1. Rappels de cours On se place dans un repère orthonormé (O,I,J

HLMA103 - BIOMATHS - 2014-2015
TRIGONOMÉTRIE - ANNEXE
1. Rappels de cours
On se place dans un repère orthonormé (O, I, J)et on considère le cercle de centre Oet de
rayon 1. Soit x∈Run angle exprimé en radians. Le point Pdu cercle tel que (−→ OI, −−→ OP ) = xest
de coordonnées (cos(x),sin(x)). A l’aide du théorème de Thalès, on peut également visualiser
sa tangente tan(x) = sin(x)
cos(x)sur la droite paramétrée par l’abscisse 1.
π
−π
0
−π
2
π
2
O I
J
cos(x)
P
sin(x)
tan(x)
x
On remarque que :
∀x∈0,π
2,cos(x)≥0,sin(x)≥0,
∀x∈π
2, π,cos(x)≤0,sin(x)≥0,
∀x∈−π, −π
2,cos(x)≤0,sin(x)≤0,
∀x∈−π
2,0,cos(x)≥0,sin(x)≤0.
Pour la tangente, le signe se déduit alors du quotient.
D’après le théorème de Pythagore, on a la :
Proposition 1
(i) Pour tout x∈R,cos2(x) + sin2(x)=1.
(ii) Pour tout x∈R\kπ
2;k∈Z,1 + tan2(x) = 1
cos2(x).
Par ailleurs, les symétries du cercle donne la :
Proposition 2
Pour tout x∈R, on a :
cos(−x) = cos(x),sin(−x) = −sin(x),
cos(π−x) = −cos(x),sin(π−x) = sin(x),
cos(π+x) = −cos(x),sin(π+x) = −sin(x),
cos π
2−x= sin(x),sin π 2−x= cos(x),
cos π
2+x=−sin(x),sin π 2+x= cos(x).
π
−π
0
−π
2
π
2
x
−x
π
2−x
−π
2+x
π−x
π+x
π
2+x
−π
2−x
Il convient de savoir retrouver ces formules à l’aide du cercle trigonométrique comme ci-dessus.
Pour la tangente, on en déduit des formules similaires par quotient.
Elsa Ibanez 1Trigonométrie

En général, il n’est pas facile de calculer les valeurs exactes des fonctions cosinus, sinus et
tangente. Des considérations géométriques nous permettent de connaître ces valeurs pour les
angles remarquables 0,π
6,π 4,π 3, et π 2.
Proposition 3
cos(0) = 1,sin(0) = 0,
cos π
6=√3 2,sin π 6=1 2,
cos π
4=√2 2,sin π 4=√2 2,
cos π
3=1 2,sin π 3=√3 2,
cos π
2= 0,sin π 2= 1.
π
−π
0
−π
2
π
2
π
6
−π
6
π
4
−π
4
π
3
−π
3
2π
3
−2π
3
3π
4
−3π
4
5π
6
−5π
6
1
1
−1
−1
√3
2
√3
2
−
√3
2
−
√3
2
√2
2
√2
2
−
√2
2
−
√2
2
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
Pour la tangente, les valeurs correspondantes sont obtenues par quotient.
Afin d’obtenir des valeurs exactes sur d’autres angles, on utilise les valeurs de référence ci-
dessus et les formules de trigonométrie. Les plus courantes sont données dans la proposition 2
et la :
Proposition 4
Pour tout a, b ∈R, on a :
cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b),sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b),
cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b),sin(a−b) = sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b).
De nombreuses autres identités connues (duplication, linéarisation, produits) se déduisent de
celles-ci. Elles ne seront pas explicitées.
2. Exercices d’entrainement
Exercice 1. Résoudre les équations sur ]−π, π]:
cos(x)=0,sin(x) = −√3
2,2 cos(x)=1,sin (π+x) = √2 2,tan(x)=1.
Pour chaque équation, placer la ou les solution(s) sur le cercle trigonométrique.
Solution.
x∈−π
2,π 2, x ∈−2π 3,−π 3, x ∈−π 3,π 3, x ∈−3π 4,−π 4, x ∈−3π 4,π 4.
Exercice 2. Résoudre les équations sur [0,2π[:
cos x+π
3= 0,sin x−π 6=√3 2,2 cos x+π 4= 1,sin π 4−2x=√2 2.
Pour chaque équation, placer la ou les solution(s) sur le cercle trigonométrique.
Solution.
x∈π
6,7π 6, x ∈π 2,5π 6, x ∈π 12,5π 12 , x ∈0,π 2, π, 3π 2.
Exercice 3. Donner l’allure des graphes des fonctions cosinus, sinus et tangente sur [−2π, 2π].
On fera apparaître les angles remarquables.
Elsa Ibanez 2Trigonométrie

Solution.
x
cos(x)
π
6
π
4
π
3
π
2
x
sin(x)
π
6
π
4
π
3
π
2
x
tan(x)
π
6
π
4
π
3
Exercice 4. Résoudre les inéquations sur [−π, π]:
cos(x)≤√3
2,2 sin(x)−1≤0,2 cos2(x)≥1.
Solution.
x∈−π, π
3∪2π 3, π, x ∈−π, −π 3∪π 3, π, x ∈−3π 4,−π 4∪π 4,3π 4.
Exercice 5. Placer l’angle π
12 sur le cercle trigonométrique. A l’aide des valeurs de référence et
des formules de trigonométrie, calculer la valeur exacte de :
cos π
12,sin π 12,tan π 12.
Solution.
π
12 =π 3−π 4,cos π 12=√2(1 + √3) 4,sin π 12=√2(√3−1) 4,tan π 12=(√3−1)
(√3 + 1).
Elsa Ibanez 3Trigonométrie