Texte complet

MU DONG LIU
Introduites par Newton et Leibniz à la seconde moitié du 17 siècle (Monka, 2004), les intégrales
e
ont toujours occupé une place déterminante dans le domaine scientifique. Par exemple, plusieurs
équations fréquemment utilisées en électromagnétisme, telles la formule du champ magnétique autour
d’un fil infini ou celle du champ électrique créé par une distribution de charge continue, sont toutes
exprimées ou démontrées par des intégrales (Lafrance & Parent, 2014). Ainsi, le scientifique doit
posséder une connaissance assez approfondie de ce procédé d’anti-dérivation dans la résolution des
problèmes. Comme énoncée dans le manuel de Calcul intégral utilisé au collège Jean-de-Brébeuf, une
technique d’intégration est « un procédé qui [reformule] une intégrale donnée sous une forme
[permettant] d’identifier plus facilement la famille de primitives recherchée » (Bérubé & Hodgson, 2012)
et simultanément, d’effectuer une plus grande variété d’intégrales indéfinies ou définies. Dans cet article,
j’aimerais introduire de nouvelles techniques d’intégration beaucoup plus sophistiquées qui peuvent
résoudre des intégrales que vous n’avez jamais rencontrées auparavant.
Pour ne pas révéler trop rapidement le principal sujet de cet article, je dévoilerai à l’avance à quel
point ces intégrales, qui serviront d’exemples pour chaque technique d’intégration présentée, nous sont
peu familières. Je vous préviens que vous ne pourrez pas les résoudre seulement avec les méthodes
apprises dans le cours de calcul intégral :
∫ √𝑒 3𝑥 − 3 𝑑𝑥
∫
1
𝑑𝑥
3
√𝑥 + √𝑥 2
1
∫
𝑑𝑥
1 + sin2 𝑥
∫
1
𝑑𝑥
sin(𝑥) − cos(𝑥) − 2
Pour les plus curieux et intéressés, au fil de l’article, je mettrais d’ailleurs des intégrales qui peuvent se
résoudre à l’aide de chaque méthode d’intégration présentée à la fin de chaque section.
-1-
PREMIÈRE TECHNIQUE D’INTÉGRATION
CHANGEMENT DE VARIABLE DÉFINI PAR UN RADICAL
Considérons la première intégrale. À première vue, l’intégrale ne paraît vraiment pas déroutante,
car l’expression est seulement constituée d’un radical d’une différence. Cependant, si on réfléchit bien, il
n’y a aucune simplification algébrique à faire, car l’exponentielle est prisonnière d’une racine carrée. On
ne peut utiliser le changement de variable traditionnel et la substitution trigonométrique, car l’opération
la plus extérieure dans celle-ci est la racine carrée qui englobe tout le contenu de l’intégrale et la dérivée
de l’intérieur (qui est dans ce cas 𝑒 3𝑥 ) n’est pas du tout présente. En ce qui concerne l’intégration par
parties, on peut automatiquement rejeter cette méthode, car elle complique l’intégrale à résoudre. Voici
une bonne méthode : poser la variable 𝑢 (lettre couramment utilisée dans un changement de variable
ordinaire) comme l’expression du radical contenue dans l’intégrale et isoler la variable 𝑥 pour ensuite
trouver la différentielle de celle-ci :
𝑢 = √𝑒 3𝑥 − 3
, d’où 𝑥
=
1
3
ln(𝑢2 + 3)
et on a
𝑑𝑥 =
2
∙
𝑢
3 𝑢2 +3
𝑑𝑢
Dans ce cas-ci, le radical est tout le contenu de l’intégrale.
Après remplacement, on obtient :
∫ √𝑒 3𝑥 − 3 𝒅𝒙 = ∫ 𝑢 ∙
𝟐
𝒖
2
𝑢2
∙ 𝟐
𝒅𝒖 = ∫ 2
𝑑𝑢
𝟑 𝒖 +𝟑
3 𝑢 +3
Comme illustré ci-dessous, la beauté d’un changement de variable réside dans le fait de changer
complètement l’expression de l’intégrale à résoudre sans changer l’intégrale elle-même. En effet,
intuitivement, on n’aurait jamais pensé que la racine carrée d’une telle expression aurait donné une
fraction purement algébrique. Pour la suite du problème, il existe en plus un raccourci qui permet
d’éviter l’étape de la division polynomiale.
