Les fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques
I. Le cercle trigonométrique
Définition: dans un repère orthonormal
(
)
; ;
O i j
le cercle de centre O et de rayon 1 est appelé cercle
trigonométrique. On repère les points de ce cercle par enroulement de la droite des réels sur le cercle
trigonométrique en partant du point O'(1;0):
 A tout nombre réel x correspond un unique point M du cercle trigonométrique.
x est alors une mesure de l'angle orienté de vecteurs (Ä OO′ ; Ä OM)
 Réciproquement à tout point M du cercle trigonométrique correspondent une infinité de nombres
réels obtenus en faisant plusieurs tours (dans un sens ou dans l'autre)
x et x' sont deux mesures du même angle orienté si et seulement si x' = x+k2π avec k☻Z
on note x' = x [2π]
Exemples :
cas particuliers:
II. Les fonctions trigonométriques
1. Définitions
A tout nombre réel x correspond un point M du cerce trigonométrique.
La fonction cosinus est la fonction qui à x associe l'abscisse du point M
La fonction sinus est la fonction qui à x associe l'ordonnée du point M
Exemples :
Courbe représentative de la fonction sinus :
xo
-8 -4 4
Ox=0.8
x=0.8
π
2
π
3
π
2 2
π
5
π
2
-
π
2-
π
-3
π
2-2
π
-5
π
2-3
π
sin(0.8) ≈ 0.72
Courbe représentative de la fonction cosinus :
xo
-8 -4 4 8
O
x=0.8
x=0.8
cos(0.8)
≈
0.7
π
2 π
3
π
2 2 π
5
π
2 3 π
-
π
2- π
-3
π
2-2 π
-5
π
2-3 π
cos(0.8)
≈
0.7
-2
-1
0
1
2M"
M
cos(x)
sin(x) x
0 1
–
1
1
–
1

0 1
–
1
1
–
1
0 1
–
1
1
–
1
0 1
–
1
1
–
1
2. Les racines et les extrema
Les racines:
cos(x)=0 ñ sin(x)=0 ñ
Encadrement des images : pour tout nombre réel x :
–1 Â cos(x) Â 1 –1 Â sin(x) Â 1
Les extrema:
cos(x)= 1ñ sin(x)= 1ñ
cos(x)= –1ñ sin(x)= –1ñ
3. Les valeurs particulières
un carré de diagonale 1 a pour côté
2
2
un triangle équilatéral de côté 1 a pour hauteur
3
2
x 0
π
6
π
4
π
3
π
2
cos(x)
sin(x)
On obtient les valeurs dans les autres quadrants par symétrie d'axe des abscisses ou des ordonnées.
Exemples :
III. Propriétés des fonctions trigonométriques
1. Périodicité
Pour tout nombre réel x,
cos(x+2π) = cos(x) sin(x+2π) = sin(x)
Conséquence: pour tout nombre entier relatif k,
cos(x+2kπ) = cos(x) conséquence: sin(x+2kπ) = sin(x)
2. Symétries
Pour tout nombre réel x
cos(–x) = cos( ) sin(–x) = sin( )
La fonction cos est paire La fonction sin est impaire
3. Lien entre sinus et cosinus
Pour tout réel x, on a :
cos²(x)+sin²(x)=1
0 1
–
1
1
–
1
y
o
-1 -0.5 0.5
1
-1
-0.5
0.5
1