Comportement asymptotique des suites

Comportement asymptotique des suites
Table des matières
1 Introduction
2
2 Limite d’une suite
2.1 Limite finie d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Limite infinie d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Suite sans limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
4
3 Opérations sur les
3.1 Somme . . . . .
3.2 Produit . . . .
3.3 Quotient . . . .
3.3.1 l′ 6= 0 .
3.3.2 l′ = 0 .
3.4 Conclusion . .
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4
4
5
5
5
5
5
4 Limites par comparaison
4.0.1 Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.0.2 Théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
5 Variations et limites
6
limites
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Lycée JB de BAUDRE à AGEN
1
Académie de Bordeaux
Introduction
En première, on rencontre diverses suites qui peuvent se présenter sous diverses formes.On retiendra particulièrement :
1. les suites récurrentes qui à partir d’une donnée initiale, permettent la construction termes à termes de la
suite.Elles sont de la forme un+1 = f (un ) où f est une fonction.
La suite (un ) définie par :
un+1 = 1, 05un − 500
u0 = 20000
est un exemple de suite récurrente.
2. les suites explicites où le terme général un de la suite s’exprime en fonction de n.Elles sont de la forme
un = f (n) où f est une fonction.
Les suites suivantes sont des exemples de suites explicites :
n2
4n2 + 1
3. les suites hybrides, dont le terme général un dépend à la fois du terme précédent un−1 et du rang n. Par
exemple, la suite (tn ) définie par tn+1 = 2tn − n + 3 avec t0 = 2.
un = 6 × 0, 7n ,vn = 3n2 − 2n + 5 et wn =
L’objectif de ce cours est de définir puis déterminer le comportement de ces suites lorsque n devient grand. On
adoptera ainsi la notation :
lim un
n→+∞
Exercice 1
1. Déterminer les premiers termes de chaque suite ci-dessus et conjecturer leur limite
2. Construire les représentations graphiques de ces suites et retrouvez les conjectures émises précédemment.
2
Limite d’une suite
On considère une suite (un ) définie sur N.
2.1
Limite finie d’une suite
Définition 1 Une suite (un ) admet une limite finie l(l ∈ R) quand n tend vers +∞ lorsque à partir
d’un certain rang N , tout les termes de la suite sont contenus dans un intervalle ouvert centré en l.
Dans ce cas, on écrit :
lim un = l
n→+∞
et on dit que la suite (Un ) converge vers l.
On peut définir la convergence de cette manière.
Quelque soit l’intervalle ouvert I centré en l,il existe une valeur particulière de n, appelée N tel que pour tout
n > N ,un ∈ I.
Exercice 2 Démontrer que si une suite Un converge vers l alors l est unique.
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Interprétation graphique
un
b
b
l
b
b
b
b
b
b
b
b
b
N
n
1
Proposition 1 Les suites de la forme un = α où α > 0 sont des suites de références qui convergent
n
vers 0.
Des exemples de suites convergentes :
– un = 20 × 0.6n converge vers 0.
1
– un = 8 + converge vers 8.
n
1
– un = ln(2 + ) converge vers ln(2).
n
1 + 2n2 − 10n3
– un =
converge vers −2.
17n2 + 5n3
Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
2.2
Limite infinie d’une suite
Définition 2 Une suite (un ) admet pour limite +∞ quand n tend vers +∞ lorsque à partir d’un
certain rang N , tout les termes de la suite sont contenus dans un intervalle de la forme ]A; +∞[ où
A > 0.
Dans ce cas, on écrit :
lim un = +∞
n→+∞
et on dit que la suite (Un ) diverge vers +∞.
Autrement dit, pour n’importe quelle valeur A positive,il existe un rang N à partir duquel nous avons un > A dès
que n > N .
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b
b
un
b
b
b
A
b
b
b
b
b
b
N
n
De la même façon, nous pourrions définir :
lim un = −∞
n→+∞
en précisant qu’à partir d’un certain rang N tous les un se trouvent dans un intervalle de la forme ] − ∞; B[ où
B < 0.
Proposition 2 Les suites de la forme un = nα où α > 0 sont des suites de références qui divergent
vers +∞.
