ent integration2

[email protected] , le 09/04/2013
Chapitre XIII - Primitives
Rappels et compléments
Linéarité
Rappels et compléments

Si f et g sont définies, continues et positives sur I,
alors quels que soient a et b de I et quels que
soient A et B réels, on a
Définition :
On complète la définition précédente en
incluant TOUTES les fonctions continues, et
plus seulement les fonctions positives :
Soit f une fonction continue sur un intervalle
I, a et b deux réels de I et F une primitive de f
sur I. (on n'a pas nécessairement a≤b)
L'intégrale de f sur entre a et b est
b
b
la différence F(b)-F(a), notée F x a 
f t dt
  
Propriétés

a
En résumé :
 
a

a
Pour tout aI, si f continue sur I,
f ( x)dx  0
a
Relation de Chasles
S i f est continue sur un intervalle I alors pour
tout a,b,c de I, on a

b
a
c
c
b
a
a

b
a
b
a
a
f ( x)dx  0
b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
Fonction définie par une intégrale

Théorème
Soit f une fonction continue et positive sur un
intervalle [a ; b].
La fonction F définie sur [a ; b] par
est dérivable sur [a ; b]
x
et sa dérivée est la fonction f. F x 
f x dx
a
F est donc une primitive de f
    
on en déduit


b
a
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b
b
Af ( x)  Bg ( x)dx  A f ( x)dx  B  g ( x)dx
Positivité et ordre
Si f et g sont définies, continues et positives sur
I, avec g(x)≤f(x) sur I
alors quels que soient a > b de I,
Presque toutes les propriétés précédentes liées
aux intégrales de fonctions positives sont
conservées.

b
a
f ( x)dx    f ( x)dx
b
En contrepartie

Si f n'est pas positive, l'intégrale de f ne
représente pas nécessairement une aire.
1
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Chapitre XIII - Primitives
Définition
On appelle primitive de f sur I, une fonction F
dérivable sur I telle que F' = f sur I.
Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle I
admet des primitives
Preuve (sur I=[a,b] uniquement)
Primitives
Et
la primitive cherchée FO est définie par
FO(x)=F(x)-F(x0)+y0. (voir méthodes)
Primitives des fonctions usuelles
La lecture inverse du tableau des dérivées
donne les résultats ci-dessous :
Nous avons démontré cela pour les fonctions
positives. Si f est négative avec un minimum
m sur I, g=f+m est positive et on applique
donc le théorème précédent.
Propriétés
Soit f est une fonction continue sur un
intervalle I et F est une primitive de f sur I
alors toutes les primitives de f sur I sont de la
forme Fk(x) = F(x)+K
ET il existe UNE unique primitive FO prenant la
valeur y0 en x0 pour tout x0 de I et y0 réel
preuve
Soit F est une primitive de f, et Fk(x)=F(x)+K,
K réel, alors F'k(x) = F'(x)+0=f(x), et donc
Fk(x) est une primitive de f.
Réciproquement
Soit G une autre primitive de f sur I.
Alors H(x)=G(x)-F(x) a pour dérivée
H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0
Donc H est constante sur I, soit H(x)=K réel et
G(x)=F(x)+K=Fk(x)
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Chapitre XIII - Primitives
Pour rechercher des primitives on emploie les
méthodes suivantes :
Linéarité
Recherche des primitives
Exemples et méthodes

Déterminer
Si F et G sont des primitives de f et de g, alors
aF+bG est une primitive de af+bg
Formes remarquables

En s'entraînant à repérer les formes
remarquables suivantes on détermine la
plupart des primitives demandées :
Exponentielle
Si u est dérivable sur I, alors une primitive de
f(x)=u'(x)eu(x) est la fonction F(x)=eu(x)
Puissance
Si u est dérivable sur I, et n entier différent de
-1, alors une primitive de f(x)=u'(x)u(x)n est la
fonction (si n<0, il faudra u>0 ou u<0)
F x  
1
n 1
u x 
n 1
Logarithme
Si u est dérivable et strictement positive sur I,
alors une primitive de f(x)= u'(x)/u(x)
est la fonction F(x) = ln(u(x))
Racine carrée
Si u est dérivable et strictement positive sur I,
alors une primitive de f(x)= u'(x)/u(x)
est la fonction F(x) = 2u(x)
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Chapitre XIII - Primitives
Valeur moyenne

On appelle valeur moyenne d'une fonction
continue sur I=[a;b] le réel m tel que
1 b
m
f (t )dt  0
b  a a
Interprétation graphique :
L'aire du rectangle de base
[a,b] et de hauteur m
est égale à l'aire sous
la courbe (si f>0)
Autres applications
Exemples

valeur moyenne de la fonction f définie par
f (x)  3x 2  4x  5
sur l'intervalle [0 ; 10].
m
10
1
3 x 2  4 x  5  dx


0
10  0
10
1 3
 x  2 x 2  5 x 
0
10
1
 1000  200  50 
10
 85
Calcul d'intégrales

Calcul d'aire

Si f et g sont deux fonctions continues sur
I=[a;b] de primitives F et G, telles que
f(x)≥g(x), alors
L'aire comprise entre Cf et Cg, x=a et x=b
vaut
b












f
t

g
t
dt

F
x

G
x
a
a
b
4