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3.3 LOI DISCRÈTE 1
cours 14
Au dernier cours, nous avons vu
✓
L’espérance mathématiques
✓
La variance
✓
L’écart type
Aujourd’hui, nous allons voir
✓
Loi de Bernoulli
✓
Loi binomiale
✓
Loi géométrique
On a vu qu’à une expérience aléatoire, on peut associer
une variable aléatoire.
Ces variables aléatoires possèdent une fonction de probabilité
nommée loi de probabilité.
Or certains types de loi de probabilité reviennent souvent
et portent des noms
Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne
comporte que deux résultats.
Succès et échec.
On note la probabilité de succès par p
et la probabilité d’échec par
p+q =1
q=1
p
X est une variable aléatoire qui donne 0 en cas d’échec et 1
en cas de succès
P (X = 0) = q
1
P (X = 1) = q
0
Sa fonction de répartition est
1
8
>
<0
P (X  x) = F (x) = q
>
:
1
1
0
1
x<0
0x<1
1x
L’espérance d’une épreuve de Bernoulli est
E(X) = 0 · q + 1 · p = p
et sa variance est
2
Var(X) = (0
p) q + (1
2
2
p) p
2
= p q + q p = pq(p + q) = pq
p+q =1
Une autre façon de trouver la variance est
2
2
2
E(X ) = 0 · q + 1 · p = p
Var(X) = E(X 2 )
E(X)2 = p
= p(1
p2
p) = pq
Loi binomiale
Si notre expérience aléatoire consiste à répéter n fois une épreuve
de Bernoulli de probabilité p de succès et qu’on s’intéresse au
nombre de succès, la variable aléatoire
X : le nombre de succès
aura comme loi de probabilité la loi binomiale
B(n; p)
et on dit que la variable aléatoire suit une loi binomiale.
X ⇠ B(n; p)
Lorsqu’on est dans la situation ou on répète une épreuve, le résultat
d’une épreuve n’influence pas le résultat d’une autre.
S1 : succès lors de la première épreuve.
E2 : échec lors de la deuxième épreuve.
P (S1 \ E2 ) = P (S1 )P (E2 ) = pq
En d’autres termes, les évènements sont indépendants.
Supposons que X ⇠ B(n; p)
et qu’on cherche P (X = k)
pour obtenir k succès lors de n épreuves,
il a bien fallu obtenir n
k échecs.
✓ ◆
n
Le nombre de façons d’obtenir k parmi n épreuves est
k
✓ ◆
n k n
P (X = k) =
p q
k
k
On peut remarquer que
n
X
P (X = k) =
k=0
✓
n
X
k=0
B(16; 0, 5)
◆
n k n
p q
k
k
binôme de Newton
= (p + q)
n
= 1n = 1
B(16; 0, 2)
Pour trouver l’espérance et la variance d’une loi binomiale, il suffit de
X ⇠ B(n; p)
Xi épreuve de Bernoulli
X = X1 + X2 + · · · + Xn
E(Xi ) = p
Var(Xi ) = pq
E(X) = E(X1 + X2 + · · · + Xn )
= E(X1 ) + E(X2 ) + · · · + E(Xn ) = np
Var(X) = Var(X1 + X2 + · · · + Xn )
= Var(X1 ) + Var(X2 ) + · · · + Var(Xn ) = npq
Exemple
On lance une paire de dés à quatre reprise et on veut
savoir le nombre de fois qu’on a eu une somme de 7
La probabilité d’avoir une somme de 7 sur deux dés est
6
1
=
36
6
X : le nombre de fois qu’on obtient une somme de 7
✓
◆
1
X ⇠ B 4;
6
✓ ◆ ✓ ◆3 ✓ ◆
5
4
1
5
20
⇡ 0, 015
=
P (X = 3) =
=
324
3
6
6
1296
1
E(X) = 4 = 0, 6̄
6
✓ ◆✓ ◆
1
5
= 0, 5̄
Var(X) = 4
6
6
Faites les exercices suivants
#3.14 à 3.20
Loi géométrique
Si notre expérience aléatoire consiste à répéter une épreuve de
Bernoulli de probabilité de succès p et ce, jusqu’au premier succès.
On dira alors que la variable aléatoire donnant le nombre d’épreuves
nécessaire à l’obtention du premier succès
X ⇠ G(p)
qu’elle suit une loi géométrique.
Remarque:
p 6= 0
car chercher un succès lorsqu’il est impossible est un peu futile.
P (X = 1) = p
Pour trouver
on a dû avoir k
P (X = k)
1 échecs suivi d’un succès
P (X = k) = q k
1
p
Ici l’ensemble de réalisation de notre variable aléatoire est
{1, 2, 3, . . . }
puisqu’à priori on ne sait pas combien d’essais ça peut prendre.
1
X
k=1
P (X = k) =
1
X
t=k
q
k=1
1
X
=p
=p
k=1
1
X
k 1
q
p
k 1
qt
t=0
=p
1
1
1
p
=1
=
q
p
on obtient donc une série
géométrique convergente car
0<q<1
E(X) =
1
X
kq
k 1
p =p
k=1
1
X
kq
k 1
=p
k=1
1
(1
p
1
= 2 =
2
q)
p
p
Calculer ça directement est assez compliquer; utilisons une astuce.