-2-
Intégrale
=
=
=
2
𝑢2
∫ 2
𝑑𝑢
3 𝑢 +3
2 𝑢2 + 3 − 3
∫
𝑑𝑢
3
𝑢2 + 3
Raccourci : on ajoute 3 au numérateur pour qu’il soit identique au
dénominateur. Pour préserver l’égalité, il va falloir aussi enlever
3.
2
3
∫ (1 − 2
) 𝑑𝑢
3
𝑢 +3
À l’aide des propriétés des fractions, on obtient deux termes. Bien
sûr, si on avait utilisé la division polynomiale, on aurait abouti au
même résultat.
2
2
∫ 1 𝑑𝑢 − ∫
3
3
=
Explication
3
𝑢2
𝑑𝑢
3 ( 3 + 1)
1
∙ √3
2
2
√3
= 𝑢 − ∫
𝑑𝑢
3
3
𝑢 2
( ) +1
√3
=
2
2√3
𝑢
𝑢 −
arctan ( ) + 𝐶
3
3
√3
Pour l’expression à droite, on remarque la forme est très
semblable à un arctangente, alors on factorise le 3 pour la rendre
plus explicite.
Pour rendre la forme de l’arctangente encore plus explicite, on a
explicité l’exposant 2. Pour le numérateur, il faut créer la dérivée
𝑢
1
de l’intérieur de qui est . La racine carrée de 3 apparaît au
√3
√3
numérateur pour préserver l’égalité en multipliant par son inverse.
Finalement on applique directement la règle d’intégration de
l’arctangente. Ne pas oublier la constante d’intégration.
Par la suite, il reste seulement à remplacer 𝑢 par des termes en 𝑥 en se référant au changement
de variable précédemment posé (𝑢 = √𝑒 3𝑥 − 3 ).
Ainsi, on obtient après remplacement :
∫ √𝑒 3𝑥 − 3 𝑑𝑥 =
2
2√3
√𝑒 3𝑥 − 3
√𝑒 3𝑥 − 3 −
arctan (
)+𝐶
3
3
√3
-3-
Pour résumer, ce changement de variable est souvent utile pour faire « disparaître » des radicaux
d’ordre quelconque (généralement d’ordres 2 ou 3). En effet, l’étape de l’isolement de la variable
indépendante et celle du calcul de la différentielle de 𝑥 permettent de se débarrasser des racines. Voici
d’ailleurs quelques intégrales qui peuvent se résoudre par cette méthode1 :
𝑥2
∫ 𝑥 (1 + √1 + 𝑥 ) 𝑑𝑥
∫3
𝑑𝑥
√2 + 𝑥
∫
𝑥
1 + √1 + 𝑥
𝑑𝑥
COMPLÉMENT : VARIANTE DU CHANGEMENT DE VARIABLE DÉFINI PAR UN RADICAL
Cependant, un des défauts du premier changement de variable expliqué précédemment est le
suivant : il permet seulement de résoudre une intégrale comportant un seul radical dans son expression.
Par exemple, si le dénominateur est une somme ou une différence de radicaux, il est très difficile, voire
impossible, d’effectuer l’intégrale si l’on suivait la même méthode. En voici un exemple :
∫
1
3
√𝑥 + √𝑥 2
𝑑𝑥
Le lecteur pourrait se demander s’il est préférable de poser 𝑢 comme la racine carrée ou comme
la racine cubique. L’astuce consiste à plutôt définir la variable 𝑢 comme la racine 6e de 𝑥 ; l’ordre 6 du
radical étant obtenu comme le PPCM des deux ordres des radicaux présents dans l’intégrale, afin de les
6
« éliminer ». Ainsi, on pose 𝑢 = √𝑥 et on adopte la démarche expliquée précédemment :
6
𝑢 = √𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑢6 ⇒ 𝑑𝑥 = 6𝑢5 𝑑𝑢
1
Notez qu’il est d’ailleurs possible de les résoudre avec un changement de variable ordinaire.
