(Ω)={2,3,
…,12}
Exemple 2 :
Après mise en sachet on pèse les paquets de farine. On note Y l’appli cation qui à chaque
paquet associe son poids en gramme. On a constaté que les poids varient entre 955 et
1100 gr.
Y est une variable aléatoire continu qui peut prendre toutes les valeurs de l’intervalle
Y(Ω) = [950 ;1100]
I) Variable aléatoires discrètes
A) Loi de probabilité ou fonctions de distribution.
1. Définition
L’application qui à chaque valeur possible x d’une variable aléatoire X associe la
probabilité P(X=x) est appelée loi de probabilité ou fonction de distribution de la variable
aléatoire X.
X est la variable aléatoire et x est une réalisation / valeur possible de cette variable X.
•
•
P(X=x) : probabilité de réaliser l’événement de variable aléatoire X prend la valeur
x
(X=x) : désigne l’événement « la variable aléatoire X prend la valeur x »
2. Exemple
1
Monsieur PLANDO a 3 bateaux à louer à la journée. X désigne le nombre de bateaux loués
par jour sur un mois. Il a pu établir la loi suivante
X
P(X=x)
0
0,6
1
0,25
2
0,1
3
0,05
Diagramme en Bâtons
G1
Remarque :
X est définie comme étant le nombre de bateaux loués par jour en mai. C’est un abus de
langage puisque X n’est pas un nombre mais une variable aléatoire. Donc il est sousentendu que X est l’application qui à chaque jour de mai associe le nombre de bateaux
loués ce jour là.
3. Propriété
La somme des P(X=x) vaut 1.
Exemple :
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
= 0,6 + 0,25 + 0,1 + 0,05
=1
B) Fonction de répartition
1. Définition
L’application F qui, à tout réel x associe la probabilité que la variable aléatoire X prenne
une valeur inférieure ou égale à x, est, par définition, la fonction de répartition de X.
Pour tout x réel, F(X) = P(X ≤ x)
2. Propriétés
2
•
F est une fonction croissante ;
•
Pour tout x, on a 0 ≤ F(x) ≤ 1
or (x ≤ + ) est l’événement certain, donc
•
: l’événement impossible,
•
•
Et surtout : Pour tout a et tout b réels,
Exemple :
On a une population d’étudiants. 10% sont abonnés à 3 journaux, 20% à 2 journaux et
40% à 1 seul, les autres à aucun. On note X (variable aléatoire) qui associe à chaque
étudiant le nombre d’abonnement qu’il a souscrit. F est la fonction de répartition qui est à
chercher.
Loi de proba de X :
X
P(X=x)
0
0,3
1
0,4
2
0,2
F(0) = P(X ≤ 0) = P(X=0) = 0,3
F(1) = P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,3 + 0,4 = 0,7
F(2) = P(X ≤ 2) = 0,3 + 0,4 + 0,2 = 0,9
F(3) = 1
•
Expression de F sur IR
Si x < 0
F(x)=0
Si x € [0,1[
F(x)=0,3
Si x€ [1,2[
F(x)=0,7
Si x € [2,3[
F(x)=0,9
Si x ≥3
F(x)=1
Lorsque X est discrète, F est une fonction en escalier
•
Représentation graphique de F
---G2
3
3
0,1
+ P(X > 2) = 1 - P(x ≤ 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,9 = 0,1
+ P(0 < x < 3) = P(1 ≤ x ≤ 2) = P(1 ≤ x < 3) = P(0 < x ≤2) = F(2) - F(0) = 0,9 - 0,3
= 0,6
C)
Variables aléatoires discrètes indépendantes
Définition :
Deux variables aléatoires discrètes X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tout
couple (x ;y) de valeurs possibles pour X et Y, les événements X=x est Y=y sont
indépendants.
P(X=x et Y=y)=P(X=x) * P(Y=y)
Exemple :
Un assureur a fait une étude sur ses clients qui pratiquent du ski. Il a établi que la loi du
nombre annuel X d’accidents de voiture de ces clients est :
x
P(X=x)
0
0,6
1
0,3
2
0,1
Pour les mêmes clients Y désigne le nombre de semaines passées à la montagne au cours
de l’année
y
P(Y=y)
1
0,5
2
0,45
3
0,05
Tableau des probabilités des événements (X=x et Y=y) si X et Y indépendants.
P(X=x et Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)
X
0
1
2
0,3*
0,27
0,03
0,15
0,135
0,015
0,05
0,045
0,005
Y
1
2
3
Tableau de la loi conjointe :
O,3 = 0,6*0,5
4
Pour savoir si les variables sont indépendantes, alors il faut que les lignes et colonnes
aient un rapport de proportionnalité.
D) Espérance, variance, covariance
1. Définitions
a) Espérance mathématique
L’espérance mathématique de X qui est notée E(x) ou
est définie par
C’est bien la moyenne arithmétique des valeurs de x pondérée par leur probabilité.
