3.4 Fonctions hyperboliques

3.4. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 39
3.4 Fonctions hyperboliques
3.4.1 Fonctions paires et impaires
Théorème 28 Soit fune fonction définie sur R(ou sur un ensemble de définition Dfsymétrique par rapport
à0). Il existe un unique couple de fonctions (p, i)composé d’une fonction paire et d’une fonction impaire tel
que :
∀x∈R,f(x)=p(x)+i(x).
Preuve. Elle est très jolie, elle se décompose en deux étapes : unicité et existence :
•Unicité : soit une fonction f, supposons qu’il existe un tel couple, on a alors
½f(x)=p(x)+i(x)
f(−x)=p(x)−i(x)
(il est naturel d’utiliser les propriétés sur les parités). On obtient alors sans difficulté en faisant la somme et
la différence p(x)=f(x)+f(−x)
2et i(x)=f(x)−f(−x) 2, ces deux écritures déterminent donc de manière unique
ces deux fonctions.
•Existence : soit une fonction f,ondéÞnit deux fonctions pet ipar : ∀x∈R,p(x)=f(x)+f(−x)
2et
i(x)=f(x)−f(−x)
2,onvériÞe alors facilement que pest une fonction paire, que iest une fonction impaire et
que f(x)=p(x)+i(x).
Remarque 29 Dans le cas où f(x)est un polynôme, p(x)est composée des puissances paires, y compris le
terme constant et i(x)des puissances impaires. On peut alors prouver très facilement que f(x)est paire si
et seulement si elle est uniquement composée de puissances paires.
Définition 30 Dans le cas où f(x)=ex,lafonctionps’appelle le cosinus hyperbolique, noté ch ou encore
cosh,lafonctionis’appelle le sinus hyperbolique, noté sh ou encore sinh.
ch (x)=ex+e−x
2et sh (x)=ex−e−x 2
3.4.2 Fonctions ch et sh
On a donc : ch :R→R
x7→ex+e−x
2
et sh :R→R
x7→ex−e−x
2
On a immédiatement le fait que ch et sh sont respectivement des fonctions paires et impaires. Ce sont
des fonctions dérivables, en tant que combinaisons linéaires de fonctions dérivables, avec : ch0(x)=sh (x)et
sh0(x)=ch (x).Commech (x)>0, on a immédiatement sh (x)strictement croissante, de plus sh (0) = 0
(puisque sh est impaire).
x−∞ 0+∞
ch (x)+1++∞
sh (x)%0%
−∞
On en déduit le signe sh (x),d’où
x−∞ 0+∞
sh (x)−0+
+∞+∞
ch (x)&%
1
c
cc
ch
hh
h(
((
(x
xx
x)
))
)
s
ss
s
h
hh
h(
((
(x
xx
x)

40 CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES
Pour le calcul des limites en +∞,ilsuffitdeconstaterquelimx→+∞e−x=0, par la même occasion, on
en déduit que limx→+∞
¡ch (x)−ex
2¢= limx→+∞sh (x)−ex 2=0. Géométriquement, cela se traduit par le fait
quelacourbereprésentativedelafonctionx→ex
2est asymptote aux courbes représentatives de ch (x)et de
sh (x), celle de ch étant au dessus et celle de sh en dessous.
On a ch (x)+sh (x)=ex(cf paragraphe précédent), on en déduit immédiatement que ch (−x)+sh (−x)=
ch (x)−sh (x)=e−x, en multipliant ces deux expressions on obtient :
ch2(x)−sh2(x)=(ch (x)+sh (x))(ch (x)−sh (x)) = exe−x=1.
ch2(x)−sh2(x)=1
On en déduit alors que les points M(t)de coordonnées (ch (t),sh(t)) sont sur la courbe d’équation X2−
Y2=1, cette courbe s’appelle une hyperbole. Les points M(t)sontlespointsd’abscissespositivesde
cette hyperbole, pour obtenir les points d’abscisses négatives, on considère les points N(t)de coordonnées
(−ch (t),sh(t)). On peut paramétrer l’hyperbole par
les équations paramétriques
½x=²ch (t)
y=sh (t)où ²=±1.
3.4.3 Tangente, cotangente hyperbolique
La fonction tangente hyperbolique th ou aussi tanh est déÞnie par th (x)=sh(x)
ch(x), elle est déÞnie sur tout
R, elle est impaire, elle est dérivable sur R,avecth0(x)=ch2(x)−sh2(x)
ch2(x)ce qui donne
th0(x)= 1
ch2(x)=1−th2(x)
La première expression nous donne immédiatement que th est une fonction croissante. Il reste à déterminer
maintenant la limite en +∞:onécritth (x)=ex−e−x
ex+e−x=ex(1−e−2x) ex(1+e−2x),onendéduitdelimx→+∞e−2x=0que
limx→+∞th (x)=1.Onpeutmaintenantdresserletableaudevariation:
x−∞ 0+∞
th0(x)+1+ 1
th (x)%0%
−1
La fonction cotangente hyperbolique coth ou aussi co tanh est déÞnie par coth (x)=ch(x)
sh(x), elle est déÞnie

