3.4 Fonctions hyperboliques

3.4. FONCTIONS HYPERBOLIQUES
3.4
Fonctions hyperboliques
3.4.1
Fonctions paires et impaires
39
Théorème 28 Soit f une fonction définie sur R (ou sur un ensemble de définition Df symétrique par rapport
à 0). Il existe un unique couple de fonctions (p, i) composé d’une fonction paire et d’une fonction impaire tel
que :
∀x ∈ R, f (x) = p (x) + i (x).
Preuve. Elle est très jolie, elle se décompose en deux étapes : unicité et existence
:
½
f (x) = p (x) + i (x)
• Unicité : soit une fonction f , supposons qu’il existe un tel couple, on a alors
f (−x) = p (x) − i (x)
(il est naturel d’utiliser les propriétés sur les parités). On obtient alors sans difficulté en faisant la somme et
(−x)
(−x)
la différence p (x) = f (x)+f
et i (x) = f (x)−f
, ces deux écritures déterminent donc de manière unique
2
2
ces deux fonctions.
(−x)
• Existence : soit une fonction f, on déÞnit deux fonctions p et i par : ∀x ∈ R, p (x) = f (x)+f
et
2
f (x)−f (−x)
i (x) =
, on vériÞe alors facilement que p est une fonction paire, que i est une fonction impaire et
2
que f (x) = p (x) + i (x).
Remarque 29 Dans le cas où f (x) est un polynôme, p (x) est composée des puissances paires, y compris le
terme constant et i (x) des puissances impaires. On peut alors prouver très facilement que f (x) est paire si
et seulement si elle est uniquement composée de puissances paires.
Définition 30 Dans le cas où f (x) = ex , la fonction p s’appelle le cosinus hyperbolique, noté ch ou encore
cosh, la fonction i s’appelle le sinus hyperbolique, noté sh ou encore sinh.
x
−x
x
−x
et sh (x) = e −e
ch (x) = e +e
2
2
3.4.2
Fonctions ch et sh
ch
(x
)
sh(
x)
On a donc : ch : R →
R
et sh : R →
R
ex +e−x
ex −e−x
x 7→
x 7→
2
2
On a immédiatement le fait que ch et sh sont respectivement des fonctions paires et impaires. Ce sont
des fonctions dérivables, en tant que combinaisons linéaires de fonctions dérivables, avec : ch0 (x) = sh (x) et
sh0 (x) = ch (x). Comme ch (x) > 0, on a immédiatement sh (x) strictement croissante, de plus sh (0) = 0
(puisque sh est impaire).
x
−∞
0
+∞
ch (x)
+ 1 +
+∞
sh (x)
% 0 %
−∞
On en déduit le signe sh (x), d’où
x
−∞
0
+∞
sh (x)
− 0 +
+∞
+∞
ch (x)
&
%
1
40
CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES
Pour le calcul des limites
en +∞,
que limx→+∞ e−x = 0, par la même occasion, on
¡
¢ il suffit de constater
ex
ex
en déduit que limx→+∞ ch (x) − 2 = limx→+∞ sh (x) − 2 = 0. Géométriquement, cela se traduit par le fait
x
que la courbe représentative de la fonction x → e2 est asymptote aux courbes représentatives de ch (x) et de
sh (x), celle de ch étant au dessus et celle de sh en dessous.
On a ch (x) +sh (x) = ex (cf paragraphe précédent), on en déduit immédiatement que ch (−x) +sh (−x) =
ch (x) − sh (x) = e−x , en multipliant ces deux expressions on obtient :
ch2 (x) − sh2 (x) = (ch (x) + sh (x)) (ch (x) − sh (x)) = ex e−x = 1.
ch2 (x) − sh2 (x) = 1
On en déduit alors que les points M (t) de coordonnées (ch (t) , sh (t)) sont sur la courbe d’équation X 2 −
Y 2 = 1, cette courbe s’appelle une hyperbole. Les points M (t) sont les points d’abscisses positives de
cette hyperbole, pour obtenir les points d’abscisses négatives, on considère les points N (t) de coordonnées
(−ch (t) , sh (t)). On peut paramétrer
l’hyperbole par
½
x = ²ch (t)
les équations paramétriques
où ² = ±1.
