10 Loi binomiale

10 Loi binomiale
10.1 Loi de Bernoulli
Définition :•Pour une expérience aléatoire présentant deux issues, l’une Sappelée « succès » de
probabilité pet l’autre Sappelée « échec » de probabilité q= 1 −p, la variable aléatoire Xqui
prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli.
•La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p:
X=xi0 1
pi=P(X=xi) 1 −p p
Théorème : Si la variable aléatoire Xsuit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors son espérance
mathématique est égale à p:E(X) = pet V(X) = p(1 −p), d’où σ(X) = pp(1 −p).
Preuve :E(X) =
i=2
X
i=1
xipi= 0 ×(1 −p) + 1 ×p=pet V(X) = Çi=2
X
i=1
x2
iå−E2(X) = p−p2=p(1 −p). 
10.2 Loi binomiale
Définition :•L’expérience aléatoire consistant à répéter nfois de manière indépendante une épreuve
de Bernoulli de paramètre ps’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres net p.
•La loi de probabilité de la variable aléatoire Xégale au nombre de succès au cours de ces népreuves
s’appelle la loi binomiale de paramètres net p, notée B(n,p).
Exemples :•Dans une urne contenant 3 boules blanches et 2 boules noires on considère le tirage d’une
boule blanche comme un succès. On répète 6 fois de suite la même expérience en réintroduisant dans
l’urne la boule après chaque tirage. La variable aléatoire Xqui compte le nombre de succès, c’est-à-dire
le nombre de boules blanches tirées, suit la loi binomiale de paramètres n= 6 et p=3
5:BÅ6,3 5ã.
•La variable aléatoire Xqui compte le nombre de « pile » obtenus lors de 20 lancers successifs d’une
pièce de monnaie (équilibrée) suit la loi binomiale BÅ20,1
2ã.
Cas simples :n= 2 ou n= 3
Pour n= 2 ou n= 3 il est facile de modéliser par un arbre un tel schéma de Bernoulli de paramètres n
et p:
pS
pS
qS
q
S
pS
qS
P(X= 2) = P(SS) = p2
P(X= 1) = P(SS) + P(SS) = 2pq
P(X= 0) = P(S S) = q2
On vérifie que : P(X= 2) + P(X= 1) + P(X= 0) = p2+ 2pq +q2= (p+q)2= 1.
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pS
pS
qS
pS
qS
pS
qS
q
S
pS
qS
pS
qS
pS
qS
P(X= 3) = P(SSS) = p3
P(X= 2) = P(SSS) + P(SSS) + P(SSS) = 3p2q
P(X= 1) = P(SS S) + P(SSS) + P(S SS) = 3pq2
P(X= 0) = P(SSS) = q3
On peut vérifier que :
P(X= 3) + P(X= 2) + P(X= 1) + P(X= 0) = p3+ 3p2q+ 3pq2+q3= (p+q)3= 1
10.3 Coefficients binomiaux
Lorsque nest supérieur le fonctionnement est identique. Pour calculer la probabilité d’obtenir ksuccès sur
nexpériences de Bernoulli avec un paramètre p, il faut compter toutes les issues composées de ksuccès et
n−kéchecs. D’après la propriété des arbres pondérés chacune de ces issues a la même probabilité pkqn−k.
Définition : Soit nun entier naturel non nul et kun entier compris entre 0 et n(0 6k6n). Le
nombre de chemins réalisant ksuccès lors de nrépétitions dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli est
appelé coefficient binomial de kparmi net noté Çn
kå.
Exemples :•Pour n= 2 dans l’arbre ci-dessus Ç2
2å= 1 ; Ç2
1å= 2 et Ç2
0å= 1.
•Pour n= 3 dans l’arbre ci-dessus Ç3
3å= 1 ; Ç3
2å= 3 ; Ç3
1å= 3 et Ç3
0å= 1.
Calcul des coefficients binomiaux : On utilise une calculatrice (ou un tableur) pour calculer un coefficient
binomial : Ç10
7å= 120 ; Ç10
5å= 252 ; Ç10
3å= 120.
Théorème : Si la variable aléatoire Xsuit une loi binomiale de paramètres net p,B(n,p), alors pour
tout entier k, 0 6k6n:P(X=k) = Çn
kåpk(1 −p)n−k.
Preuve : L’événement « X=k» comporte Än
käissues puisqu’il y a Än
kächemins réalisant ksuccès et n−kéchecs. Les
issues ayant toutes la même probabilité pkqn−k, on obtient bien le résultat P(X=k) = Än
käpkqn−kavec q= 1 −p.
Pour aller plus loin : calcul de Än
kä
Le coefficient binomial Än
käest aussi le nombre de façon de choisir kobjets parmi n, sans tenir compte de l’ordre.
Pour choisir le premier objet il y npossibilité, puis (n−1) pour le deuxième, et ainsi de suite avec (n−k+ 1) pour le kème
objet : on a donc n×(n−1) ×(n−2) ×. . . ×(n−k+ 1) possibilités pour choisir kparmi n;
par exemple pour choisir 3 objets parmi 7 on aura 7 ×6×5 = 210 possibilités, cependant chaque triplet revient plusieurs
fois : (1,2,3) ; (1,3,2) ; (2,1,3) ; (2,3,1) ; (3,1,2) et (3,2,1)
or il y a bien six façons d’ordonner les trois objets de chaque triplet, car 3 ×2×1 = 6 ;
ainsi il n’y aura en réalité que 210
6= 35 triplets tous différents si on ne tient pas compte de l’ordre.