E(X) est un paramètre de position ou de tendance de X
b) Variance et écart-type
La variance de X notée V(X) est l’espérance de la variable aléatoire
Donc V(X)=
Formule de Köenig
V(X)=E[x2]-[E(x)]2 = E(X2)-
2
Remarque :
V(x)≥0
T(X)=
Ecart-type
V(x) et G(x) = mesure la dispersion des valeurs prises par X autour de son espérance
c) Covariance de 2 variables aléatoires
La covariance de X et Y, notée cov(X,Y) est l’espérance de la variable aléatoire
5
Formule de Köenig généralisée
2. Propriétés
a) Propriétés d’espérance
X v.a. et a et b 2 constantes, on a :
• E[aX+b] = aE[X] + b
• E[X1+X2+…+Xn] = E[X1] + E[X2] + … + E[Xn]
• E[X1-X2] = E[X1] - E[X2]
b) Propriétés de la covariance
•
Cov(X,k)=0 et
cov(k,Y)=0 avec k=constant
•
Cov(X,Y)=cov(Y,X)
•
Cov(aX+b,a’Y+b’)=aa’cov(X,Y)
a,a’,b,b’ => constant
c) Propriétés de la variance
•
V(aX+b)=a2V(X)
•
T(aX+b)=|a|T(x)
•
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)
d) Cas particulier des v.a. indépendantes
Si X et Y sont indépendantes, on a
donc cov(X,Y)=0
 V(X+Y)=V(X)+V(Y)
Cette propriété se généralise à n v.a. indépendantes
V(X1+X2+…+Xn)=V(X1)+…+V(Xn)
V(X-Y)=V(X)+V(Y)=V(X+(-1)Y)=V(X)+(-1) 2V(Y)
Exemple :
6
Une agence loue des voitures à la journée. Elle a 6 véhicules et la loi du nombre X de
voitures louées par jour est donnée par le tableau :
x
P(X=x)
0
0,05
1
0,1
2
0,37
3
0,27
4
0,17
5
0,03
6
0,01
•
E(X)=(0*0,05)+(1*0,10)+(2*0,37)+(3*0,27)+(4*0,17)+(5*0,03)+(6*0,01)=2
,54
•
E(X2)=
(02*0,05)+(12*0,10)+(22*0,37)+(32*0,27)+(42*0,17)+(52*0,03)+(62*0,01)
=7,84
V(X)= E(X2)- =7,84-2,542=1,3884
 T(x)=
=1,18
Le bénéfice B réalisé = 450X-375
•
•
E[B]=E[450X-375]=450E[X]-375=768
V(B)=V(450X-375)=4502V(X)=281’151
•
T(B)=
=530,24
E) Les moments
L’espérance et la variance ne sont que des cas particuliers de ce que l’on appelle les
moments d’une variable aléatoire.
Les expressions
E(Xk)=
En pratique, seuls les moments d’ordre ≤4 sont utilisés (où k≤4)
F) Lois marginales
A partir de la li conjointe du couple aléatoire (X,Y) on détermine les lois marginales des
(X,Y)
Loi de X :
P(X=xi)=
Loi de Y :
P(Y=yj)=
Exemple :
7
Loi du couple (X,Y) ou loi conjointe :
Y
X
1
2
L(Y)
1
2
L(X)
0,3
0,2
0,5
0,4
0,1
0,5
0,7
0,3
Lois marginales :
E(X)
E(Y)
V(X)
V(Y)
=
=
=
=
1*0,7 + 2*0,3 = 1,3
1,5
0,7*12 + 0,3*22 - 1,32 = 0,21
0,5*12 + 0,5*22 - 1,52 = 0,25
E(XY)=1*1*0,3 + 1*2*0,4 + 2*1*0,2 + 2*2*0,1 = 1,9
=
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 1,9-1,3*1,5
G) Inégalité de Bienaymé - Tchebychev
Elle donne la situation concrète en terme de probabilité des valeurs prises par une v.a.
Soit a>0, on démontre que la proba de l’ensemble des valeurs de la v.a. qui sont à
l’extérieur de l’intervalle [E(X)-aT ;E(X)+aT] est inférieurs à 1/a2
Exemple :
La proba des valeurs de la v.a. en dehors de [E(x)-2T ;E(x)+2T] est inférieurs à 1/22 = ¼ ,
càd qu’avec une proba de 0,75, 1 v.a. prend ses valeurs dans 1 intervalle de longueurs 4T
centré sur E(X)
H) Variable centrée réduite associée à X
Soit X une v.a., d’espérance m et d’écart-type T
•
La v.a. Xc=X-m est appelé v.a. centrée associée à X. son espérance est nulle.
E[Xc]=E[X-m]=E[X]-m=m-m=0
•
La variable aléatoire Xr définie par
Son écart-type vaut 1 :
8
, variable réduite associée à X.
Son espérance est nulle et l’écart-type vaut 1
•
Moments :
E[(x-N)k]=
(discret)
(N=m)
E[(x-N)k]=
Ces moments correspondent aux moments centrés d’ordre k.
Si
k=1
=>
Espérance
K=2
=>
Variance
Exercice :
Reprise de l’exercice précédent.