-4-
Voici la suite du problème :
Intégrale
=∫
1
√𝑢6
+
√(𝑢6 )2
∙ 6𝑢5 𝑑𝑢
Après remplacement, on obtient cette intégrale.
𝑢5
𝑑𝑢
𝑢3 + 𝑢4
Les exposants du dénominateur sont obtenus en
raison des lois des exposants.
= 6∫
𝑢3 ∙ 𝑢2
𝑑𝑢
𝑢3 (1 + 𝑢)
On factorise le facteur 𝑢3 du dénominateur pour le
simplifier avec le numérateur.
=6 ∫
𝑢2 − 1 + 1
𝑑𝑢
1+𝑢
Ici, le même raccourci du premier exemple a été
encore utilisé pour éviter un second changement de
variable. On soustrait ainsi 1 pour obtenir la
différence de carrée.
(𝑢 + 1)(𝑢 − 1)
1
𝑑𝑢 + ∫
𝑑𝑢)
(1 + 𝑢)
(1 + 𝑢)
On factorise celle-ci dans le premier terme ce qui
permet une simplification avec le dénominateur.
= 6∫
= 6 (∫
3
Explication
𝑢2
= 6 ( − 𝑢 + ln|1 + 𝑢|) + 𝐶
2
3
6
6
= 3 √𝑥 − 6 √𝑥 + 6 ln(1 + √𝑥) + 𝐶
La valeur absolue a été enlevée, car pour
∀ 𝑥 ≥ 0 (restriction de la racine d’ordre pair),
6
l’expression 1 + √𝑥 est forcément positive.
Voici d’autres intégrales qui se résolvent par cette méthode :
1
∫6
𝑑𝑥
√𝑥 5 + √𝑥
∫
-5-
1
√𝑥 3 + √𝑥
𝑑𝑥
DEUXIÈME TECHNIQUE D’INTÉGRATION
LES RÈGLES DE BIOCHE
Précédemment, on a vu qu’une intégrale comportant des radicaux peut souvent se simplifier en
utilisant un changement de variable très particulier. Pour cette prochaine méthode d’intégration, on
étudiera un tout nouveau type d’intégrale dont la fonction s’exprime rationnellement avec des fonctions
trigonométriques, surtout avec des sinus et des cosinus. On note généralement une telle fonction de la
manière suivante : 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) (Térouanne, s.d.). Malheureusement, les techniques d’intégration
exposées dans le manuel Calcul Intégral ne sont pas suffisantes pour résoudre toutes les intégrales
possédant cette caractéristique. Je mets d’ailleurs l’accent sur celles où le dénominateur de l’intégrande
est une somme ou une différence de fonctions trigonométriques.
Par exemple, observez cette intégrale :
∫
1
𝑑𝑥
1 + sin2 𝑥
Dans ce cas-ci, aucune dérivée de l’intérieur n’est présente et aucune identité trigonométrique ou
simplification algébrique ne permettent de la réduire en une expression plus simple. La clé de la solution
est la suivante : les règles de Bioche.2 D’une part, il s’agit d’une série de remplacements à effectuer
dans l’intégrale afin de nous guider vers le meilleur changement de variable à appliquer. Il s’agit
d’observer si l’expression contenue dans l’intégrale reste inchangée après certaines opérations de
substitution très précises. D’autre part, si l’expression contenue dans celle-ci reste invariante après ces
remplacements, alors le changement de variable qui lui est associé est approprié. On effectue ensuite
ce changement. Voici un tableau résumé :
2
Si l’intégrale reste invariante après ces
Alors, le changement de variable à appliquer pour
opérations de substitution,
résoudre cette intégrale est le suivant :
𝑥 → −𝑥 , 𝑑𝑥 → −𝑑𝑥
𝑢 = cos(𝑥) , 𝑑𝑢 = − sin(𝑥) 𝑑𝑥
𝑥 → 𝜋 − 𝑥 , 𝑑𝑥 → −𝑑𝑥
𝑢 = sin(𝑥) , 𝑑𝑢 = cos(𝑥) 𝑑𝑥
𝑥 → 𝜋 + 𝑥 , 𝑑𝑥 → 𝑑𝑥
𝑢 = tan(𝑥) , 𝑑𝑢 = sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = (1 + tan2 𝑥)𝑑𝑥
Nommés en l’honneur du mathématicien français Charles Bioche (1859-1949).