3.4. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 41
sur tout R∗, elle est impaire, elle est dérivable sur R∗,aveccoth0(x)=sh2(x)−ch2(x)
sh2(x)ce qui donne
coth0(x)= −1
sh2(x)=1−coth2(x)
La première expression nous donne immédiatement
que coth est une fonction décroissante.
Il reste à déterminer maintenant les limites en +∞et en 0+:
on écrit coth (x)= 1
th(x),onendéduitquelimx→+∞coth (x)=1
et que limx→0+coth (x)=+∞.
On peut maintenant dresser le tableau de variation :
x−∞ 0+∞
coth0(x)− −
−1 +∞
coth (x)& &
−∞ 1
On a graphiquement :
Tout ce qui suit est hors programme mais les démonstrations sont très formatrices :
ch (a+b)=ch (a)ch (b)+sh (a)sh (b)
sh (a+b)=ch (a)sh (b)+ch (b)sh (a)
th (a+b)=th(a)+th(b)
1+th(a)th(b)
En effet, on a
ch (a+b)=1
2¡ea+b+e−a−b¢=1 2¡eaeb+e−ae−b¢
=1
2([ch (a)+sh (a)][ch (b)+sh (b)] + [ch (a)−sh (a)][ch (b)−sh (b)])
=ch (a)ch (b)+sh (a)sh (b)
On trouve de la même façon la formule pour le sh.Pourleth,onécrit:
th (a+b)=sh(a+b)
ch(a+b)
=ch(a)sh(b)+ch(b)sh(a)
ch(a)ch(b)+sh(a)sh(b)
=ch(a)ch(b)
ch(a)ch(b)×th(a)+th(b) 1+th(a)th(b)
On peut alors montrer toute une palette de formules de trigonométrie hyperbolique, on peut faire une
passerelle entre les deux mondes en remarquant que ch (ix)=cos(x),sh (ix)=isin(x).
On remarque aussi que la fonction sh déÞnit une bijection de Rvers R, nous allons déterminer sa fonction
réciproque :
Soit donc à résoudre l’équation y=sh (x)=ex−e−x
2, on a donc ex−e−x 2=e−xh(ex)2−1 2
i, l’équation dévient donc
X2−2yX −1=0où X=ex(donc X>0). Ceci s’écrit
(X−y)2−(1 + y2)=³X−³y+p1+y2´´³X−³y−p1+y2´´ =0
On a deux solutions X1=y+p1+y2et X2=y−p1+y2, le produit des racines ( c
a)est négatif, donc les
racines sont de signes opposés, la racine X1est positive puisque X1=p1+y2+y>py2+y=|y|+y≥0,
la racine X2est donc négative, donc à exclure puisque X>0. On a donc ex=y+p1+y2, i.e. x=
ln³y+p1+y2´.LafonctionArgsh (x)=ln¡x+√1+x2¢est la fonction réciproque de la fonction sh.
De la même façon, on déÞnit la réciproque de la restriction de la fonction ch déÞnie sur R+,ontrouve
Argch (x)=ln¡x+√x2−1¢et la réciproque de la fonction th par Argth (x)=1
2ln¡1+x 1−x
¢.

