Suites réelles - Anthony Mansuy

Suites r´eelles
Chapitre 3
1 G´en´eralit´es 2
1.1 D´efinitions....................... 2
1.2 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Suitesborn´ees..................... 3
2 Suites usuelles 4
2.1 Suites arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Suites g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Suites arithm´etico-g´eom´etriques . . . . . . . . . . . 7
2.4 Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2 . . . . . . . . 8
3 Convergence d’une suite r´eelle 10
3.1 Suites convergentes et divergentes . . . . . . . . . . 10
3.2 Op´erations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Limites et in´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Convergence des suites monotones et adjacentes . . 17
Introduction
Les suites num´eriques sont des objets tr`es utiles en analyse. Elles permettent par exemple d’obtenir des valeurs
approch´ees de divers objets, que ce soit les solutions d’une ´equation, des nombres irrationnels particuliers ou
des int´egrales. Dans ce chapitre, nous commen¸cons par introduire les notions de suites monotones et de suites
born´ees. On d´ecrit ensuite les diff´erentes suites usuelles `a connaitre (arithm´etiques, g´eom´etriques, arithm´etico-
g´eom´etriques et r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2). On donne la d´efinition d’une suite convergente et on d´ecrit les
diff´erentes op´erations possibles sur les limites. Enfin, nous terminons le chapitre avec le th´eor`eme des suites
monotones et le th´eor`eme des suites adjacentes qui permettent de prouver la convergence de certaines suites.
Anthony Mansuy - Professeur de Math´ematiques en sup´erieures ECE au Lyc´ee Clemenceau (Reims)
[email protected]

ECE1 Lyc´ee Clemenceau, Reims
1 G´en´eralit´es
1.1 D´efinitions
D´efinition.
Une suite r´eelle uest une application de Ndans R, c’est-`a-dire une fonction de Ndans Rtelle que tout
´el´ement n∈Nposs`ede une image u(n) par u:
u:N→R
n7→ u(n)
L’ensemble des suites r´eelles est not´e RN.
Notations.
1. Pour tout n∈N, le r´eel u(n) est appel´e le terme de rang nde la suite et on le notera un.
2. Une telle application usera aussi not´ee (un)n∈Nou simplement (un).
Remarques.
1. Dans certains cas, une suite peut ˆetre index´ee non pas `a partir de 0, mais `a partir d’un entier sup´erieur.
Par exemple, la suite donn´ee par un=1
nest d´efinie pour n≥1.
2. G´en´eralement, les suites seront d´efinies de l’une des deux fa¸cons suivantes:
•par une formule explicite, directement en fonction de n; par exemple,
∀n∈N, un=3n
2n+ 1
•par une formule de r´ecurrence, c’est-`a-dire une relation entre les termes cons´ecutifs de la suite et
la donn´ee d’un ou plusieurs premiers termes; par exemple,
u0= 1 et ∀n∈N, un+1 =1
2un+ 3
3. Comme pour les fonctions, on peut d´efinir diff´erentes op´erations sur les suites:
•une addition + de sorte que si u, v ∈RN, la suite ”somme” est d´efinie par:
∀n∈N,(u+v)n=un+vn
•un produit externe .de sorte que si u∈RNet λ∈R, la suite λ.u est d´efinie par:
∀n∈N,(λ.u)n=λ×un
•une multiplication ×de sorte que si u, v ∈RN, la suite ”produit” est d´efinie par:
∀n∈N,(u×v)n=un×vn
1.2 Suites monotones
D´efinition.
Soit (un)n∈Nune suite r´eelle. On dit que
•(un)n∈Nest croissante si ∀n∈N,un+1 ≥un,
•(un)n∈Nest d´ecroissante si ∀n∈N,un+1 ≤un,
•(un)n∈Nest monotone si elle est croissante ou d´ecroissante.
On parlera de suites strictement croissante,strictement d´ecroissante ou strictement monotone si
les in´egalit´es pr´ec´edentes sont strictes.
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IPour ´etudier le sens de variation d’une suite (un)n∈N, on utilisera g´en´eralement l’une des deux m´ethodes
suivantes:
(1) On ´etudie le signe de la diff´erence un+1 −unpour tout n∈N.
•Si un+1 −un≥0, alors un+1 ≥unet la suite est croissante.
•Si un+1 −un≤0, alors un+1 ≤unet la suite est d´ecroissante.
Exemple. ´ Etudier le sens de variation de la suite (un)n∈Nd´efinie par ∀n∈N, un=n
n+ 1.
(2) Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, on compare un+1
un
et 1.
•Si un+1
un≥1, alors un+1 ≥unet la suite est croissante.
•Si un+1
un≤1, alors un+1 ≤unet la suite est d´ecroissante.
Exemple. ´ Etudier le sens de variation de la suite (un)n∈Nd´efinie par ∀n∈N, un=2n
(n+ 1)!.
1.3 Suites born´ees
D´efinition.
Soit (un)n∈Nune suite r´eelle. On dit que:
•(un)n∈Nest major´ee s’il existe M∈Rtel que:
∀n∈N, un≤M
•(un)n∈Nest minor´ee s’il existe m∈Rtel que:
∀n∈N, un≥m
•(un)n∈Nest born´ee si et seulement si elle est `a la fois major´ee et minor´ee.
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Remarques.
1. Une suite croissante est minor´ee par son premier terme u0. En effet, pour tout entier naturel n,
u0≤u1≤u2≤. . . ≤un−1≤un≤un+1 ≤. . .
2. Une suite d´ecroissante est major´ee par son premier terme u0. En effet, pour tout entier naturel n,
u0≥u1≥u2≥. . . ≥un−1≥un≥un+1 ≥. . .
Exemple. Consid´erons la suite (un)n∈Nd´efinie par ∀n∈N, un=1
√n+ 1.
1. La suite (un)n∈Nest-elle croissante ou d´ecroissante?
2. Montrer que (un)n∈Nest born´ee.
2 Suites usuelles
2.1 Suites arithm´etiques
D´efinition.
Une suite arithm´etique est une suite (un)n∈Ntelle que pour tout n∈N,un+1 −unest ´egal `a une constante
r´eelle r, appel´ee raison de la suite arithm´etique.
En particulier, si (un)n∈Nest une suite arithm´etique de raison r, alors:
∀n∈N, un+1 =un+r.
Soit (un)n∈Nune suite arithm´etique de raison r. Alors:
∀n∈N, un=u0+nr.
Plus g´en´eralement, pour tout p∈N,
∀n≥p, un=up+ (n−p)r
Th´eor`eme 1 (Formule explicite d’une suite arithm´etique)
Remarque. En particulier, une suite arithm´etique (un)n∈Nest enti`erement d´etermin´ee par son premier terme
u0et sa raison r.
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Exemples.
1. Soit (un)n∈Nune suite arithm´etique de raison 2 et de premier terme u0=−1.
(a) Donner l’expression de unen fonction de n.
(b) Soit n∈N. Calculer
n
X
k=0
uk.
2. Soit (vn)n∈Nla suite d´efinie par:
v0= 1 et v1= 3
∀n∈N, vn+2 = 2vn+1 −vn
On d´efinit la suite (wn)n∈Npar: wn=vn+1 −vn.
(a) Calculer, pour tout entier naturel n,wn+1 −wn. Que peut-on en d´eduire sur la suite (wn)n∈N?
(b) En d´eduire que (vn)n∈Nest une suite arithm´etique et donner l’expression de vnen fonction de n
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