-6-
Reprenons l’exemple introductif :
∫
1
𝑑𝑥
1 + sin2 𝑥
Effectuons les opérations de substitution :
Substitutions à tester
Intégrale
∫
𝑥 → −𝑥 , 𝑑𝑥 → −𝑑𝑥
Invariante?
𝟏
𝟏
(−𝒅𝒙) = ∫ −
𝒅𝒙
𝟐
𝟏 + 𝐬𝐢𝐧 (−𝒙)
𝟏 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙
NON
car sin2(−𝑥) = (− sin(𝑥))2 = sin2 𝑥
∫
𝑥 → 𝜋 − 𝑥 , 𝑑𝑥 → −𝑑𝑥
𝟏
𝟏
(−𝒅𝒙)
=
∫
−
𝒅𝒙
𝟏 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝝅 − 𝒙)
𝟏 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙
NON
car sin2(𝜋 − 𝑥) = (sin(𝑥))2 = sin2 𝑥
𝑥 → 𝜋 + 𝑥 , 𝑑𝑥 → 𝑑𝑥
∫
𝟏
𝟏
𝒅𝒙
=
∫
𝒅𝒙
𝟏 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝝅 + 𝒙)
𝟏 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙
OUI
car sin2(𝜋 + 𝑥) = (− sin(𝑥))2 = sin2 𝑥
Avec les deux premiers remplacements, on voit qu’il y a un signe négatif qui est apparu. Par
conséquent, l’intégrale change avec les deux premières substitutions énoncées par les règles de Bioche,
ce qui confirme que les changements de variable 𝑢 = cos(𝑥) et 𝑢 = sin(𝑥) ne peuvent s’appliquer.
Heureusement, pour la dernière, même si on a remplacé 𝑥 par 𝜋 + 𝑥 (d’où le fait que 𝑑𝑥 reste tel quel),
l’expression dans l’intégrale n’a pas changé, ce qui confirme que le changement de variable approprié
est 𝑢 = tan(𝑥). Effectuons ce changement de variable :
Intégrale
∫
Explication
1
𝑑𝑥
1 + sin2 𝑥
Puisqu’on a identifié le changement de variable
=∫
1
1⁄cos 2 𝑥
∙
𝑑𝑥
1 + sin2 𝑥 1⁄cos 2 𝑥
𝑢 = tan(𝑥) , il s’agit de réécrire l’intégrande en
fonction de tan(𝑥). Ainsi, on multiplie par le facteur
1
cos2 𝑥
1⁄cos2 𝑥
=∫
𝑑𝑥
1
sin2 𝑥
+
cos2 𝑥 cos2 𝑥
=∫
pour apparaître une tangente.
Distribution du facteur dans le dénominateur.
sec 2 𝑥
𝑑𝑥
sec 2 𝑥 + tan2 𝑥
-7-
=∫
sec 2 𝑥 𝑑𝑥
1 + 2 tan2 𝑥
=∫
𝑑𝑢
1 + 2𝑢2
√2 ∙
=∫
1
√2
1 + (√2𝑢)
=
=
1
√2
D’après l’identité sec 2 𝑥 = 1 + tan2 𝑥
2
𝑑𝑢
arctan(√2𝑢) + 𝐶
√2
arctan(√2 tan(𝑥)) + 𝐶
2
Voici une autre intégrale pouvant se résoudre avec les règles de Bioche :
∫
cos3 𝑥
𝑑𝑥
1 + sin 𝑥
-8-
TROISIÈME TECHNIQUE D’INTÉGRATION
LE CHANGEMENT DE VARIABLE « UNIVERSEL »
Pour terminer, cette dernière technique d’intégration n’est qu’une suite des règles de Bioche. En
effet, un problème que l’on peut rencontrer est que l’expression de l’intégrale ne reste invariante pour
aucune des trois substitutions énumérées précédemment. Une solution est la suivante : la substitution
« universelle ». Par exemple, observez l’intégrale suivante :
∫
1
𝑑𝑥
sin(𝑥) − cos(𝑥) − 2