2.3
Suite sans limite
Il existe des suites qui n’admettent ni limite finie ni limite infinie. C’est le cas des suites ci-après :
– un = (−1)n
– un = 2cos(3n)
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3
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Opérations sur les limites
On considère deux suites (un ) et (vn ) définies sur N. l et l′ sont deux réels.
3.1
Somme
On admet les résultats suivants :
Si lim un = ...
l
l
l
+∞
+∞
−∞
l′
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
n→+∞
et lim vn = ...
n→+∞
alors lim (un + vn ) = ...
n→+∞
3.2
Produit
On admet les résultats suivants :
Si lim un = ...
l
l>0
l>0
l<0
l<0
+∞
+∞
−∞
0
l′
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞ ou −∞
n→+∞
et lim vn = ...
n→+∞
alors lim (un × vn ) = ...
n→+∞
3.3
Quotient
On doit évoquer deux cas selon la convergence de vn vers 0 ou non.
3.3.1
l′ 6= 0
Si lim un = ...
l
l
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞ ou −∞
l′
±∞
l′ > 0
l′ < 0
l′ > 0
l′ < 0
+∞ ou −∞
n→+∞
et lim vn = ...
n→+∞
alors lim
n→+∞
3.3.2
un
= ...
vn
l′ = 0
L’écriture 0+ (resp. 0− ) signifie que les valeurs de vn tendent vers 0 en restant positives (resp. négatives).
Si lim un = ...
l > 0 ou +∞
l < 0 ou −∞
l > 0 ou +∞
l < 0 ou −∞
0
0+
0+
0−
0−
0
n→+∞
et lim vn = ...
n→+∞
alors lim
n→+∞
un
= ...
vn
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3.4
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Conclusion
Ces résultats permettent de nombreux calculs sur les limites de suites.
Dans le cas de forme indéterminée, deux options s’offrent à nous :
– le changement de formes comme le passage de la somme au produit par exemple ;
– l’utilisation de théorèmes qui permettent la levée de la forme indéterminée. On retiendra particulièrement
les théorèmes sur les croissance comparées.
4
Limites par comparaison
4.0.1
Théorème de comparaison
Proposition 3 Si (un ) et (vn ) sont deux suites définies sur N telles que :
1. à partir d’un certain rang, un ≥ vn
2.
lim vn = +∞
n→+∞
alors lim un = +∞
n→+∞
Deux exercices qui reposent sur le résultat précédent :
Exercice 3
1. Déterminer par récurrence l’inégalité de Bernoulli :(1 + a)n ≥ 1 + an où a > 0
2. En déduire la limite d’une suite géométrique de raison q > 1. On pourra discuter selon le signe du premier
terme.
Exercice 4
1. Démontrer par récurrence que : ∀n, en > n
2. En déduire lim en
n→+∞
4.0.2
Théorème des gendarmes
Théorème 1 Si (un ), (vn ) et (wn ) sont trois suites définies sur N telles que :
1. à partir d’un certain rang, vn ≤ un ≤ wn
2.
lim vn = lim wn = l
n→+∞
n→+∞
alors lim un = l
n→+∞
5
Variations et limites
Définition 3 Une suite (un ) est dite majorée (resp. minorée) s’il existe un réel M (resp. m) tel que
quelques soit l’entier n, un < M (resp.m < Un )
Une suite minorée et majorée est dite bornée.
Exercice 5 Démontrer par récurrence que la suite (un ) définie par
minorée par 0.
Théorème 2 Une suite croissante et majorée est convergente
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un+1 =
u0 = 0
√
un + 5
est majorée par 3 et
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Le même théorème s’applique aux suites décroissantes minorées.Ce théorème permet de démontrer la convergence
d’un suite mais ne donne pas explicitement le limite de la suite.
Exercice 6 Démontrer les résultats suivants :
– Si une suite est croissante et admet pour limite l, alors tous les termes de la suite sont inférieurs à l.
– Une suite croissante non majorée admet pour limite +∞.
– Si une suite est majorée par M et converge vers un réel l alors l ≤ M
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