Topologie et Fonctions de plusieurs variables

Topologie et Fonctions de plusieurs
variables
Franck Boyer
Licence MPCI - 2ième Année
Aix-Marseille Université
25 avril 2015

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F. BOYER - VERSION DU 25 AVRIL 2015

TABLE DES MATIÈRES iii
Table des matières
I Suites de Rd. Notion de norme. 1
1 Suitesconvergentes.......................................... 1
2 Normes ................................................ 4
3 SuitesdeCauchy ........................................... 6
4 Boulesouvertesetfermées....................................... 7
5 Topologie dans les espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II Parties ouvertes et fermées de Rd11
1 Parties ouvertes de Rd........................................ 11
2 Parties fermées de Rd......................................... 13
3 Intérieur - Adhérence - Frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III Limites de fonctions en un point. Fonctions continues 17
1 Rappel pour les fonctions de Rdans R................................ 17
2 Définitions pour les fonctions de Rddans Rp............................ 18
3 Caractérisationsparlessuites..................................... 20
4 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Méthodologie............................................. 22
6 Quelques exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7 Propriétés topologiques associées à la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8 Continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.1 Cadregénéral......................................... 27
8.2 Matrices et normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV Compacité 31
1 Définition. Caractérisation. Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Fonctions continues sur les compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Equivalence des normes sur Rd.................................... 36
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iv TABLE DES MATIÈRES
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1
Chapitre I
Suites de Rd. Notion de norme.
Dans tout le cours chapitre, d≥1désigne un nombre entier. On va travailler dans l’espace vectoriel Rddes
d-uplets de nombres réels.
1 Suites convergentes
Définition I.1
On appelle suite d’éléments de Rdtoute famille (xn)n≥0d’éléments de Rdindexée par l’ensemble Ndes
entiers naturels. On peut également considérer des suites qui commencent à un indice non nul (xn)n≥n0.
On notera xn=
xn,1
.
.
.
xn,d
les dcoordonnées de l’élément xndans la base canonique de Rd.
Définition I.2
Soit l=
l1
.
.
.
ld
∈Rd. On dit qu’une suite (xn)nd’éléments de Rdconverge vers lquand ntend vers
l’infini, si pour tout 1≤i≤d, la suite de nombres réels (xn,i)nconverge vers li.
Proposition I.3
La limite lde la suite (xn)n, si elle existe, est unique.
Preuve :
Ceci est la conséquence directe de l’unicité de la limite pour les suites de nombres réels.
Exemple I.4
Si x0∈Rdest un élément quelconque de Rdet Aune matrice réelle carrée de taille d, on peut définir
par récurrence la suite (xn)npar
xn+1 =Axn,∀n≥0.
Le comportement de toutes les composantes de xnest couplé et il est donc difficile de séparer l’étude
de chacune des composantes. On verra par la suite qu’avec les bons outils d’analyse et d’algèbre, on
pourra étudier complètement le comportement de telles suites.
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