De même il y a k×(k−1) ×. . . ×2×1 façons d’ordonner une collection de kobjet et par suite si on ne tient pas compte
de l’ordre il y Än
kä=n×(n−1) ×(n−2) ×. . . ×(n−k+ 1)
k×(k−1) ×...×2×1façons de choisir kobjets parmi nsans tenir compte de
l’ordre. 
Remarque :n×(n−1) ×(n−2) ×. . . ×2×1 s’écrit aussi n! (on dit « factorielle n» ou « factorielle de n» ou bien encore
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«nfactorielle » pour n!) et k×(k−1) ×...×2×1 = k! (« factorielle k»), alors :
Än
kä=n!
(n−k)! ×k!
par exemple : Ä7
3ä=7!
4! ×3! =7×6×5×4×3×2×1 (4 ×3×2×1) ×(3 ×2×1) =7×6×5 6= 7 ×5 = 35.
Exemple :•Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, avec remise, la variable aléatoire Xégale
au nombre de boules blanches tirées suit une loi binomiale. Sa loi de probabilité est donnée par :
P(X=k) = Ç6
kå×Å3
5ãk
×Å2
5ãn−k
, pour 0 6k6n
alors :
P(X= 0) = 6
0×3
50×2 56= 1 ×0,46≈0,0041,
P(X= 1) = 6
1×0,6×0,45≈6×0,0061 ≈0,0369,
P(X= 2) = 6
2×0,62×0,44≈15 ×0,0092 ≈0,1382,
P(X= 3) = 6
3×0,63×0,43≈20 ×0,0138 ≈0,2765,
P(X= 4) = 6
4×0,64×0,42≈15 ×0,0207 ≈0,3110,
P(X= 5) = 6
5×0,65×0,4≈6×0,0311 ≈0,1866,
P(X= 6) = 6
6×0,66≈1×0,0467 ≈0,0467.
Théorème (admis) : Si la variable aléatoire Xsuit une loi binomiale de paramètres net p,B(n,p),
alors son espérance est E(X) = np et sa variance est V(X) = np(1 −p).
Exemples :•Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, l’espérance est E(X) = 6 ×3
5= 3,6 et
sa variance V(X) = 6 ×3
5×2 5=36 25 = 1,44 (et σ(X) = 6 5= 1,2).
•Pour 20 lancers d’une pièce de monnaie, l’espérance du nombre de « pile » (ou « face ») est de
E(X) = 20 ×1
2= 10 et la variance V(X) = 20 ×1 2×1 2= 5 (et σ(X) = √5≈2,236).
10.4 Propriétés des coefficients binomiaux
Théorème : Pour tout entier ntel que n>1 : Çn
0å= 1 et Çn
nå= 1
Preuve : Dans l’arbre un seul chemin réalise l’événement « aucun succès » et un seul chemin réalise « nsuccès ». 
Théorème : Pour tous entiers net ktels que n>1 et 0 6k6n:Çn
kå=Çn
n−kå
Preuve : Dans l’arbre chaque chemin réalisant ksuccès comporte n−kéchecs. L’arbre étant binaire (succès ou échec) le
nombre de chemins réalisant ksuccès est égal au nombre de chemins réalisant kéchecs, c’est-à-dire n−ksuccès. 
Théorème : Pour tous entiers net ktels que n>1 et 0 6k6n−1 : Çn
kå+Çn
k+ 1å=Çn+ 1
k+ 1å
Preuve : Dans l’arbre représentant n+ 1 épreuves, on peut distinguer deux sortes de chemins k+ 1 succès :
– ceux comportant un succès à la première épreuve et ksuccès lors des népreuves restantes : il y en a n
k,
– ceux comportant un échec à la première épreuve et k+ 1 succès lors des népreuves restantes : il y en a n
k+1,
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alors, la somme de ces deux nombres étant égale au nombre total de chemins réalisant k+ 1 succès, on a bien :
Än+ 1
k+ 1ä=Än
kä+Än
k+ 1ä.
Application : triangle de Pascal
Pour n= 1 on a 1
0=1 1= 1, alors 2 1=1 0+1 1= 2, donc pour n= 2 : 2 0= 1, 2 1= 2 et 2 2= 1 ;
de même 3
1=2
0+2
1= 3 et 3
2=2
1+2
2= 3, donc pour n= 3 : 3
0= 1, 3
1= 3, 3
2= 3 et
3
3= 1.
Ceci peut se résumer dans le tableau suivant, appelé « Triangle de Pascal » :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
Remarque : Les coefficients binomiaux permettent d’écrire les identités remarquables
(a+b)2=a2+ 2ab +b2
(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3
(a+b)4=a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+b4
(a+b)5=a5+ 5a4b+ 10a3b2+ 10a2b3+ 5ab4+b5
...
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