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MU DONG LIU
Introduites par Newton et Leibniz à la seconde moitié du 17e siècle (Monka, 2004), les intégrales
ont toujours occupé une place déterminante dans le domaine scientifique. Par exemple, plusieurs
équations fréquemment utilisées en électromagnétisme, telles la formule du champ magnétique autour
d’un fil infini ou celle du champ électrique créé par une distribution de charge continue, sont toutes
exprimées ou démontrées par des intégrales (Lafrance & Parent, 2014). Ainsi, le scientifique doit
posséder une connaissance assez approfondie de ce procédé d’anti-dérivation dans la résolution des
problèmes. Comme énoncée dans le manuel de Calcul intégral utilisé au collège Jean-de-Brébeuf, une
technique d’intégration est « un procédé qui [reformule] une intégrale donnée sous une forme
[permettant] d’identifier plus facilement la famille de primitives recherchée » (Bérubé & Hodgson, 2012)
et simultanément, d’effectuer une plus grande variété d’intégrales indéfinies ou définies. Dans cet article,
j’aimerais introduire de nouvelles techniques d’intégration beaucoup plus sophistiquées qui peuvent
résoudre des intégrales que vous n’avez jamais rencontrées auparavant.
Pour ne pas révéler trop rapidement le principal sujet de cet article, je dévoilerai à l’avance à quel
point ces intégrales, qui serviront d’exemples pour chaque technique d’intégration présentée, nous sont
peu familières. Je vous préviens que vous ne pourrez pas les résoudre seulement avec les méthodes
apprises dans le cours de calcul intégral :
Pour les plus curieux et intéressés, au fil de l’article, je mettrais d’ailleurs des intégrales qui peuvent se
résoudre à l’aide de chaque méthode d’intégration présentée à la fin de chaque section.

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PREMIÈRE TECHNIQUE D’INTÉGRATION
CHANGEMENT DE VARIABLE DÉFINI PAR UN RADICAL
Considérons la première intégrale. À première vue, l’intégrale ne paraît vraiment pas déroutante,
car l’expression est seulement constituée d’un radical d’une différence. Cependant, si on réfléchit bien, il
n’y a aucune simplification algébrique à faire, car l’exponentielle est prisonnière d’une racine carrée. On
ne peut utiliser le changement de variable traditionnel et la substitution trigonométrique, car l’opération
la plus extérieure dans celle-ci est la racine carrée qui englobe tout le contenu de l’intégrale et la dérivée
de l’intérieur (qui est dans ce cas ) n’est pas du tout présente. En ce qui concerne l’intégration par
parties, on peut automatiquement rejeter cette méthode, car elle complique l’intégrale à résoudre. Voici
une bonne méthode : poser la variable  (lettre couramment utilisée dans un changement de variable
ordinaire) comme l’expression du radical contenue dans l’intégrale et isoler la variable  pour ensuite
trouver la différentielle de celle-ci :
 , d’où 
 et on a 
Dans ce cas-ci, le radical est tout le contenu de l’intégrale.
Après remplacement, on obtient :
Comme illustré ci-dessous, la beauté d’un changement de variable réside dans le fait de changer
complètement l’expression de l’intégrale à résoudre sans changer l’intégrale elle-même. En effet,
intuitivement, on n’aurait jamais pensé que la racine carrée d’une telle expression aurait donné une
fraction purement algébrique. Pour la suite du problème, il existe en plus un raccourci qui permet
d’éviter l’étape de la division polynomiale.

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Intégrale
Explication
Raccourci : on ajoute 3 au numérateur pour qu’il soit identique au
dénominateur. Pour préserver l’égalité, il va falloir aussi enlever
3.
À l’aide des propriétés des fractions, on obtient deux termes. Bien
sûr, si on avait utilisé la division polynomiale, on aurait abouti au
même résultat.
Pour l’expression à droite, on remarque la forme est très
semblable à un arctangente, alors on factorise le 3 pour la rendre
plus explicite.
Pour rendre la forme de l’arctangente encore plus explicite, on a
explicité l’exposant 2. Pour le numérateur, il faut créer la dérivée
de l’intérieur de 
 qui est  . La racine carrée de 3 apparaît au
numérateur pour préserver l’égalité en multipliant par son inverse.
Finalement on applique directement la règle d’intégration de
l’arctangente. Ne pas oublier la constante d’intégration.
Par la suite, il reste seulement à remplacer  par des termes en  en se référant au changement
de variable précédemment posé ( ).
Ainsi, on obtient après remplacement :

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Pour résumer, ce changement de variable est souvent utile pour faire « disparaître » des radicaux
d’ordre quelconque (généralement d’ordres 2 ou 3). En effet, l’étape de l’isolement de la variable
indépendante et celle du calcul de la différentielle de  permettent de se débarrasser des racines. Voici
d’ailleurs quelques intégrales qui peuvent se résoudre par cette méthode
1
:
COMPLÉMENT : VARIANTE DU CHANGEMENT DE VARIABLE DÉFINI PAR UN RADICAL
Cependant, un des défauts du premier changement de variable expliqué précédemment est le
suivant : il permet seulement de résoudre une intégrale comportant un seul radical dans son expression.
Par exemple, si le dénominateur est une somme ou une différence de radicaux, il est très difficile, voire
impossible, d’effectuer l’intégrale si l’on suivait la même méthode. En voici un exemple :
Le lecteur pourrait se demander s’il est préférable de poser  comme la racine carrée ou comme
la racine cubique. L’astuce consiste à plutôt définir la variable  comme la racine 6e de  ; l’ordre 6 du
radical étant obtenu comme le PPCM des deux ordres des radicaux présents dans l’intégrale, afin de les
« éliminer ». Ainsi, on pose 
 et on adopte la démarche expliquée précédemment :
1
Notez qu’il est d’ailleurs possible de les résoudre avec un changement de variable ordinaire.

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Voici la suite du problème :
Intégrale
Explication
Après remplacement, on obtient cette intégrale.
Les exposants du dénominateur sont obtenus en
raison des lois des exposants.
On factorise le facteur du dénominateur pour le
simplifier avec le numérateur.
Ici, le même raccourci du premier exemple a été
encore utilisé pour éviter un second changement de
variable. On soustrait ainsi 1 pour obtenir la
différence de carrée.
On factorise celle-ci dans le premier terme ce qui
permet une simplification avec le dénominateur.
La valeur absolue a été enlevée, car pour
 (restriction de la racine d’ordre pair),
l’expression 
 est forcément positive.
Voici d’autres intégrales qui se résolvent par cette méthode :