10 Loi binomiale

10 Loi binomiale
10.1 Loi de Bernoulli
Définition : • Pour une expérience aléatoire présentant deux issues, l’une S appelée « succès » de
probabilité p et l’autre S appelée « échec » de probabilité q = 1 − p, la variable aléatoire X qui
prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli.
• La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p :
X = xi
pi = P (X = xi )
0
1−p
1
p
Théorème : Si la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre
p p, alors son espérance
mathématique est égale à p : E(X) = p et V (X) = p(1 − p), d’où σ(X) = p(1 − p).
Preuve : E(X) =
i=2
X
xi pi = 0 × (1 − p) + 1 × p = p et V (X) =
i=1
Ç i=2
X
i=1
x2i
å
− E 2 (X) = p − p2 = p(1 − p). 10.2 Loi binomiale
Définition : • L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve
de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
• La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves
s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).
Exemples : • Dans une urne contenant 3 boules blanches et 2 boules noires on considère le tirage d’une
boule blanche comme un succès. On répète 6 fois de suite la même expérience en réintroduisant dans
l’urne la boule après chaque tirage. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès,Åc’est-à-dire
ã
3
3
le nombre de boules blanches tirées, suit la loi binomiale de paramètres n = 6 et p = : B 6, .
5
5
• La variable aléatoire X qui compte le nombre de «Å pile ã
» obtenus lors de 20 lancers successifs d’une
1
pièce de monnaie (équilibrée) suit la loi binomiale B 20, .
2
Cas simples : n = 2 ou n = 3
Pour n = 2 ou n = 3 il est facile de modéliser par un arbre un tel schéma de Bernoulli de paramètres n
et p :
p
p
S
P (X = 2) = P (SS) = p2
S
q
p
q
S
S
P (X = 1) = P (SS) + P (SS) = 2pq
P (X = 0) = P (S S) = q 2
S
q
S
On vérifie que : P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) = p2 + 2pq + q 2 = (p + q)2 = 1.
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Maths 1s
10. Loi binomiale
p
p
S
S
q
p
q
S
S
S
q
S
p
S
q
p
S
q
p
S
q
p
S
q
S
S
prog 2010
P (X = 3) = P (SSS) = p3
P (X = 2) = P (SSS) + P (SSS) + P (SSS) = 3p2 q
S
S
P (X = 1) = P (SS S) + P (SSS) + P (S SS) = 3pq 2
P (X = 0) = P (S S S) = q 3
On peut vérifier que :
P (X = 3) + P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) = p3 + 3p2 q + 3pq 2 + q 3 = (p + q)3 = 1
10.3 Coefficients binomiaux
Lorsque n est supérieur le fonctionnement est identique. Pour calculer la probabilité d’obtenir k succès sur
n expériences de Bernoulli avec un paramètre p, il faut compter toutes les issues composées de k succès et
n−k échecs. D’après la propriété des arbres pondérés chacune de ces issues a la même probabilité pk q n−k .
Définition : Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n (0 6 k 6 n). Le
nombre de chemins réalisant k succès lors de n répétitions
dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli est
Ç å
n
appelé coefficient binomial de k parmi n et noté
.
k
Ç å
Ç å
Ç å
2
2
2
Exemples : • Pour n = 2 dans l’arbre ci-dessus
= 1;
= 2 et
= 1.
2
1
0
Ç å
Ç å
Ç å
Ç å
3
3
3
3
• Pour n = 3 dans l’arbre ci-dessus
= 1;
= 3;
= 3 et
= 1.
3
2
1
0
Calcul des Ç
coefficients
binomiaux
å
Ç å : On utilise
Ç åune calculatrice (ou un tableur) pour calculer un coefficient
10
10
10
binomial :
= 120 ;
= 252 ;
= 120.
7
5
3
Théorème : Si la variable aléatoire X suit
Ç une
å loi binomiale de paramètres n et p, B(n,p), alors pour
n k
tout entier k, 0 6 k 6 n : P (X = k) =
p (1 − p)n−k .
k
Preuve : L’événement « X = k » comporte
Änä
issues puisqu’il y a
Änä
chemins réalisant k succès et n − k échecs. Les
k
Änä
issues ayant toutes la même probabilité pk q n−k , on obtient bien le résultat P (X = k) =
pk q n−k avec q = 1 − p. k
Änä
Pour aller plus loin : calcul de
k
Änä
Le coefficient binomial
est aussi le nombre de façon de choisir k objets parmi n, sans tenir compte de l’ordre.
k
Pour choisir le premier objet il y n possibilité, puis (n − 1) pour le deuxième, et ainsi de suite avec (n − k + 1) pour le k ème
objet : on a donc n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × (n − k + 1) possibilités pour choisir k parmi n ;
par exemple pour choisir 3 objets parmi 7 on aura 7 × 6 × 5 = 210 possibilités, cependant chaque triplet revient plusieurs
fois : (1,2,3) ; (1,3,2) ; (2,1,3) ; (2,3,1) ; (3,1,2) et (3,2,1)
or il y a bien six façons d’ordonner les trois objets de chaque triplet, car 3 × 2 × 1 = 6 ;
210
= 35 triplets tous différents si on ne tient pas compte de l’ordre.