y = sh (t)
3.4.3
Tangente, cotangente hyperbolique
La fonction tangente hyperbolique th ou aussi tanh est déÞnie par th (x) =
0
R, elle est impaire, elle est dérivable sur R, avec th (x) =
th0 (x) =
1
ch2 (x)
ch2 (x)−sh2 (x)
ch2 (x)
2
= 1 − th (x)
sh(x)
,
ch(x)
elle est déÞnie sur tout
ce qui donne
La première expression nous donne immédiatement que th est une fonction croissante. Il reste à déterminer
ex (1−e−2x )
x
−x
maintenant la limite en +∞ : on écrit th (x) = eex −e
=
, on en déduit de limx→+∞ e−2x = 0 que
+e−x
ex (1+e−2x )
limx→+∞ th (x) = 1. On peut maintenant dresser le tableau de variation :
x
−∞
0
+∞
th0 (x)
+ 1 +
1
th (x)
% 0 %
−1
ch(x)
La fonction cotangente hyperbolique coth ou aussi co tanh est déÞnie par coth (x) = sh(x)
, elle est déÞnie
3.4. FONCTIONS HYPERBOLIQUES
41
sur tout R∗ , elle est impaire, elle est dérivable sur R∗ , avec coth0 (x) =
coth0 (x) =
−1
sh2 (x)
sh2 (x)−ch2 (x)
sh2 (x)
ce qui donne
= 1 − coth2 (x)
La première expression nous donne immédiatement
que coth est une fonction décroissante.
Il reste à déterminer maintenant les limites en +∞ et en 0+ :
1
on écrit coth (x) = th(x)
, on en déduit que limx→+∞ coth (x) = 1
et que limx→0+ coth (x) = +∞.
On peut maintenant dresser le tableau de variation :
x
−∞
0
+∞
coth0 (x)
−
−
−1
+∞
coth (x)
&
&
−∞
1
On a graphiquement :
Tout ce qui suit est hors programme mais les démonstrations sont très formatrices :
ch (a + b) = ch (a) ch (b) + sh (a) sh (b)
sh (a + b) = ch (a) sh (b) + ch (b) sh (a)
th(a)+th(b)
th (a + b) = 1+th(a)th(b)
En effet, on a ¡
¢
¡
¢
ch (a + b) = 12 ea+b + e−a−b = 12 ea eb + e−a e−b
= 12 ([ch (a) + sh (a)] [ch (b) + sh (b)] + [ch (a) − sh (a)] [ch (b) − sh (b)])
= ch (a) ch (b) + sh (a) sh (b)
On trouve de la même façon la formule pour le sh. Pour le th, on écrit :
th (a + b) = sh(a+b)
ch(a+b)
= ch(a)sh(b)+ch(b)sh(a)
ch(a)ch(b)+sh(a)sh(b)
th(a)+th(b)
= ch(a)ch(b)
× 1+th(a)th(b)
ch(a)ch(b)
On peut alors montrer toute une palette de formules de trigonométrie hyperbolique, on peut faire une
passerelle entre les deux mondes en remarquant que ch (ix) = cos (x), sh (ix) = i sin (x).
On remarque aussi que la fonction sh déÞnit une bijection de R vers R, nous allons déterminer sa fonction
réciproque :
h x2 i
x
−x
ex −e−x
−x (e ) −1
Soit donc à résoudre l’équation y = sh (x) = e −e
,
on
a
donc
=
e
, l’équation dévient donc
2
2
2
X 2 − 2yX − 1 = 0 où X = ex (donc X >³0). Ceci
³ s’écrit
´´ ³
³
´´
p
p
2
2
(X − y) − (1 + y ) = X − y + 1 + y 2
X − y − 1 + y2
=0
p
p
c
On a deux solutions X1 = y + 1 + y 2 et X2 = y − 1 + y 2 , le produit
) est négatif, donc les
a
p des racines (p
2
racines sont de signes opposés, la racine X1 est positive puisque X1 = 1 + y + y > y 2p
+ y = |y| + y ≥ 0,
x
la ³racine X2 est´ donc négative, donc à exclure puisque X > 0. On a donc e = y + 1 + y 2 , i.e. x =
p
√
¡
¢
ln y + 1 + y 2 . La fonction Argsh (x) = ln x + 1 + x2 est la fonction réciproque de la fonction sh.
