[ La trigonométrie \ Table des matières I Le cercle trigonométrique 1 Associer un point à un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Valeurs particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 II Angles orientés 1 Mesures des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Conversion degré-radians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 III Cosinus et sinus d’un réel 1 Définition . . . . . . . . . 2 Les premières propriétés . 3 Les valeurs particulières . 4 Angles associés . . . . . . 5 Formules . . . . . . . . . . 3 3 4 4 5 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Équations trigonométriques V Fonctions trigonométriques 1 Représentations graphiques . . . . a) Fonction cosinus . . . . . . b) Fonction sinus . . . . . . . . c) Fonctions cosinus et sinus . 2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 7 7 7 La trigonométrie I Le cercle trigonométrique 1 Associer un point à un réel Définition Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1, centré sur l’origine et parcouru dans le sens positif (c’est à dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre). Pour tout réel x repéré sur la droite ∆, tangente au cercle en I, on associe un point M sur le cercle trigonométrique que l’on obtient par « enroulement de la droite» sur le cercle. On dit que le point M est l’image du réel x. J x M 0 I ∆ Exemples Le périmètre du cercle trigonométrique étant égal à 2π, • le point correspondant à π est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique, un demi-cercle à partir de I. π • le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique, 2 la moitié d’un demi-cercle à partir de I. π • le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique, 3 le tiers d’un demi-cercle à partir de I. π • le point correspondant à − est obtenu en parcourant, dans le sens inverse du sens 4 trigonométrique le quart d’un demi-cercle à partir de I. Cours http://mathparadise.pagesperso-orange.fr Page 1/7 La trigonométrie 2 Valeurs particulières 3π 4 π 2 2π 3 π 3 π 4 5π 6 π 6 0 π − − 5π 6 − 3π 4 − 2π 3 π − 2 − π 3 − π 6 π 4 II Angles orientés 1 Mesures des angles orientés Définition Si M est le point image du réel x sur le cercle trigonométrique de centre O alors le réel x est une ³− → −−→´ mesure en radian de l’angle orienté OI ; OM , les autres mesures sont de la forme α = x + 2kπ (k ∈ Z). J M α 0 I 2 Conversion degré-radians Propriété Mesures en degré 0° Mesures en radians 0 Cours 30° π 6 45° π 4 60° π 3 90° π 2 http://mathparadise.pagesperso-orange.fr 120° 2π 3 180° π Page 2/7 La trigonométrie Définition ³→ → − → − − → −´ Deux vecteurs non nuls u et v détermine un angle orienté noté u ; v . ³→ − → −´ Sur un cercle trigonométrique, on définit une mesure x en radians de l’angle angle orienté u ; v . → − v x − → u Définition ¤ ¤ La mesure principale d’un angle orienté est la seule de ses mesures qui se trouve dans − π π . III Cosinus et sinus d’un réel 1 Définition Définition Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct, si M est le point du cercle trigonométrique image du réel x alors : ◦ l’abscisse de M est appelée cosinus de x, elle est notée cos(x) ; ◦ l’ordonnée de M est appelée sinus de x, elle est notée sin(x). J sin(x) M x 0 Cours cos(x) I http://mathparadise.pagesperso-orange.fr Page 3/7 La trigonométrie 2 Les premières propriétés Propriété Pour tout réel x, on a : −1 É cos(x) É 1 cos2 (x) + sin2 (x) = 1 − 1 É sin(x) É 1 Pour tout entier relatif k, on a : cos(x + 2kπ) = cos(x) sin(x + 2kπ) = sin(x) 3 Les valeurs particulières Propriété Mesures en degré 0° Mesures en radians 0 cosinus 1 sinus 0 3π 4 30° π 6 p 3 2 1 2 2π 3 5π 6 45° π 4 p 2 2 p 2 2 60° π 3 1 2 p 3 2 π 2 π 3 p 3 p2 2 2 180° 0 −1 1 0 π π 4 π 6 1 2 0 π p p 1 − 23 − 22 − 2 p p 3 2 2 2 1 2 − 12 5π − 6 − 3π 4 − Cours 90° π 2 2π 3 − p − 22 p − 23 π − 2 − π 3 http://mathparadise.pagesperso-orange.fr − π 6 π 4 Page 4/7 La trigonométrie 4 Angles associés π 2 +x π 2 −x cos(x) π−x cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) − cos(x) cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) x sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¡ ¢ cos π2 + x = − sin(x) ¢ ¡π sin 2 + x = cos(x) ¢ ¡ cos π2 − x = sin(x) ¡ ¢ sin π2 − x = cos(x) cos(x) − sin(x) sin(x) − sin(x) −x y = x π+x 5 Formules Propriété a et b sont deux réels quelconques. Formules d’addition cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b) Formules de duplication cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a) sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) IV Équations trigonométriques a cos(a) cos(x) = cos(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ (k ∈ Z) −a Cours http://mathparadise.pagesperso-orange.fr Page 5/7 La trigonométrie a sin(a) π−a sin(x) = sin(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ (k ∈ Z) V Fonctions trigonométriques Définition On appelle fonction cosinus la fonction définie sur R par x 7→ cos(x). On appelle fonction sinus la fonction définie sur R par x 7→ sin(x). Propriété Pour tout réel x, on a : cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x). On dit que les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période 2π. Pour tout réel x, on a : cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = − sin(x). On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. 1 Représentations graphiques a) Fonction cosinus 1 −2π → − u π −π 2π −1 Propriété La courbe représentative de la fonction cosinus s’appelle une sinusoïde. → − Elle est globalement invariante par la translation de vecteur u (2π ; 0). Cours http://mathparadise.pagesperso-orange.fr Page 6/7 La trigonométrie b) Fonction sinus → − u 1 π −π −2π 2π −1 Propriété La courbe représentative de la fonction sinus s’appelle une sinusoïde. → − Elle est globalement invariante par la translation de vecteur u (2π ; 0). c) Fonctions cosinus et sinus 1 −2π → − v π −π 2π −1 Propriété On passe d’une courbe de la fonction cosinus à la courbe de la fonction cosinus par la translation de → − ³π ´ vecteur v ;0 . 2 2 Dérivation Propriété – – – – La fonction cosinus est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction −sinus. La fonction sinus est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction cosinus. La fonction x 7→ cos(a x + b) est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction x 7→ −a sin(a x + b). La fonction x 7→ sin(a x + b) est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction x 7→ a cos(a x + b). Cours http://mathparadise.pagesperso-orange.fr Page 7/7