Déterminer la variable centrée réduite T associée à B. Interprétation de P(T>2) et P(T>5)
•
Par définition,
: proba que B dépasse son espérance de plus de 2 fois sont écart-type
Idem P(T>5)
•
Exprimer en fonction de T la proba que B ne s’écarte pas de son espérance de plus
de ½ écart type
P(E(B)- ½
Donc T évalue la « distance » entre B et son espérance mesurée en nombre d’écart
types
II) Variables aléatoires continues.
9
Exemple :
Reprise de l’exemple des paquets de farine dont le poids (en grammes) est une variable
aléatoire Y : [950,1100].
- Lorsqu’on prend un paquet au hasard, la proba d’obtenir un poids de farine
rigoureusement égale à 978,2g, p.ex., est nulle.
- L’événement (Y=978,2) est dit quasi impossible.
- Plus généralement :
Si X est une variable aléatoire continue, on a :
P(X=x)=0 pour tout x
A) Fonction de répartition
1. Définition
L’application qui, à tout réel x, associe la proba que la variable aléatoire X prenne une
valeur inférieure ou égale à x, est par définition la fonction de répartition de X.
Pour tout réel x, F(x)=P(X≤x)
2. Propriétés
•
F est croissante
•
Pour tout x, 0≤F≤1
•
•
Pour tous réels a et b :P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)
Puisque P(X=a)=P(X=b)=0, on a également :
P(a<X<b)=P(a≤X≤b)=(a≤X<b)=F(b)-F(a)
Exemple:
Dans une banque entre 9h et 10h le temps d’attente d’un employé entre 2 clients en
minutes est une variable aléatoire X dont la fonction de répartition F est défini par F(x)=0
si x<0 et
si x≥0. Un client vient juste de partir. Déterminer la proba que
le client suivant se présente
a) dans 5 minutes exactement
b) dans moins de 3 minutes
c) dans plus de 3 minutes mais moins de 10
Solutions :
a) P(X=5)=0
b) P(X<3)=P(X≤3)=F(3)=1-e-0,1*3 0,259
P(3<x<10)=F(10)-F(3)=(1-e-0,1*10)-(1-e-0,1*3)=0,373
B) Variables aléatoires continues indépendantes
10
1. Définition :
Deux variables aléatoires continues X et Y sont indépendantes ssi, pour tous réels x et y,
les événements (X≤x) et (Y≤y) sont indépendants, ce qui signifie que l’on a :
P(X≤x et Y≤y)=P(X≤x)*P(Y≤y)
Si X et Y sont indépendantes :
P(X>x et Y>y)=P(X>x et Y>y) = P(X>x)P(Y>y)
Exemple :
Un appareil fonctionne grâce à 2 éléments identiques mais indépendants dont les durées
de vie T1 et T2 sont telles que P(T1>10)=P(T2>10)=0,04. Il suffit que l’un des deux
éléments tombe en panne pour que l’appareil ne fonctionne plus. Quelle est la proba que
cet appareil fonctionne pendant plus de 10 ans ?
Solution :
L’appareil fonctionne pendant plus de 10 ans si l’événement (T1>10 et T2>10) est réalisé.
Or, P(T1>10 et T2>10)=P(T1>10)P(T2>10)=0,04 2=0,0016
C) Loi ou densité de probabilité d’une variable aléatoire continue.
1. Définition
SI X est une variable aléatoire continue de fonction de répartition F dérivable, la loi de
probabilité de X est définie par la dérivée de F, que l’on note f. f est appelé densité de
probabilité ou fonction de densité de X.
f(x)=F’(x)
Exemple :
Déterminer la densité de proba de X,
•
•
F(x)=0 si x<0
F(x)=1-e-0,1x sinon
Si x<0, F(x)=0 donc F’(x)=0
Si x≥0, F(x)= 1-e-0,1x donc F’(x)=0
F’(x)=0-(-0,1)e-0,1x
La densité de proba de X :
f(x)=0 si x<0
f(x)= 0,1e-0,1x sinon
2. Propriétés
a) La densité est une fonction positive
En effet, la fonction de répartition F est décroissante. Donc sa dérivée f est positive ou
nulle. Graphiquement, cela signifie que la courbe de f est entièrement située au dessus de
l’axe des abscisses.
11
b) Calcul de P(a<X≤b)=F(b)-F(a)
Or F est une primitive de f, donc
c)
En effet (-∞<x≤+∞) est l’événement certain.
Graphiquement cela signifie que l’air de la portion de plan situé entre l’axe de l’abscisse et
la courbe représentative de f vaut 1 en unité d’air)
d) Expression de F en fonction de f
F(x)=P(X≤x)
En prenant a=-∞ et b=x, avec la propriété b), on obtient :
F est la primitive de f, mais pas n’importe quelle, c’est celle qui tend vers 0 en -∞
e) Représentation graphique
G4
Exemple :
La quantité de café (en kg) vendu par un torréfacteur est une variable aléatoire X prenant
ses valeurs dans l’intervalle X=[10,70] de densité f :
f(x)=0 sinon
12
•
Vérifier que
•
•
Déterminer et représenter la fonction de répartition de X(F)
Calculer la proba qu’il vende
• Moins de 20kg de café (A)
• Plus de30kg (B)
• Entre 20 et 30kg (C)