Feuille 2

Algèbre : Fiche de TD n◦ 2
Groupes, sous-groupes, sous-groupes engendrés et ordre.
Exercice 1.
Vérifier si les axiomes de groupe sont satisfaits dans les exemples suivants :
1. {−1, 1} ⊂ R avec le produit de R ;
2. l’ensemble P(E) (E un ensemble quelconque) avec produit donné par :
(a) l’union ensembliste
(b) l’intersection ensembliste
(c) la différence symétrique X 4 Y = (X ∪ Y ) \ (X ∩ Y )
3. A(E) ensemble des applications d’un ensemble E dans lui-même muni de la composition.
4. Bij(E) ensemble des bijections d’un ensemble E muni de la composition.
5. A(E, G) ensemble des applications d’un ensemble E dans un groupe (G, ∗), muni du produit f ∗ g
(noté de la même façon que dans G) défini par ∀x ∈ E, (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x).
6. Le sous-ensemble de (Q, +) des nombres rationnels qui ont un dénominateur impair dans leur écriture
réduite.
Exercice 2.
1. Vérifier qu’il n’existe qu’un seul groupe à trois éléments à isomorphisme près (dresser la table de la
loi).
2. On note D2 l’ensemble des isométries du plan complexe C fixant globalement {−i, i}. Vérifier que
(D2 , ◦) est un groupe, en déterminer les éléments et dresser la table de la loi de composition.
3. On note D3 l’ensemble des isométries du plan fixant globalement un triangle équilatéral. Vérifier que
(D3 , ◦) est un groupe, en déterminer les éléments et dresser la table de la loi de composition.
4. Déterminer tous les groupes d’ordre 4 à isomorphisme près (dresser les tables des diverses lois possibles).
Exercice 3.
1. Soit G un groupe.
(a) Montrer que l’intersection de deux sous groupes de G est un sous groupe de G.
(b) Soit (Hi )i∈I une famille quelconque de sous groupes de G. Montrer que
T
Hi est un sous groupe
i∈I
de G.
(c) Montrer que si H1 et H2 sont deux sous groupes de G alors : H1 ∪ H2 est un sous groupe de G
si et seulement si H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1 .
2. Soit G un groupe et S ⊂ G. Montrer l’équivalence entre :
(a) < S > est l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant S.
(b) < S > est le plus petit sous-groupe de G contenant S (au sens de l’inclusion).
(c) < S >= {sε11 sε22 . . . sεrr | r ∈ N, s1 , . . . , sr ∈ S, ε1 , . . . , εr = ±1}
Exercice 4.
Soit G un groupe.
1. Montrer que si (ab)2 = a2 b2 pour tous a, b ∈ G alors G est abélien.
2. Montrer que si a = a−1 (on dit que a est d’ordre 2) pour tout a ∈ G alors G est abélien.
3. Montrer que si G est fini et si tous les éléments distincts de l’élément neutre sont d’ordre 2, alors G
est d’ordre 2k .
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Exercice 5. Soit G est un groupe fini. On appelle ordre de G le cardinal de G et ordre de g ∈ G le
cardinal du sous-groupe engendré par g.
1. Montrer pour tout g ∈ G il existe un entier n ∈ N∗ tel que g n = e.
2. Montrer qu’il existe un entier N ∈ N∗ tel que : pour tout g ∈ G on a g N = e.
3. Montrer que pour tout g ∈ G l’ordre de g, ◦(g) est le plus petit entier tel que g ◦(g) = e.
4. Montrer qu’un groupe d’ordre pair admet un élément d’ordre 2 (on rappelle que tout élément à un
inverse).
5. Démontrer que l’ordre de chaque élément d’un groupe fini divise l’ordre du groupe.
6. En déduire que tout groupe d’ordre premier est cyclique (donc abélien).
7. Trouver tous les groupes d’ordre au plus 7.
Exercice 6.
Soit Q8 le sous-groupe de GL2 (C) engendré par les matrices
I=
i 0
0 −i
J=
0
−1
1
0
K=
0
i
i
0
.
1. Déterminer l’ordre de Q8 et donner la liste de ses éléments.
2. Donner la table de multiplication de Q8 .
Exercice 7. Déterminer tous les sous-groupes de Z, Z/nZ, des groupes diédraux D2 , D3 et des groupes
d’ordre au plus 7.
Exercice 8. Montrer que les sous-groupes additifs de R sont ou bien denses dans R ou bien de la forme aZ
avec a > 0 (on pourra introduire le nombre a = inf G∗+ où G∗+ = G ∩ R∗+ et utiliser la propriété d’Archimède
de R).
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