De la même¡ façon,
la réciproque de la restriction de la fonction ch déÞnie
√ on déÞnit
¢
¡ 1+x ¢sur R+ , on trouve
1
2
Argch (x) = ln x + x − 1 et la réciproque de la fonction th par Argth (x) = 2 ln 1−x .
42
CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES
3.5
Fonctions circulaires et leurs réciproques
3.5.1
Preuve de limh→0 sin(h)
h = 1
Nous allons démontrer que limh→0+ sin(h)
= 1, pour la limite en 0− , il suffit de constater que la fonction
h
sin(h)
est une fonction paire.
h
Cette preuve se fait à l’aide d’un encadrement, pour l’obtenir, on compare des aires : il faut savoir que si
_
\.
l’on travaille en radian, la longueur de l’arc AM n’est autre que la mesure de l’angle AOM
En utilisant les notations de la Þgure, il est clair que les aires AOAM et AOAT des triangles OAM et OAT
_
et A _ celle du secteur angulaire OAM vériÞent les inégalités :
OAM
AOAM ≤ A
_
OAM
≤ AOAT
h
On a donc 12 sin (h) ≤ 2π
π ≤ 12 tan (h), ce qui nous donne sin (h) ≤ h ≤ tan (h). Comme on travaille
qu’avec des valeurs positives, on en conclut que l’on a sin(h)
≤ 1 et que cos (h) ≤ sin(h)
(ceci découle de
h
h
h ≤ tan (h)), moralité, on a
sin (h)
cos (h) ≤
≤1
h
Pour Þnir, il suffit de remarquer que limh→0+ cos (h) = 1, donc le théorème de l’encadrement nous permet
de conclure.
¥
3.5.2
Etude de la fonction cosinus
La fonction cos est déÞnie sur tout R, elle est paire et 2π périodique, on l’étudiera donc sur [0, π]. C’est
une fonction continue, montrons qu’elle est dérivable en tout x0 de [0.π]. Regardons le taux d’accroissement :
¢
¡ ¢
¡
¡ ¢
µ
¶
−2 sin x0 + h2 sin h2
cos (x0 + h) − cos (x0 )
h sin h2
=
= − sin x0 +
h
h
h
2
2
On a limh→0
sin( h2 )
h
2
¡
¢
= 1 d’après le paragraphe précédent et limh→0+ sin x0 + h2 = sin (x0 ) (on suppose que
la fonction sinus est continue). On en conclut donc que limh→0
la fonction cos est dérivable en x0 de nombre dérivé − sin (x0 ).
cos(x0 +h)−cos(x0 )
h
= − sin (x0 ), ceci signiÞe que
3.5. FONCTIONS CIRCULAIRES ET LEURS RÉCIPROQUES
43
On en conclut donc que la fonction cos est dérivable avec cos0 (x) = − sin (x). Sur ]0; π[, on a sin (x) > 0,
donc la fonction cos est strictement décroissante, dressons maintenant le tableau de variation sur une période :
x
−π
− sin (x)
0
cos (x)
−1
3.5.3
− π2
π
2
0
+
1
+
%
0
%
0
1
1
π
−
−1
−
&
0
&
0
-π
-π/2 0
−1
π/2
π
-1
La fonction Arc cosinus
On constate donc que la fonction cosinus est dérivable et strictement décroissante sur [0, π], elle déÞnit
donc une bijection de [0, π] sur [−1, 1], on appelle arc cosinus, notée Arc cos (x), sa réciproque, on a donc
∀x ∈ [0, π], ∀y ∈ [−1, 1] “y = cos (x)”⇐⇒“x = Arc cos (y)”
Soit x dans [−1, 1], on a donc cos (Arc cos (x)) = x, déterminons maintenant sin (Arc cos (x)) : tout d’abord
on remarque que Arc cos (x) appartient à [0, π] donc sin (Arc cos (x)) est
√ positif, puis de cos (Arc cos (x)) = x,
2
2
