Formulaire de trigonométrie 2 Valeurs remarquables cos 1 sin Cercle trigonométrique √ √ 4/2 0/2 tan Beaucoup de formules se retrouvent à l’aide du cercle trigonométrique. — Ensemble de définition de la fonction tangente : 3 π/6 √ 3/2 √ 1/2 √ 1/ 3 0 0 π/4 √ 2/2 √ 2/2 1 — Définitions des fonctions cosinus et sinus : cos(θ) = Re eiθ ∀θ ∈ R, — Théorème de Thalès : — Formules d’Euler : tan(θ) = sin(θ) . cos(θ) ∀θ ∈ R, ∀(n, θ) ∈ Z × R, cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1 . — Application de Thalès-Pythagore : ∀θ ∈ Dtan , 1 + tan2 (θ) = — Parités et symétries : cos(−θ) = cos(θ) ∀θ ∈ R, cos( π2 − θ) = sin(θ) cos(π − θ) = − cos(θ) et ∀θ ∈ Dtan , ∀θ ∈ R \ {k π2 et et sin(−θ) = − sin(θ) sin( π2 − θ) = cos(θ) sin(π − θ) = sin(θ) 4 et sin(θ) = eiθ − e−iθ . 2i tan( π2 cos(nθ) + i sin(nθ) = cos(θ) + i sin(θ) ∀(α, β) ∈ R2 , 1 tan(θ) cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) sin(α + β) = cos(α) sin(β) + sin(α) cos(β) tan(α) + tan(β) . 1 − tan(α) tan(β) — Formules de duplication : cos(2θ) = cos2 (θ) − sin2 (θ) = 2 cos2 (θ) − 1 = 1 − 2 sin2 (θ) ∀θ ∈ R, sin(2θ) = 2 cos(θ) sin(θ) π sin(θ + 2 ) = cos(θ) sin(θ + π) = − sin(θ) sin(θ + 2π) = sin(θ) ∀θ ∈ Dtan , tan(θ + π) = tan(θ) . Relations algébriques 2 et ∀(α, β) ∈ Dtan , α + β ∈ Dtan =⇒ tan(α + β) = et n — Formules d’addition : tan(−θ) = − tan(θ) 1 ∀θ ∈ R \ {k π2 | k ∈ Z}, tan(θ + π2 ) = − tan(θ) BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 eiθ + e−iθ 2 sin(θ) = Im eiθ . — Factorisation par l’angle moitié : ∀(α, β) ∈ R2 , eiα + eiβ = 2 cos α−β ei(α+β)/2 et eiα − eiβ = 2i sin α−β ei(α+β)/2 . 2 2 1 . cos2 (θ) . | k ∈ Z}, − θ) = ∀θ ∈ Dtan , tan(π − θ) = − tan(θ) — Décalages et périodicités : π cos(θ + 2 ) = − sin(θ) cos(θ + π) = − cos(θ) ∀θ ∈ R, cos(θ + 2π) = cos(θ) ( cos(θ) = et — Formule de Moivre : — Théorème de Pythagore : ∀θ ∈ R, π/2 √ 0/2 √ 4/2 Lien avec les nombres complexes Dtan = R \ π2 + kπ | k ∈ Z . S = k∈Z − π2 + kπ, π2 + kπ ∀θ ∈ Dtan , π/3 √ 1/2 √ 3/2 √ 3 et ∀θ ∈ Dtan , 2θ ∈ Dtan =⇒ tan(2θ) = . 1 sur 2 2 tan(θ) . 1 − tan2 (θ) Sébastien Godillon — Formules de bissection : r r 1 + cos(θ) θ 1 − cos(θ) θ = = et sin ∀θ ∈ R, cos 2 2 2 2 θ θ sin(θ) 1 − cos(θ) et ∀θ ∈ Dtan , ∈ Dtan =⇒ tan = = . 2 2 1 + cos(θ) sin(θ) — Transformation de produits en sommes (formules d’Euler) : 1 1 cos(α) cos(β) = 2 cos(α − β) + 2 cos(α + β) 2 1 ∀(α, β) ∈ R , sin(α) sin(β) = 2 cos(α − β) − 21 cos(α + β) . cos(α) sin(β) = 12 sin(α + β) − 21 sin(α − β) 8 — Domaines de départ et d’arrivée des fonctions trigonométriques réciproques : arccos : [−1, 1] → [0, π] x 7→ θ tel que cos(θ) = x arcsin : [−1, 1] → − π2 , π2 . y 7→ θ tel que sin(θ) = y arctan : R → − π2 , π2 t 7→ θ tel que tan(θ) = t — Transformation de sommes en produits (factorisation par l’angle moitié) : α−β α+β cos(α) + cos(β) = 2 cos cos 2 2 α−β 2 sin(α) + sin(β) = 2 cos sin α+β ∀(α, β) ∈ R , . 2 2 α+β α−β π π cos(α) + sin(β) = 2 cos 2 − 4 cos 2 + 4 5 6 — Réciprocités : ∀θ ∈ [0, π], arccos(cos(θ)) = θ et ∀x ∈ [−1, 1], cos(arccos(x)) = x ∀θ ∈ − π2 , π2 , arcsin(sin(θ)) = θ et ∀y ∈ [−1, 1], sin(arcsin(y)) = y . ∀θ ∈ − π2 , π2 , arctan(tan(θ)) = θ et ∀t ∈ R, tan(arctan(t)) = t Inégalités de comparaison h πi ∀θ ∈ 0, , 2 — Résolution d’équations trigonométriques d’inconnue θ ∈ R : ( ∀x ∈ [−1, 1], cos(θ) = x ⇐⇒ θ ≡ arccos(x) ou − arccos(x) [2π] ∀y ∈ [−1, 1], sin(θ) = y ⇐⇒ θ ≡ arcsin(y) ou π − arcsin(y) [2π] sin(θ) 6 θ 6 tan(θ) . Changement de variable de l’arc moitié — Expressions en fonction de t = tan θ 2 : et ∀t ∈ R, 2 1−t 2t ∀θ ∈] − π, π[, cos(θ) = , sin(θ) = 1 + t2 1 + t2 i π πh 2t et ∀θ ∈ − , , tan(θ) = . 2 2 1 − t2 7 tan(θ) = t ⇐⇒ θ ≡ arctan(t) ou arctan(t) + π ⇐⇒ θ ≡ arctan(t) [π] [2π] . — Quelques relations : ∀x ∈ [−1, 1], arccos(−x) = π − arccos(x) ∀y ∈ [−1, 1], arcsin(−y) = − arcsin(y) ∀t ∈ R, arctan(−t) = − arctan(t) Géométrie du triangle Soit un triangle d’angles α, β, γ et de côtés opposés a, b, c respectivement. ( — Loi des cosinus (théorème d’Al-Kashi) : c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ). — Loi des sinus : sin(β) sin(γ) sin(α) = = . a b c — Somme des angles (5e postulat d’Euclide) : α + β + γ = π. BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 Fonctions trigonométriques réciproques √ ∀x ∈ [−1, 1], sin (arccos(x)) = p1 − x2 ∀y ∈ [−1, 1], cos (arcsin(y)) = 1 − y 2 ∀x ∈ [−1, 1], arccos(x) + arcsin(x) = π 2 π 1 2 si t > 0 . et ∀t ∈ R , arctan(t) + arctan = π − 2 si t < 0 t ? 2 sur 2 Sébastien Godillon