Analyse 2 - Département de mathématiques et de statistique

Analyse 2
Notes de cours
Andr´e Giroux
D´epartement de Math´ematiques et Statistique
Universit´e de Montr´eal
Avril 2004

Table des mati`eres
1 INTRODUCTION 4
1.1 Exercices 1 ............................ 6
2 INT´ EGRATION DES FONCTIONS CONTINUES 7
2.1 La continuit´e uniforme ...................... 7
2.2 D´efinition de l’int´egrale ..................... 8
2.3 Propri´et´es de l’int´egrale ..................... 12
2.4 Exercices 2 ............................ 15
3 TH´ EOR` EME FONDAMENTAL DU CALCUL 17
3.1 Le th´eor`eme fondamental du calcul ............... 17
3.2 Propri´et´es suppl´ementaires de l’int´egrale ............ 19
3.3 Exercices 3 ............................ 22
4 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE 24
4.1 Le logarithme ........................... 24
4.2 La fonction exponentielle .................... 27
4.3 Exposants irrationnels ...................... 29
4.4 Les fonctions hyperboliques ................... 30
4.5 Exercices 4 ............................ 32
5 FONCTIONS TRIGONOM´ ETRIQUES 36
5.1 D´efinition des fonctions trigonom´etriques ........... 36
5.2 Propri´et´es des fonctions trigonom´etriques ........... 39
5.3 Les fonctions trigonom´etriques inverses ............. 41
5.4 La notion d’angle ......................... 43
5.5 Exercices 5 ............................ 47
6 CALCUL DES PRIMITIVES 50
6.1 Primitives des fonctions analytiques usuelles .......... 50
6.2 Primitives des fonctions rationnelles .............. 53
6.3 Exercices 6 ............................ 55
7 INT´ EGRALES IMPROPRES 58
7.1 G´en´eralisation de l’int´egrale ................... 58
7.2 La fonction gamma ........................ 62
7.3 Exercices 7 ............................ 66
1

8 SUITES ET S´ ERIES DE FONCTIONS 69
8.1 La convergence uniforme ..................... 69
8.2 L’approximation des fonction continues ............ 74
8.3 Les s´eries enti`eres ......................... 76
8.4 Exercices 8 ............................ 81
9 S´ ERIES DE TAYLOR 84
9.1 D´eveloppements limit´es ..................... 84
9.1.1 Notations de Landau ................... 88
9.2 S´eries infinies ........................... 89
9.3 Exercices 9 ............................ 95
10 S´ ERIES DE FOURIER 97
10.1 La s´erie de Fourier ........................ 97
10.2 Th´eor`emes de convergence ....................101
10.3 L’approximation des fonctions continues p´eriodiques . . . . . 107
10.4 Exercices 10 ............................109
Table des figures
1 Sommes de Riemann ....................... 9
2 Sommes de Darboux ....................... 11
3 D´efinition du logarithme ..................... 24
4 Graphe du logarithme ...................... 26
5 Graphe de l’exponentielle .................... 28
6 Les fonctions hyperboliques ................... 31
7 L’arcsinus hyperbolique ..................... 32
8 Une fonction convexe ....................... 34
9 D´efinition de l’arccosinus ..................... 36
10 Le sinus et le cosinus ....................... 38
11 La tangente ............................ 39
12 L’arcsinus et l’arccosinus ..................... 42
13 L’arctangente ........................... 43
14 Angle entre deux droites ..................... 44
15 Le triangle rectangle ....................... 45
16 Angle et longueur d’arc ..................... 46
17 Une substitution ......................... 56
18 Comparaison de s´eries et d’int´egrales .............. 61
19 La fonction gamma ........................ 63
20 Quelques fonctions Qn(x).................... 74
2

21 Les conditions de Dirichlet .................... 98
22 Quelques fonctions Dn(x)....................104
23 Fonctions f2et S6(f2)......................106
24 Fonctions f3et S12(f3)......................107
25 Quelques fonctions Fn(x)....................109
3

1 INTRODUCTION
L’analyse math´ematique est l’´etude approfondie du calcul diff´erentiel et
int´egral. Ce cours porte sur le calcul int´egral. Il se divise en trois parties. La
premi`ere pr´esente la d´efinition et les propri´et´es de l’int´egrale d’une fonction
continue d’une variable r´eelle. La seconde utilise cet outil pour introduire
les fonctions analytiques ´el´ementaires (les fonctions logarithmique, exponen-
tielle, trigonom´etriques directes et inverses, eul´eriennes). La derni`ere, enfin,
porte sur la repr´esentation de ces fonctions par des s´eries de Taylor et des
s´eries de Fourier.
Il s’agit d’un cours de math´ematique formel, avec des d´emonstrations
rigoureuses et compl`etes de tous les th´eor`emes pr´esent´es. Les exercices pro-
pos´es sont de mˆeme nature et exigent de l’´etudiant qu’il en compose des
solutions rigoureuses et compl`etes. Ce cours est un deuxi`eme cours d’ana-
lyse et suppose que l’´etudiant connaˆıt d´ej`a les propri´et´es des fonctions conti-
nues ainsi que celles des fonctions d´erivables. Rappelons quelques-unes de
ces propri´et´es.
On note [a, b] un intervalle compact (c’est-`a-dire ferm´e born´e),
[a, b] = {x|a≤x≤b},
]a, b[ un intervalle ouvert,
]a, b[= {x|a < x < b}
et (a, b) un intervalle quelconque. (Ces notations pr´esument que a≤b). Un
intervalle compact peut ˆetre caract´eris´e par la propri´et´e suivante :
•Toute suite {xn}n≥1de points de [a, b] contient une suite partielle {xnk}k≥1
qui converge vers un point de [a, b] (th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass).
Soit f: (a, b)→Rune fonction. Elle est dite continue sur (a, b) si elle
est continue en chaque point x0de (a, b), c’est-`a-dire si en chaque point x0
de (a, b),
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Un fonction continue jouit des propri´et´es suivantes :
•L’image d’un intervalle quelconque par une fonction continue est un in-
tervalle (propri´et´e des valeurs interm´ediaires).
•L’image d’un intervalle compact par une fonction continue est un intervalle
compact (propri´et´e des valeurs extrˆemes).
4