Feuille 2

Algèbre : Fiche de TD n◦2
Groupes, sous-groupes, sous-groupes engendrés et ordre.
Exercice 1. Vérifier si les axiomes de groupe sont satisfaits dans les exemples suivants :
1. {−1,1} ⊂ Ravec le produit de R;
2. l’ensemble P(E)(Eun ensemble quelconque) avec produit donné par :
(a) l’union ensembliste
(b) l’intersection ensembliste
(c) la différence symétrique X4Y= (X∪Y)\(X∩Y)
3. A(E)ensemble des applications d’un ensemble Edans lui-même muni de la composition.
4. Bij(E)ensemble des bijections d’un ensemble Emuni de la composition.
5. A(E, G)ensemble des applications d’un ensemble Edans un groupe (G, ∗), muni du produit f∗g
(noté de la même façon que dans G) défini par ∀x∈E, (f∗g)(x) = f(x)∗g(x).
6. Le sous-ensemble de (Q,+) des nombres rationnels qui ont un dénominateur impair dans leur écriture
réduite.
Exercice 2.
1. Vérifier qu’il n’existe qu’un seul groupe à trois éléments à isomorphisme près (dresser la table de la
loi).
2. On note D2l’ensemble des isométries du plan complexe Cfixant globalement {−i, i}. Vérifier que
(D2,◦)est un groupe, en déterminer les éléments et dresser la table de la loi de composition.
3. On note D3l’ensemble des isométries du plan fixant globalement un triangle équilatéral. Vérifier que
(D3,◦)est un groupe, en déterminer les éléments et dresser la table de la loi de composition.
4. Déterminer tous les groupes d’ordre 4 à isomorphisme près (dresser les tables des diverses lois pos-
sibles).
Exercice 3.
1. Soit Gun groupe.
(a) Montrer que l’intersection de deux sous groupes de Gest un sous groupe de G.
(b) Soit (Hi)i∈Iune famille quelconque de sous groupes de G. Montrer que T
i∈I
Hiest un sous groupe
de G.
(c) Montrer que si H1et H2sont deux sous groupes de Galors : H1∪H2est un sous groupe de G
si et seulement si H1⊂H2ou H2⊂H1.
2. Soit Gun groupe et S⊂G. Montrer l’équivalence entre :
(a) < S > est l’intersection de tous les sous-groupes de Gcontenant S.
(b) < S > est le plus petit sous-groupe de Gcontenant S(au sens de l’inclusion).
(c) < S >={sε1
1sε2 2. . . sεr
r|r∈N, s1, . . . , sr∈S, ε1, . . . , εr=±1}
Exercice 4. Soit Gun groupe.
1. Montrer que si (ab)2=a2b2pour tous a, b ∈Galors Gest abélien.
2. Montrer que si a=a−1(on dit que aest d’ordre 2) pour tout a∈Galors Gest abélien.
3. Montrer que si Gest fini et si tous les éléments distincts de l’élément neutre sont d’ordre 2, alors G
est d’ordre 2k.
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Exercice 5. Soit Gest un groupe fini. On appelle ordre de Gle cardinal de Get ordre de g∈Gle
cardinal du sous-groupe engendré par g.
1. Montrer pour tout g∈Gil existe un entier n∈N∗tel que gn=e.
2. Montrer qu’il existe un entier N∈N∗tel que : pour tout g∈Gon a gN=e.
3. Montrer que pour tout g∈Gl’ordre de g,◦(g)est le plus petit entier tel que g◦(g)=e.
4. Montrer qu’un groupe d’ordre pair admet un élément d’ordre 2(on rappelle que tout élément à un
inverse).
5. Démontrer que l’ordre de chaque élément d’un groupe fini divise l’ordre du groupe.
6. En déduire que tout groupe d’ordre premier est cyclique (donc abélien).
7. Trouver tous les groupes d’ordre au plus 7.
Exercice 6. Soit Q8le sous-groupe de GL2(C)engendré par les matrices
I=i0
0−iJ=0 1 −1 0 K=0i i0.
1. Déterminer l’ordre de Q8et donner la liste de ses éléments.
2. Donner la table de multiplication de Q8.
Exercice 7. Déterminer tous les sous-groupes de Z,Z/nZ, des groupes diédraux D2,D3et des groupes
d’ordre au plus 7.
Exercice 8. Montrer que les sous-groupes additifs de Rsont ou bien denses dans Rou bien de la forme aZ
avec a > 0(on pourra introduire le nombre a= inf G∗
+où G∗ +=G∩R∗ +et utiliser la propriété d’Archimède
de R).
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