on en déduit que sin (Arc cos (x)) = 1 − x , donc sin (Arc cos (x)) = 1 − x2 , on a donc :
cos (Arc cos (x)) = x
sin (Arc cos (x)) =
√
1 − x2
tan (Arc cos (x)) =
√
1−x2
x
La fonction Arc cos est dérivable sur ]−1, 1[, avec
Arc cos0 (x) =
√ −1
1−x2
En effet, on a cos (Arc cos (x)) = x, en dérivant cette relation, on obtient − (Arc cos (x))0 sin (Arc cos (x)) = 1,
−1
d’où Arc cos0 (x) = √1−x
2 . On en déduit que la Arc cos est strictement décroissante (on peut aussi le deviner
puisque cos est croissante). On a tableau de variation et les courbes suivantes :
x
x
Arc cos (x)
y
c co
=
Ar
π
s (x
)
π/2
1
π/2
1
-1
π
cos
(
x)
−1
π
0
&
π
2
1
&
0
44
CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES
Pour tout y de [−1, 1], on a y = cos (Arc cos (y)), attention pour tout x de R, on n’a pas x = Arc cos (cos (x)),
cette égalité n’est vériÞée que sur [0, π]. ¡ ¡
¢¢
¡ ¡ 3π ¢¢
¢¢
¡ ¡ 3π
Prenons un premier exemple, Arc cos cos 2003π
+
250
×
2π
=
Arc
cos
cos 4
=
Arc
cos
cos
=
4
4
3π
,
ici,
on
a
utilisé
la
2π-périodicité
de
la
fonction
cos
(x),
mais
cela
ne
suffit
pas
toujours
par
exemple
4
¢¢
¡ ¡
¢¢
¡ ¡
¡ ¡
¢¢
¡ ¡
¢¢
+ 250 ¡× 2π ¢ = Arc¡ cos¢ cos − 3π
+ 251
× ¡2π =
Arc cos cos − 3π
Arc cos cos 2005π
= Arc cos cos 5π
,
4
4
4
4
¡
¢¢
3π
3π
2005π
3π
pour s’en sortir il faut ici remarquer que cos − 4 = cos 4 , donc Arc cos cos 4
= 4 , il faut bien
comprendre que la fonction f (x) = Arc cos (cos (x)) vaut x sur [O, π].
Etudions cette fonction : tout d’abord, elle est bien déÞnie sur R, elle est paire et 2π périodique, il
suffit donc de l’étudier sur [0, π], or sur cet intervalle, on sait que f (x) = x. Sur [−π, 0], on a f (x) =
Arc cos (cos (x)) = Arc cos (cos (−x)) = −x puisque −x est dans [0, π]. Sur [π, 2π], on a f (x) = 2π − x
puisque cos (x) = cos (x − 2π) = cos (2π − x) et 2π − x est dans [0, π].
x −π
Arc cos (cos (x))
0
−x
π
π
0 x π
2π
2π − x
0
3π
−2π − x
π
x
+
-2
π
x
+
2π
-x
-x
4π
-x
-π
3.5.4
2π
π
x
On a la représentation graphique suivante de la fonction f (x) :
π
0
2π
4π
La fonction sinus
La fonction sinus est déÞnie sur tout R, elle est impaire et 2π périodique,
donc sur [0; π].
¡ on πl’étudiera
¢
C’est une fonction dérivable, en effet, il suffit de remarquer que sin (x) = cos x − 2 . On a alors
³
³
π ´0
π´
sin x −
= − (− cos (x)) = cos (x)
sin (x) = − x −
2
2
0
¤
£
Sur 0; π2 , on a cos (x) > 0, donc la fonction sin y est strictement croissante, dressons maintenant le
tableau de variation sur une période :
x
−π
cos (x)
−1
sin (x)
− π2
−
0
+
0
&
−1
π
2
0
%
1
+
0
%
0
1
π
−
−1
&
0
-π
-π/2
1
0
π/2
π
3.5. FONCTIONS CIRCULAIRES ET LEURS RÉCIPROQUES
3.5.5
45
La fonction Arc sinus
£
¤
On constate donc
la fonction sinus est dérivable et strictement croissante sur − π2 , π2 , elle déÞnit donc
£ π que
¤
une bijection de − 2 , π2 sur [−1, 1], on appelle arc sinus, notée Arc sin (x), sa réciproque, on a donc
£
¤
