HLMA103 - BIOMATHS - 2014-2015 TRIGONOMÉTRIE - ANNEXE 1. Rappels de cours On se place dans un repère orthonormé (O, I, J) et on considère le cercle de centre O et de −→ −−→ rayon 1. Soit x ∈ R un angle exprimé en radians. Le point P du cercle tel que (OI, OP ) = x est de coordonnées (cos(x), sin(x)). A l’aide du théorème de Thalès, on peut également visualiser sin(x) sa tangente tan(x) = cos(x) sur la droite paramétrée par l’abscisse 1. J π 2 P tan(x) sin(x) π −π 0 x O cos(x) I On remarque que : π ∀x ∈ 0, , cos(x) ≥ 0, sin(x) ≥ 0, 2 π ∀x ∈ , π , cos(x) ≤ 0, sin(x) ≥ 0, 2 π ∀x ∈ −π, − , cos(x) ≤ 0, sin(x) ≤ 0, 2 π ∀x ∈ − , 0 , cos(x) ≥ 0, sin(x) ≤ 0. 2 − π2 Pour la tangente, le signe se déduit alors du quotient. D’après le théorème de Pythagore, on a la : Proposition 1 (i) Pour tout x ∈ R, cos2 (x) + sin2 (x) = 1. (ii) Pour tout x ∈ R \ k π2 ; k ∈ Z , 1 + tan2 (x) = 1 . cos2 (x) Par ailleurs, les symétries du cercle donne la : Proposition 2 π 2 Pour tout x ∈ R, on a : cos(−x) = cos(x), cos(π − x) = − cos(x), cos(π + x) = − cos(x), π cos − x = sin(x), 2 π cos + x = − sin(x), 2 sin(−x) = − sin(x), sin(π − x) = sin(x), sin(π + x) = − sin(x), π sin − x = cos(x), 2 π sin + x = cos(x). 2 π 2 +x π−x π −π π+x − π2 − x π 2 −x x 0 −x − π2 + x − π2 Il convient de savoir retrouver ces formules à l’aide du cercle trigonométrique comme ci-dessus. Pour la tangente, on en déduit des formules similaires par quotient. Elsa Ibanez 1 Trigonométrie En général, il n’est pas facile de calculer les valeurs exactes des fonctions cosinus, sinus et tangente. Des considérations géométriques nous permettent de connaître ces valeurs pour les angles remarquables 0, π6 , π4 , π3 , et π2 . π 2 Proposition 3 cos(0) = 1, sin(0) = 0, √ π 3 = cos , 6 2 √ 2 π cos = , 4 2 1 π = , cos 3 2 π cos = 0, 2 1 π = , 6 2 √ 2 π = sin , 4 2 √ π 3 = sin , 3 2 π sin = 1. 2 5π 6 sin 1 2π 3π 3 4 √ π 3 3 2 √ 2 2 π 4 1 2 √ π − −π −1 − 12 3 2 √ 1 2 √ − 22 √ 2 2 − 12 − 5π 6 − 3π 4 2π −3 2 2 −1 0 1 −π π 4 −3 √ − 3 2 − π6 √ − π 6 3 2 − π2 Pour la tangente, les valeurs correspondantes sont obtenues par quotient. Afin d’obtenir des valeurs exactes sur d’autres angles, on utilise les valeurs de référence cidessus et les formules de trigonométrie. Les plus courantes sont données dans la proposition 2 et la : Proposition 4 Pour tout a, b ∈ R, on a : cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b), sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b), cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b), sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b). De nombreuses autres identités connues (duplication, linéarisation, produits) se déduisent de celles-ci. Elles ne seront pas explicitées. 2. Exercices d’entrainement Exercice 1. Résoudre les équations sur ]−π, π] : √ √ 3 2 , 2 cos(x) = 1, sin (π + x) = , tan(x) = 1. cos(x) = 0, sin(x) = − 2 2 Pour chaque équation, placer la ou les solution(s) sur le cercle trigonométrique. Solution. π π , x∈ − , 2 2 2π π x ∈ − ,− , 3 3 π π x∈ − , , 3 3 3π π x ∈ − ,− , 4 4 Exercice 2. Résoudre les équations sur [0, 2π[ : √ π π 3 π cos x + = 0, sin x − = , 2 cos x + = 1, 3 6 2 4 3π π x∈ − , . 4 4 √ π 2 sin − 2x = . 4 2 Pour chaque équation, placer la ou les solution(s) sur le cercle trigonométrique. Solution. x∈ π 7π , , 6 6 x∈ π 5π , , 2 6 x∈ π 5π , , 12 12 π 3π x ∈ 0, , π, . 2 2 Exercice 3. Donner l’allure des graphes des fonctions cosinus, sinus et tangente sur [−2π, 2π]. On fera apparaître les angles remarquables. Elsa Ibanez 2 Trigonométrie Solution. cos(x) πππ 643 π 2 πππ 643 π 2 x sin(x) x tan(x) x πππ 643 Exercice 4. Résoudre les inéquations sur [−π, π] : √ 3 cos(x) ≤ , 2 sin(x) − 1 ≤ 0, 2 cos2 (x) ≥ 1. 2 Solution. π 2π π π 3π π π 3π x ∈ −π, ∪ , π , x ∈ −π, − ∪ ,π , x ∈ − ,− ∪ , . 3 3 3 3 4 4 4 4 π Exercice 5. Placer l’angle 12 sur le cercle trigonométrique. A l’aide des valeurs de référence et des formules de trigonométrie, calculer la valeur exacte de : π π π cos , sin , tan . 12 12 12 Solution. π π π = − , 12 3 4 Elsa Ibanez π cos 12 √ = 2(1 + 4 √ 3) π sin 12 , 3 √ √ 2( 3 − 1) = , 4 π tan 12 √ ( 3 − 1) = √ . ( 3 + 1) Trigonométrie