Comportement asymptotique des suites

Comportement asymptotique des suites
Table des mati`eres
1 Introduction 2
2 Limite d’une suite 2
2.1 Limite finie d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Limite infinie d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Suite sans limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Op´erations sur les limites 4
3.1 Somme.................................................... 4
3.2 Produit ................................................... 5
3.3 Quotient................................................... 5
3.3.1 l′6=0 ................................................ 5
3.3.2 l′=0 ................................................ 5
3.4 Conclusion ................................................. 5
4 Limites par comparaison 6
4.0.1 Th´eor`eme de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.0.2 Th´eor`eme des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Variations et limites 6
1

Lyc´ee JB de BAUDRE `a AGEN Acad´emie de Bordeaux
1 Introduction
En premi`ere, on rencontre diverses suites qui peuvent se pr´esenter sous diverses formes.On retiendra parti-
culi`erement :
1. les suites r´ecurrentes qui `a partir d’une donn´ee initiale, permettent la construction termes `a termes de la
suite.Elles sont de la forme un+1 =f(un) o`u fest une fonction.
La suite (un) d´efinie par :
un+1 = 1,05un−500
u0= 20000
est un exemple de suite r´ecurrente.
2. les suites explicites o`u le terme g´en´eral unde la suite s’exprime en fonction de n.Elles sont de la forme
un=f(n) o`u fest une fonction.
Les suites suivantes sont des exemples de suites explicites :
un= 6 ×0,7n,vn= 3n2−2n+ 5 et wn=n2
4n2+ 1
3. les suites hybrides, dont le terme g´en´eral und´epend `a la fois du terme pr´ec´edent un−1et du rang n. Par
exemple, la suite (tn) d´efinie par tn+1 = 2tn−n+ 3 avec t0= 2.
L’objectif de ce cours est de d´efinir puis d´eterminer le comportement de ces suites lorsque ndevient grand. On
adoptera ainsi la notation :
lim
n→+∞un
Exercice 1
1. D´eterminer les premiers termes de chaque suite ci-dessus et conjecturer leur limite
2. Construire les repr´esentations graphiques de ces suites et retrouvez les conjectures ´emises pr´ec´edemment.
2 Limite d’une suite
On consid`ere une suite (un) d´efinie sur N.
2.1 Limite finie d’une suite
D´efinition 1 Une suite (un)admet une limite finie l(l∈R) quand ntend vers +∞lorsque `a partir
d’un certain rang N, tout les termes de la suite sont contenus dans un intervalle ouvert centr´e en l.
Dans ce cas, on ´ecrit :
lim
n→+∞un=l
et on dit que la suite (Un)converge vers l.
On peut d´efinir la convergence de cette mani`ere.
Quelque soit l’intervalle ouvert Icentr´e en l,il existe une valeur particuli`ere de n, appel´ee Ntel que pour tout
n > N,un∈I.
Exercice 2 D´emontrer que si une suite Unconverge vers lalors lest unique.
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Interpr´etation graphique
l
Nn
un
Proposition 1 Les suites de la forme un=1
nαo`u α > 0sont des suites de r´ef´erences qui convergent
vers 0.
Des exemples de suites convergentes :
–un= 20 ×0.6nconverge vers 0.
–un= 8 + 1
nconverge vers 8.
–un=ln(2 + 1
n) converge vers ln(2).
–un=1 + 2n2−10n3
17n2+ 5n3converge vers −2.
Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
2.2 Limite infinie d’une suite
D´efinition 2 Une suite (un)admet pour limite +∞quand ntend vers +∞lorsque `a partir d’un
certain rang N, tout les termes de la suite sont contenus dans un intervalle de la forme ]A; +∞[o`u
A > 0.
Dans ce cas, on ´ecrit :
lim
n→+∞un= +∞
et on dit que la suite (Un)diverge vers +∞.
Autrement dit, pour n’importe quelle valeur Apositive,il existe un rang N`a partir duquel nous avons un> A d`es
que n > N .
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Nn
un
A
De la mˆeme fa¸con, nous pourrions d´efinir :
lim
n→+∞
un=−∞
en pr´ecisant qu’`a partir d’un certain rang Ntous les unse trouvent dans un intervalle de la forme ] − ∞;B[ o`u
B < 0.
Proposition 2 Les suites de la forme un=nαo`u α > 0sont des suites de r´ef´erences qui divergent
vers +∞.
2.3 Suite sans limite
Il existe des suites qui n’admettent ni limite finie ni limite infinie. C’est le cas des suites ci-apr`es :
–un= (−1)n
–un= 2cos(3n)
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3 Op´erations sur les limites
On consid`ere deux suites (un) et (vn) d´efinies sur N.let l′sont deux r´eels.
3.1 Somme
On admet les r´esultats suivants :
Si lim
n→+∞un=... l l l +∞+∞ −∞
et lim
n→+∞vn=... l′+∞ −∞ +∞ −∞ −∞
alors lim
n→+∞(un+vn) = ...
3.2 Produit
On admet les r´esultats suivants :
Si lim
n→+∞un=... l l > 0l > 0l < 0l < 0 +∞+∞ −∞ 0
et lim
n→+∞
vn=... l′+∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ou −∞
alors lim
n→+∞(un×vn) = ...
3.3 Quotient
On doit ´evoquer deux cas selon la convergence de vnvers 0 ou non.
3.3.1 l′6= 0
Si lim
n→+∞
un=... l l +∞+∞ −∞ −∞ +∞ou −∞
et lim
n→+∞vn=... l′±∞ l′>0l′<0l′>0l′<0 +∞ou −∞
alors lim
n→+∞
un
vn
=...
3.3.2 l′= 0
L’´ecriture 0+(resp. 0−) signifie que les valeurs de vntendent vers 0 en restant positives (resp. n´egatives).
Si lim
n→+∞
un=... l > 0 ou +∞l < 0 ou −∞ l > 0 ou +∞l < 0 ou −∞ 0
et lim
n→+∞vn=... 0+0+0−0−0
alors lim
n→+∞
un
vn
=...
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