ainsi il n’y aura en réalité que
6
k
De même il y a k × (k − 1) × . . . × 2 × 1 façons d’ordonner une collection de k objet et par suite si on ne tient pas compte
Änä n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × (n − k + 1)
façons de choisir k objets parmi n sans tenir compte de
de l’ordre il y
=
k × (k − 1) × . . . × 2 × 1
k
l’ordre. Remarque : n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 2 × 1 s’écrit aussi n! (on dit « factorielle n » ou « factorielle de n » ou bien encore
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« n factorielle » pour n!) et k × (k − 1) × . . . × 2 × 1 = k! (« factorielle k »), alors :
Änä
k
par exemple :
Ä7ä
3
=
=
n!
(n − k)! × k!
7!
7×6×5×4×3×2×1
7×6×5
=
=
= 7 × 5 = 35.
4! × 3!
(4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
6
Exemple : • Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, avec remise, la variable aléatoire X égale
au nombre de boules blanches tirées suit une loi binomiale. Sa loi de probabilité est donnée par :
Ç å Å ãk Å ãn−k
2
6
3
×
, pour 0 6 k 6 n
P (X = k) =
×
5
5
k
alors :
P (X = 0) =
P (X = 1) =
P (X = 2) =
P (X = 3) =
P (X = 4) =
P (X = 5) =
P (X = 6) =
6
0
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
×
3 0
5
×
2 6
5
5
= 1 × 0,46 ≈ 0,0041,
× 0,6 × 0,4 ≈ 6 × 0,0061 ≈ 0,0369,
× 0,62 × 0,44 ≈ 15 × 0,0092 ≈ 0,1382,
× 0,63 × 0,43 ≈ 20 × 0,0138 ≈ 0,2765,
× 0,64 × 0,42 ≈ 15 × 0,0207 ≈ 0,3110,
× 0,65 × 0,4 ≈ 6 × 0,0311 ≈ 0,1866,
× 0,66 ≈ 1 × 0,0467 ≈ 0,0467.
Théorème (admis) : Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, B(n,p),
alors son espérance est E(X) = np et sa variance est V (X) = np(1 − p).
3
Exemples : • Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, l’espérance est E(X) = 6 × = 3,6 et
5
3 2
36
6
sa variance V (X) = 6 × × =
= 1,44 (et σ(X) = = 1,2).
5 5
25
5
• Pour 20 lancers d’une pièce de monnaie, l’espérance du nombre de « pile » (ou « face ») est de
√
1 1
1
E(X) = 20 × = 10 et la variance V (X) = 20 × × = 5 (et σ(X) = 5 ≈ 2,236).
2
2 2
10.4 Propriétés des coefficients binomiaux
Ç å
Ç å
n
n
Théorème : Pour tout entier n tel que n > 1 :
= 1 et
=1
0
n
Preuve : Dans l’arbre un seul chemin réalise l’événement « aucun succès » et un seul chemin réalise « n succès ». Ç å Ç
å
n
n
Théorème : Pour tous entiers n et k tels que n > 1 et 0 6 k 6 n :
=
k
n−k
Preuve : Dans l’arbre chaque chemin réalisant k succès comporte n − k échecs. L’arbre étant binaire (succès ou échec) le
nombre de chemins réalisant k succès est égal au nombre de chemins réalisant k échecs, c’est-à-dire n − k succès. Ç å Ç
å Ç
å
n
n
n+1
Théorème : Pour tous entiers n et k tels que n > 1 et 0 6 k 6 n − 1 :
+
=
k
k+1
k+1
Preuve : Dans l’arbre représentant n + 1 épreuves, on peut distinguer deux sortes de chemins k + 1 succès :
– ceux comportant un succès à la première épreuve et k succès lors des n épreuves restantes : il y en a
– ceux comportant un échec à la première épreuve et k + 1 succès lors des n épreuves restantes : il y en a
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n
k
,
n
k+1
,
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10. Loi binomiale
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alors, la somme de ces deux nombres étant égale au nombre total de chemins réalisant k + 1 succès, on a bien :
Än + 1ä
k+1
=
Änä
k
+
Ä
n ä
. k+1
Application : triangle de Pascal
Pour n = 1 on a 10 = 11 = 1, alors 21 = 10 + 11 = 2, donc pour n = 2 : 20 = 1, 21 = 2 et 22 = 1 ;
de même 31 = 20 + 21 = 3 et 32 = 21 + 22 = 3, donc pour n = 3 : 30 = 1, 31 = 3, 32 = 3 et
3
3 = 1.
Ceci peut se résumer dans le tableau suivant, appelé « Triangle de Pascal » :
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
3
1
6
4
1
10 10
5
1
15 20 15
6
1
21 35 35 21
7
1
28 56 70 56 28
8
1
36 84 126 126 84 36
9
1
45 120 210 252 210 120 45 10 1
55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
Remarque : Les coefficients binomiaux permettent d’écrire les identités remarquables
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)5
...
math4bac
= a2 + 2ab + b2
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
= a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5
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