∀x ∈ − π2 , π2 , ∀y ∈ [−1, 1] “y = sin (x)”⇐⇒“x = Arc sin (y)”
Soit x dans [−1, 1], on a donc sin (Arc sin
£ (x))
¤= x, déterminons maintenant cos (Arc sin (x)) : tout d’abord
π π
on remarque que Arc sin (x) appartient à − 2 , 2 donc cos (Arc sin (x)) est positif, puis de sin (Arc sin (x)) =
√
x, on en déduit que cos2 (Arc sin (x)) = 1 − x2 , donc cos (Arc sin (x)) = 1 − x2 , on a donc :
√
x
cos (Arc sin (x)) = 1 − x2 sin (Arc sin (x)) = x tan (Arc sin (x)) = √1−x
2
La fonction Arc sin est dérivable sur ]−1, 1[, avec
Arc sin0 (x) =
√ 1
1−x2
−1
Arc sin (x)
− π2
0
π/2
1
π
2
% 0 %
1
Arc
sin(
x)
y
=
x
x
En effet, on a sin (Arc sin (x)) = x, en dérivant cette relation, on obtient (Arc sin (x))0 cos (Arc sin (x)) = 1,
1
d’où Arc sin0 (x) = √1−x
2 . On en déduit que la Arc sin est strictement décroissante et on remarque que Arc sin
est impaire (on peut aussi le deviner puisque sin est croissante et impaire). On a tableau de variation et les
courbes suivantes :
)
x
(
sin
-π/2 -1
1 π/2
-1
-π/2
Pour tout y de [−1, 1], on a y = £sin (Arc
¤ sin (y)), attention pour tout x de R, on n’a pas x = Arc sin (sin (x)),
π π
cette égalité n’est vériÞée que sur − 2 , 2 ¡. ¡
¢¢
¡ ¡
¢¢
¡ ¡ ¢¢
Prenons un premier exemple, Arc sin sin 2001π
= Arc sin sin π4 + 250 × 2π = Arc sin sin π4 =
4
π
, ici, on
utilisé
4
¡ a¡ 2003π
¢¢ la 2π-périodicité
¡ ¡ 3π de la fonction
¢¢ sin (x), mais
¡ ¡ cela
¢¢ ne suffit pas toujours par exemple
3π
Arc sin ¡sin¢ 4 ¡ = Arc¢sin sin¡ ¢4 + 250 × 2π ¡= Arc
sin¢¢sin 4 , pour s’en sortir il faut ici remarquer
¡ 2003π
3π
π
que sin 3π
=
sin
π
−
=
sin
,
donc
Arc
sin
sin
= π4 , il faut bien comprendre que la fonction
4
4
4£
4
¤
f (x) = Arc sin (sin (x)) vaut x sur − π2 , π2 .
46
CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES
Etudions cette fonction : tout d’abord,
£ elle est
¤ bien déÞnie
£ π π ¤sur R, elle est impaire (inutile
£ π ici)
¤ et 2π
3π
périodique, il suffit donc de l’étudier sur £ − π2 , 3π
,
or
sur
−
,
,
on
sait
que
f
(x)
=
x.
Sur
,
, on a
2¤
2 2
2 2
π π
sin (x) = sin (π
x) et¤π − x appartient à − 2 , 2 , donc f (x) = π − x. Pour le sport, déterminons l’expression
£ −
3π
, − π2 : on a sin (x) = sin (2π + x) = sin (π − (2π + x)) = sin (−π − x) avec −π − x dans
de
f
(x)
sur
−
2
£ π π¤
− 2 , 2 , donc f (x) = −π − x. On en déduit :
x
− 3π
2
f (x)
π
2
π
2
− π2
−π − x − π2
x
3π
2
π
2
π−x
− π2
On a la représentation graphique suivante de la fonction f (x) :
x
-x
3.5.6
-x
-3π/2
π
-π
π/2
-π/2
π/2
-π/2
3π/2
La fonction tangente
©
ª
¤
£
S
sin(x)
La fonction tan (x) = cos(x)
est déÞnie sur R\ π2 + kπ, k ∈ Z = k∈Z − π2 + kπ, π2 + kπ . La fonction
£
£
tan est π périodique et impaire, on l’étudiera donc sur 0, π2 .
Elle est dérivable avec tan0 (x) =
cos2 (x)+sin2 (x)
cos2 (x)
tan0 (x) =
:
1
cos2 (x)
= 1 + tan2 (x)
On en déduit que tan est strictement croissante, on a limx→ π − tan (x) = +∞ puisque limx→ π − cos (x) = 0+ .