1
X
on sait que la série de puissance
1
k
x =
k=0
1
x
en dérivant de chaque côté la dernière égalité, on obtient
1
X
k=0
x
k
!0
=
1
X
k=0
x
k 0
=
1
X
k=1
kx
k 1
=
1
(1
x)2
=
✓
1
1
x
◆0
2
✓ ◆2
1
p
2
2
E(X) = E(X )
Var(X) = E(X )
1
X
2
E(X ) =
2 k 1
k q
p
k=1
En utilisant la dérivée seconde de la série géométrique
1
X
k=0
x
k
!00
1
X
=
1
X
k(k
1)x
k 2
=
k=2
k(k
1)x
k 2
=
k=2
1
X
2
x)3
(1
2 k 2
k x
k=2
1
X
k=2
2 k 2
k x
=
1
X
kx
k=2
2
(1
=
✓
x)3
+
1
X
k=2
kx
k 2
1
1
k 2
x
◆00
2
E(X) = E(X )
Var(X) = E(X )
2
E(X ) =
1
X
2 k 1
k q
2
2
✓ ◆2
1
p
p
k=1
1
X
2 k 2
k x
k=2
1
X
2 k 1
k x
k=2
1+
1
X
k=2
1
X
k=1
2 k 1
k x
2 k 1
k x
=
2
(1
x)3
+
2x
=
+
(1 x)3
1
X
2
kxk
1
en multipliant par x
k=2
1
X
k=2
2x
=
+
1
+
(1 x)3
2x
=
+
(1 x)3
kxk
1
X
k=1
1
X
kxk
k=2
kxk
1
1
2
E(X) = E(X )
✓
◆
1
X
2q
1
1
2 k 1
p=p
k q =p
+
3
2
(1
q)
(1
q)
k=1
Var(X) = E(X )
2
E(X ) =
1
X
2 k
k q
k=1
1
X
k=1
2 k 1
k x
2
2
✓ ◆2
1
p
2x
=
+
3
(1 x)
1
X
kx
k 1
k=1
2x
1
=
+
(1 x)3
(1 x)2
2
E(X) = E(X )
✓
◆
1
X
2q
1
1
2 k 1
p=p
k q =p
+
3
2
(1
q)
(1
q)
k=1
Var(X) = E(X )
2
E(X ) =
1
X
2 k
k q
k=1
=p
=
Var(X) =
2
p
p2
2
2
✓ ◆2
1
p
✓
2q
1
+ 2
3
p
p
2(1
◆
2q
p
= 2 + 2
p
p
2 p
p) + p
=
p2
p2
✓ ◆2
2 p
1
=
p2
p
1
1 p
=
2
p
p2
Donc pour
1
E(X) =
p
X ⇠ G(p)
Var(X) =
1
p
p2
Exemple On lance deux dés et on s’intéresse au nombre
nécessaire de lancé avant d’obtenir une somme de 7
X : nombre de lancé avant la première somme de 7
1
P (X = 1) =
6
✓ ◆✓ ◆
5
1
P (X = 2) =
6
6
✓ ◆2 ✓ ◆
5
1
P (X = 3) =
6
6
✓ ◆3 ✓ ◆
5
1
P (X = 4) =
6
6
E(X) =
1
=6
1
6
Var(X) =
1
6
1
1
36
5 · 36
=
= 30
6
Loi binomiale négative
La loi binomiale négative est une généralisation de la loi géométrique
La variable aléatoire qui compte le nombre d’épreuves de Bernoulli
de probabilité p de succès jusqu’à l’obtention de r succès
X ⇠ BN (r, p)
suit une loi binomiale négative.
en particulier
BN (1, p) = G(p)
X ⇠ BN (r, p)
P (X = n)
Pour avoir r succès après n épreuves il faut avoir eu r-1 succès après
n-1 épreuve et en suite 1 succès.
P (X = n) =
✓
n
r
◆
1 r n
p q
1
r
Vérifier que
✓
1
1
X
X k
P (X = r) =
r
k=r
k=r
◆
1 r k
p q
1
r
=1
Est particulièrement compliqué et nous omettrons cette justification
On peut voir la variable aléatoire comme
X = Y1 + Y2 + · · · + Yr
Y1 :le nombre d’épreuves nécessaires à l’obtention du premier succès
Y2 :le nombre d’épreuves supplémentaires nécessaires à
l’obtention du deuxième succès
Y3 :le nombre d’épreuves supplémentaires nécessaires à
l’obtention du troisième succès
et ainsi de suite
De plus on a que les Yi sont indépendants
De plus
X = Y1 + Y2 + · · · + Yr
E(X) = E(Y1 + Y2 + · · · + Yr )
= E(Y1 ) + E(Y2 ) + · · · + E(Yr )
r
1 1
1
=
= + + ··· +
p
p p
p
Avec un argument similaire, on obtient
r(1 p)
Var(X) =
p2
Faites les exercices suivants
# 3.21 à 3.24
Aujourd’hui, nous avons vu
Loi
P (X = k)
Binomiale
✓ ◆
n k n
p q
k
X ⇠ B(n; p)
Géométrique
X ⇠ G(p)
Binomiale négative
X ⇠ BN (r, p)
q
✓
k
r
k 1
k
np
1
p
p
◆
1 r k
p q
1
E(X)
r
r
p
Var(X)
npq
1
p
p2
r(1 p)
p2
Devoir:
Section 1.1