Ici, elle paraît impossible à résoudre à première vue, car aucune dérivée de l’intérieur n’est
présente et aucune simplification algébrique ne s’applique. Si la soustraction du nombre deux n’était pas
présente dans le dénominateur, on pourrait le multiplier par le conjugué (sin 𝑥 + cos 𝑥) et espérer s’en
tirer avec d’autres identités trigonométriques. Voici une méthode pouvant être utilisée : il s’agit du
𝑥
changement de variable « universel » 𝑢 = tan (2) (Piskounov, 1980) . En effet, selon les identités
trigonométriques énumérées ci-dessous, les fonctions trigonométriques peuvent toutes s’écrire en
𝑥
termes de 𝑢 = tan (2) :
sin(𝑥) =
2𝑢
1 + 𝑢2
cos(𝑥) =
1 − 𝑢2
1 + 𝑢2
tan(𝑥) =
2𝑢
1 − 𝑢2
Puisque 𝑥 = 2 arctan(𝑢), on obtient le différentielle :
𝑑𝑥 =
2
𝑑𝑢
1 + 𝑢2
À la lumière de ces égalités, on peut effectuer n’importe quelle intégrale comportant une fonction
rationnelle composée de sinus et de cosinus. Il s’agit tout simplement de remplacer le sinus, le cosinus
et la différentielle de 𝑥 par les termes ci-dessus et on transforme l’intégrale en une fonction rationnelle
algébrique (à condition de pouvoir trouver la primitive de la fonction rationnelle obtenue). C’est pourquoi
ce changement de variable est qualifié d’« universelle ». Malheureusement, cette méthode a ses limites
car elle est inefficace pour résoudre des intégrales comportant un mélange de termes en 𝑥 (la variable
indépendante) et de termes trigonométriques comme celle-ci :
∫
𝑥
𝑑𝑥
cos 2 𝑥
-9-
Tout d’abord, vérifions que l’intégrale n’est pas invariante après les trois remplacements dans les règles
de Bioche :
Substitutions à tester
Intégrale invariante?
∫
𝑥 → −𝑥 , 𝑑𝑥 → −𝑑𝑥
1
1
(−𝑑𝑥) = ∫ −
𝑑𝑥
sin(−𝑥) − cos(−𝑥) − 2
−sin(𝑥) − cos(𝑥) − 2
NON
∫
𝑥 → 𝜋 − 𝑥 , 𝑑𝑥 → −𝑑𝑥
1
1
(−𝑑𝑥) = ∫ −
𝑑𝑥
sin(𝜋 − 𝑥) − cos(𝜋 − 𝑥) − 2
sin(𝑥) + cos(𝑥) − 2
NON
∫
𝑥 → 𝜋 + 𝑥 , 𝑑𝑥 → 𝑑𝑥
1
1
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥
sin(𝜋 + 𝑥) − cos(𝜋 + 𝑥) − 2
−sin(𝑥) + cos(𝑥) − 2
NON
Puisqu’on ne peut appliquer les règles de Bioche, alors on utilise le changement de variable
« universelle » :
Intégrale
∫
=∫
=∫
Explication
1
𝑑𝑥
sin(𝑥) − cos(𝑥) − 2
1
2
∙
𝑑𝑢
2
2𝑢
1−𝑢
1 + 𝑢2
−
−2
1 + 𝑢2 1 + 𝑢2
(1 + 𝑢2 )
2
∙
𝑑𝑢
2𝑢 − (1 − 𝑢2 ) − 2(1 + 𝑢2 ) (1 + 𝑢2 )
= −2 ∫
1
𝑑𝑢
𝑢2 − 2𝑢 + 3
= −2 ∫
1
𝑑𝑢
(𝑢 − 1)2 + 2
= −2 ∫
1
𝑢−1 2
2 ((
) + 1)
√2
1⁄ ∙ √2
√2
= −∫
𝑑𝑢
𝑢−1 2
(
) +1
√2
Application d’une
dénominateur.
complétion
de
carré
au
𝑑𝑢
Même démarche concernant l’arctangente pour
le premier exemple.