2
2
On a donc
x
− π2
tan0 (x)
+ π2
0
+
1
+
+∞
tan (x)
−∞
% 0
%
3.5. FONCTIONS CIRCULAIRES ET LEURS RÉCIPROQUES
3.5.7
¤
47
La fonction Arc tangente
¤
£
La fonction
tangente est dérivable et strictement croissante sur − π2 , π2 , elle déÞnit donc une bijection de
£
− π2 , π2 sur R, on appelle Arc tangente sa réciproque, notée Arc tan. On a donc
¤
£
∀x ∈ − π2 , π2 , ∀y ∈ R, “y = tan (x)”⇐⇒“x = Arc tan (y)”
Soit x dans R, on a donc tan (Arc tan
¤ (x)) £= x, déterminons maintenant cos (Arc tan (x)) : tout d’abord on
remarque que Arc tan (x) appartient à − π2 , π2 donc cos (Arc tan (x)) est positif, puis de tan (Arc tan (x)) = x,
1
on en déduit que cos2 (Arc1 tan(x)) = 1 + x2 , donc cos (Arc tan (x)) = √1+x
2 . EnÞn, on remarque que sin (θ) =
cos (θ) × tan (θ), on a donc :
cos (Arc tan (x)) =
√ 1
1+x2
sin (Arc tan (x)) =
√ x
1+x2
tan (Arc tan (x)) = x
La fonction Arc tan est dérivable sur ]−1, 1[, avec
Arc tan0 (x) =
1
1+x2
Arc tan (x)
− π2
0
+∞
+ π2
% 0 %
π/2
-π/2
x
=
−∞
y
x
tan(x)
En effet, on a tan (Arc tan (x)) = x, en dérivant cette relation, on obtient (Arc tan (x))0 (1 + tan2 (Arc tan (x))) =
1
1, d’où Arc tan0 (x) = 1+x
2 . On en déduit que la Arc tan est strictement décroissante et on remarque que
Arc tan est impaire (on peut aussi le deviner puisque tan est croissante et impaire).
On a tableau de variation et les courbes suivantes :
Arctan(x)
π/2
-π/2
48
CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES
Pour tout y de R, on a y = tan ¤(Arc tan
£ (y)), attention pour tout x de R, on n’a pas x = Arc tan (tan (x)),
cette égalité n’est vériÞée que sur¡ − π¡2 , π2 . ¢¢
¢¢
¡
¡ π ¢¢ π
¡
¡π
Prenons un exemple, Arc tan tan 2001π
+
500
×
π
=
Arc
tan
tan
=
Arc
tan
tan
= 4 , ici, on
4
4
4
utilise la π-périodicité
de
la
fonction
tan
(x),
cela
suffit
toujours
on
pose
la
fonction
f
(x)
=
Arc
tan
(tan (x)),
¤ π π£
elle vaut x sur − 2 , 2 .
ª S
£
©
¤
Etudions cette fonction : tout d’abord, elle est déÞnie sur R\ π2 + kπ, ¤k ∈ Z £ = k∈Z¤ − π2 +£kπ, π2 + kπ ,
elle est impaire¤(inutile
ici) et π périodique, il suffit donc de l’étudier sur¤ − π2 , π2£ , or sur − π2 , π2 , on sait que
£
f (x) = x. Sur π2 , 3π
, on a tan (x) = tan (x ¤− π) et π£− x appartient à − π2 , π2 , donc f (x) = x − π.¤ Pour le
2
£
π
π π
sport, déterminons l’expression de f (x) sur − 3π
,
−
:
on
a
tan
(x)
=
tan
(x
+
π)
avec
x
+
π
dans
−
,
,
2
2
2 2
donc f (x) = x + π. On en déduit :
x
− 3π
2
f (x) . . .
− π2
π
2
− π2
x+π
π
2
− π2
x
π
2
3π
2
− π2
x−π
π
2
− π2
. . . − π2 + kπ
π
2
...
− π2
x
x
x
-3π/2
-π
π/2
+
π
On a la représentation graphique suivante de la fonction f (x) :
-π/2
π/2
-π/2
3π/2
π
2
x − kπ
π
2
+ kπ
− π2 · · ·