cours complet sur la trigonométrie

[La trigonométrie \
Table des matières
I Le cercle trigonométrique 1
1 Associer un point à un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Valeurs particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Angles orientés 2
1 Mesures des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Conversion degré-radians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
III Cosinus et sinus d’un réel 3
1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Les premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Les valeurs particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Équations trigonométriques 5
V Fonctions trigonométriques 6
1 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
a) Fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
b) Fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
c) Fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

La trigonométrie
I Le cercle trigonométrique
1 Associer un point à un réel
Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1, centré sur
l’origine et parcouru dans le sens positif (c’est à dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre).
Pour tout réel xrepéré sur la droite ∆, tangente au cercle en I, on associe un point M sur le cercle
trigonométrique que l’on obtient par « enroulement de la droite» sur le cercle. On dit que le point M
est l’image du réel x.
Définition
M
x
0I
J
∆
Exemples
Le périmètre du cercle trigonométrique étant égal à 2π,
•le point correspondant à πest obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique,
un demi-cercle à partir de I.
•le point correspondant à π
2est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique,
la moitié d’un demi-cercle à partir de I.
•le point correspondant à π
3est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique,
le tiers d’un demi-cercle à partir de I.
•le point correspondant à −
π
4est obtenu en parcourant, dans le sens inverse du sens
trigonométrique le quart d’un demi-cercle à partir de I.
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La trigonométrie
2 Valeurs particulières
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
−
π
6
−
π
4
−
π
3
π
−
π
2
−3π
4
−2π
3
−5π
6
II Angles orientés
1 Mesures des angles orientés
Si M est le point image du réel xsur le cercle trigonométrique de centre O alors le réel xest une
mesure en radian de l’angle orienté ³−→
OI; −−→ OM´, les autres mesures sont de la forme α=x+2kπ(k∈Z).
Définition
M
α
0I
J
2 Conversion degré-radians
Mesures en degré 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180°
Mesures en radians 0 π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3π
Propriété
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La trigonométrie
Deux vecteurs non nuls −→ uet −→ vdétermine un angle orienté noté ³−→
u;−→ v´.
Sur un cercle trigonométrique, on définit une mesure xen radians de l’angle angle orienté ³−→
u;−→ v´.
Définition
x
−→
u
−→
v
La mesure principale d’un angle orienté est la seule de ses mesures qui se trouve dans ¤−π π¤.
Définition
III Cosinus et sinus d’un réel
1 Définition
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct, si M est le point du cercle trigonométrique
image du réel xalors :
◦l’abscisse de M est appelée cosinus de x, elle est notée cos(x) ;
◦l’ordonnée de M est appelée sinus de x, elle est notée sin(x).
Définition
M
x
0I
J
cos(x)
sin(x)
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La trigonométrie
2 Les premières propriétés
Pour tout réel x, on a :
−1Écos(x)É1−1Ésin(x)É1 cos2(x)+sin2(x)=1
Pour tout entier relatif k, on a :
cos(x+2kπ)=cos(x) sin(x+2kπ)=sin(x)
Propriété
3 Les valeurs particulières
Mesures en degré 0° 30° 45° 60° 90° 180°
Mesures en radians 0 π
6
π
4
π
3
π
2π
cosinus 1 p3
2
p2
2
1
20−1
sinus 0 1
2
p2
2
p3
21 0
Propriété
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
−
π
6
−
π
4
−
π
3
π
−
π
2
−3π
4
−2π
3
−5π
6
1
2p2
2
p3
2
1
2
p2
2
p3
2
−1
2
−p2
2
−p3
2
−1
2
−p2
2
−p3
2
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