42 CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES
3.5 Fonctions circulaires et leurs réciproques
3.5.1 Preuve de limh→0sin(h)
h=1
Nous allons démontrer que limh→0+sin(h)
h=1, pour la limite en 0−,ilsuffit de constater que la fonction
sin(h)
hest une fonction paire.
Cette preuve se fait à l’aide d’un encadrement, pour l’obtenir, on compare des aires : il faut savoir que si
l’on travaille en radian, la longueur de l’arc _ AM n’est autre que la mesure de l’angle \ AOM.
En utilisant les notations de la Þgure, il est clair que les aires AOAM et AOAT des triangles OAM et OAT
et A_
OAM celle du secteur angulaire _
OAM vériÞent les inégalités :
AOAM ≤A_
OAM ≤AOAT
On a donc 1
2sin(h)≤h 2ππ≤1 2tan(h), ce qui nous donne sin(h)≤h≤tan(h). Comme on travaille
qu’avec des valeurs positives, on en conclut que l’on a sin(h)
h≤1et que cos(h)≤sin(h) h(ceci découle de
h≤tan(h)), moralité, on a
cos(h)≤sin(h)
h≤1
Pour Þnir, il suffit de remarquer que limh→0+cos(h)=1, donc le théorème de l’encadrement nous permet
de conclure. ¥
3.5.2 Etude de la fonction cosinus
La fonction cos est déÞnie sur tout R, elle est paire et 2πpériodique, on l’étudiera donc sur [0,π].C’est
une fonction continue, montrons qu’elle est dérivable en tout x0de [0.π]. Regardons le taux d’accroissement :
cos(x0+h)−cos(x0)
h=−2sin¡x0+h
2¢sin¡h 2¢
h=−sinµ
x0+h
2
¶sin¡h
2¢
h
2
On a limh→0sin(h
2)
h
2=1d’après le paragraphe précédent et limh→0+sin¡x0+h
2¢=sin(x0)(on suppose que
la fonction sinus est continue). On en conclut donc que limh→0cos(x0+h)−cos(x0)
h=−sin(x0),cecisigniÞeque
la fonction cos est dérivable en x0de nombre dérivé −sin(x0).

3.5. FONCTIONS CIRCULAIRES ET LEURS RÉCIPROQUES 43
On en conclut donc que la fonction cos est dérivable avec cos0(x)=−sin(x).Sur]0;π[,onasin(x)>0,
donc la fonction cos est strictement décroissante, dressons maintenant le tableau de variation sur une période :
x−π−π
20π 2π
−sin(x)0+1+0−−1−0
1
cos(x)%0%&0&
−1−1
-/2
ππ
-
ππ
/2
-1
0
1
3.5.3 La fonction Arc cosinus
On constate donc que la fonction cosinus est dérivable et strictement décroissante sur [0,π], elle déÞnit
donc une bijection de [0,π]sur [−1,1], on appelle arc cosinus, notée Arc cos(x), sa réciproque, on a donc
∀x∈[0,π],∀y∈[−1,1] “y=cos(x)”⇐⇒“x=Arc cos(y)”
Soit xdans [−1,1], on a donc cos(Arc cos(x)) = x, déterminons maintenant sin(Arc cos(x)) :toutd’abord
on remarque que Arc cos(x)appartient à [0,π]donc sin(Arc cos(x)) est positif, puis de cos(Arc cos(x)) = x,
on en déduit que sin2(Arc cos(x)) = 1 −x2,doncsin(Arc cos(x)) = √1−x2,onadonc:
cos(Arc cos(x)) = xsin(Arc cos(x)) = √1−x2tan(Arc cos(x)) = √1−x2
x
La fonction Arc cos est dérivable sur ]−1,1[,avec
Arc cos0(x)= −1
√1−x2
En effet, on a cos(Arc cos(x)) = x, en dérivant cette relation, on obtient −(Arc cos(x))0sin(Arc cos(x)) = 1,
d’où Arc cos0(x)= −1
√1−x2. On en déduit que la Arc cos est strictement décroissante (on peut aussi le deviner
puisque cos est croissante). On a tableau de variation et les courbes suivantes :
cos(x)
Arccos(x)
1
-1
π
/2
π
π
/2
y = x
π
1
x−101
π
Arc cos(x)&π
2&0