Formulaire de trigonométrie - Sébastien Godillon

Formulaire de trigonométrie
1 Cercle trigonométrique
Beaucoup de formules se retrouvent à l’aide du cercle trigonométrique.
— Ensemble de définition de la fonction tangente :
Dtan =R\π
2+kπ |k∈Z
=Sk∈Z−π
2+kπ, π 2+kπ.
— Théorème de Thalès :
∀θ∈ Dtan,tan(θ) = sin(θ)
cos(θ).
— Théorème de Pythagore :
∀θ∈R,cos2(θ) + sin2(θ) = 1 .
— Application de Thalès-Pythagore : ∀θ∈ Dtan,1 + tan2(θ) = 1
cos2(θ).
— Parités et symétries :
∀θ∈R,
cos(−θ) = cos(θ)
cos(π
2−θ) = sin(θ)
cos(π−θ) = −cos(θ)
et 
sin(−θ) = −sin(θ)
sin(π
2−θ) = cos(θ)
sin(π−θ) = sin(θ)
et 
∀θ∈ Dtan,tan(−θ) = −tan(θ)
∀θ∈R\ {kπ
2|k∈Z},tan(π 2−θ) = 1 tan(θ)
∀θ∈ Dtan,tan(π−θ) = −tan(θ)
.
— Décalages et périodicités :
∀θ∈R,
cos(θ+π
2) = −sin(θ)
cos(θ+π) = −cos(θ)
cos(θ+ 2π) = cos(θ)
et 
sin(θ+π
2) = cos(θ)
sin(θ+π) = −sin(θ)
sin(θ+ 2π) = sin(θ)
et (∀θ∈R\ {kπ
2|k∈Z},tan(θ+π 2) = −1 tan(θ)
∀θ∈ Dtan,tan(θ+π) = tan(θ).
2 Valeurs remarquables
0π/6π/4π/3π/2
cos √4/2√3/2√2/2√1/2√0/2
sin √0/2√1/2√2/2√3/2√4/2
tan 01/√31√3
3 Lien avec les nombres complexes
— Définitions des fonctions cosinus et sinus :
∀θ∈R,cos(θ) = Re eiθet sin(θ) = Im eiθ.
— Formules d’Euler :
∀θ∈R,cos(θ) = eiθ +e−iθ
2et sin(θ) = eiθ −e−iθ 2i.
— Formule de Moivre :
∀(n, θ)∈Z×R,cos(nθ) + isin(nθ) = cos(θ) + isin(θ)n.
— Factorisation par l’angle moitié : ∀(α, β)∈R2,
eiα +eiβ = 2 cos α−β
2ei(α+β)/2et eiα −eiβ = 2isin α−β 2ei(α+β)/2.
4 Relations algébriques
— Formules d’addition :
∀(α, β)∈R2,cos(α+β) = cos(α) cos(β)−sin(α) sin(β)
sin(α+β) = cos(α) sin(β) + sin(α) cos(β)
et ∀(α, β)∈ D2
tan, α +β∈ Dtan =⇒tan(α+β) = tan(α) + tan(β)
1−tan(α) tan(β).
— Formules de duplication :
∀θ∈R,cos(2θ) = cos2(θ)−sin2(θ) = 2 cos2(θ)−1=1−2 sin2(θ)
sin(2θ) = 2 cos(θ) sin(θ)
et ∀θ∈ Dtan,2θ∈ Dtan =⇒tan(2θ) = 2 tan(θ)
1−tan2(θ).
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 1 sur 2 Sébastien Godillon

— Formules de bissection :
∀θ∈R, cos θ
2
=r1 + cos(θ)
2et 
sin θ
2
=r1−cos(θ)
2
et ∀θ∈ Dtan,θ
2∈ Dtan =⇒tan θ 2=sin(θ) 1 + cos(θ)=1−cos(θ) sin(θ).
— Transformation de produits en sommes (formules d’Euler) :
∀(α, β)∈R2,
cos(α) cos(β) = 1
2cos(α−β) + 1 2cos(α+β)
sin(α) sin(β) = 1
2cos(α−β)−1 2cos(α+β)
cos(α) sin(β) = 1
2sin(α+β)−1 2sin(α−β)
.
— Transformation de sommes en produits (factorisation par l’angle moitié) :
∀(α, β)∈R2,
cos(α) + cos(β) = 2 cos α−β
2cos α+β 2
sin(α) + sin(β) = 2 cos α−β
2sin α+β 2
cos(α) + sin(β) = 2 cos α+β
2−π 4cos α−β 2+π 4
.
5 Inégalités de comparaison
∀θ∈h0,π
2i,sin(θ)6θ6tan(θ).
6 Changement de variable de l’arc moitié
— Expressions en fonction de t= tan θ
2:
∀θ∈]−π, π[,cos(θ) = 1−t2
1 + t2,sin(θ) = 2t 1 + t2
et ∀θ∈i−π
2,π 2h,tan(θ) = 2t 1−t2.
7 Géométrie du triangle
Soit un triangle d’angles α, β, γ et de côtés opposés a, b, c respectivement.
— Loi des cosinus (théorème d’Al-Kashi) :
c2=a2+b2−2ab cos(γ).
— Loi des sinus :
sin(α)
a=sin(β) b=sin(γ) c.
— Somme des angles (5epostulat d’Euclide) :
α+β+γ=π.
8 Fonctions trigonométriques réciproques
— Domaines de départ et d’arrivée des fonctions trigonométriques réciproques :
arccos : [−1,1] →[0, π]
x7→ θtel que cos(θ) = x
arcsin : [−1,1] →−π
2,π 2
y7→ θtel que sin(θ) = y
arctan : R→−π
2,π 2
t7→ θtel que tan(θ) = t
.
— Réciprocités :
∀θ∈[0, π],arccos(cos(θ)) = θet ∀x∈[−1,1],cos(arccos(x)) = x
∀θ∈−π
2,π 2,arcsin(sin(θ)) = θet ∀y∈[−1,1],sin(arcsin(y)) = y
∀θ∈−π
2,π 2,arctan(tan(θ)) = θet ∀t∈R,tan(arctan(t)) = t
.
— Résolution d’équations trigonométriques d’inconnue θ∈R:
(∀x∈[−1,1],
∀y∈[−1,1],
cos(θ) = x⇐⇒ θ≡arccos(x)ou −arccos(x) [2π]
sin(θ) = y⇐⇒ θ≡arcsin(y)ou π−arcsin(y) [2π]
et ∀t∈R,tan(θ) = t⇐⇒ θ≡arctan(t)ou arctan(t) + π[2π]
⇐⇒ θ≡arctan(t) [π].
— Quelques relations :
∀x∈[−1,1],arccos(−x) = π−arccos(x)
∀y∈[−1,1],arcsin(−y) = −arcsin(y)
∀t∈R,arctan(−t) = −arctan(t)
(∀x∈[−1,1],sin (arccos(x)) = √1−x2
∀y∈[−1,1],cos (arcsin(y)) = p1−y2
∀x∈[−1,1],arccos(x) + arcsin(x) = π
2
et ∀t∈R?,arctan(t) + arctan 1
t=π
2si t > 0
−π
2si t < 0.
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 2 sur 2 Sébastien Godillon