- 10 -
𝑢−1
= −√2 arctan (
)+𝐶
√2
𝑥
tan (2) − 1
= −√2 arctan (
)+𝐶
√2
Autre intégrale qui se résout à l’aide de la substitution « universelle » :
∫
1
𝑑𝑥
1 + cos 𝑥
Exercice supplémentaire : démontrez les trois identités de la substitution « universelle » :
𝑥
2 tan (2)
sin(𝑥) =
𝑥
1 + tan2 (2)
𝑥
1 − tan2 (2)
cos(𝑥) =
𝑥
1 + tan2 (2)
𝑥
2 tan (2)
tan(𝑥) =
𝑥
1 − tan2 (2)
En utilisant seulement ces identités trigonométriques :
sin(2𝐴) = 2 sin(𝐴) cos(𝐴)
sec 2 𝑥 = 1 + tan2 𝑥
tan(𝑥) =
sin(𝑥)
cos(𝑥)
sec(𝑥) =
1
cos(𝑥)
En conclusion, les intégrales analysées dans cet article se présentent sous deux formes
principales : les intégrales comportant une ou plusieurs radicaux algébriques et celles contenant
principalement des fonctions trigonométriques. Toutefois, malgré l’efficacité des techniques d’intégration
présentées ici, il reste quand même des intégrales dont le résultat ne peut pas s’exprimer par des
fonctions élémentaires, comme les suivantes :
∫ 𝑥 tan(𝑥) 𝑑𝑥
∫ sin(𝑥 2 ) 𝑑𝑥
∫ √1 + 𝑥 4 𝑑𝑥
REMERCIEMENTS
Tout d’abord, j’aimerais remercier M. Louis-Philippe Giroux pour la vérification de mon article et
pour m’avoir aidé dans la rédaction de celui-ci. De plus, un grand merci à Mme Josée Bérubé pour être
la première professeure à m’avoir enseigné rigoureusement les intégrales. Je tiens à remercier d’ailleurs
toute l’équipe de Perceptum pour m’avoir donné l’occasion d’écrire cet article.
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RÉPONSES AUX INTÉGRALES
𝒙𝟐
3
12
3
5
2
∫𝟑
𝒅𝒙 = (2 + 𝑥) ⁄8 − (2 + 𝑥) ⁄3 + 6(2 + 𝑥) ⁄3 + 𝐶
8
5
√𝟐 + 𝒙
2
2
𝑥2
5⁄
3⁄
2
2
∫ 𝒙 (𝟏 + √𝟏 + 𝒙 ) 𝒅𝒙 = (1 + 𝑥) − (1 + 𝑥) + + 𝐶
5
3
2
∫
𝒙
𝒅𝒙 =
2
3
(1 + 𝑥) ⁄2 − 𝑥 + 𝐶
3
𝟏 + √𝟏 + 𝒙
𝟏
6
6
∫𝟔
𝒅𝒙 = 6( √𝑥 − arctan( √𝑥 )) + 𝐶
√𝒙𝟓 + √𝒙
𝟏
∫
𝒅𝒙 = 2 arctan(√𝑥) + 𝐶
√𝒙𝟑 + √𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙
−1 2
∫
𝒅𝒙 =
sin 𝑥 + sin(𝑥) + 𝐶
𝟏 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙
2
∫
𝟏
𝑥
𝒅𝒙 = tan ( ) + 𝐶
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙
2
BIBLIOGRAPHIE
1. Bérubé, J., & Hodgson, M.-I. (2012). Calcul Intégral. Montréal.
2. Lafrance, R., & Parent, J. (2014). Physique 2 - Électricité et Magnétisme. Montréal, Québec,
Canada: Chenelière Éducation.
3. Monka, Y. (2004). M@ths et tiques. Récupéré sur http://www.maths-ettiques.fr/index.php/histoire-des-maths/mathematiciens-celebres/leibniz
4. Piskounov, N. (1980). Calcul différentiel et intégral, tome I. Moscou: Éditions MIR.
5. Térouanne, S. (s.d.). Intégration : Règles de Bioche. Récupéré sur http://iut-tice.ujfgrenoble.fr/tice-espaces/GTE/ster/wupload/File/BIOCHE.pdf
SITE SUGGÉRÉ
 Michel, J.-C. (2015, Juillet). Récupéré sur : http://www.gecif.net/
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IMAGE ACCOMPAGNANT L’ARTICLE
Source : https://fr.khanacademy.org/math/integral-calculus/sequences-series-approx-calc
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