Méthodes de calcul d*intégrales

⋇ Méthodes de calculs d’intégrales ⋇
Primitives usuelles
Fonction
a (réel donné)
Primitive
ax
Domaine de définition
ℝ
xn, n entier naturel
x n+1
n+1
ℝ
xn, n entier relatif ≠ -1
x n+1
n+1
ℝ*
xα, α réel ≠ -1
x α+1
α+1
1
x
cos x
sin x
1
= 1 + tan2 x
cos 2 x
1
1
=1+
2
sin x
1 + tan2 x
ℝ∗+
ln|x|
ℝ*
sin x
-cos x
ℝ
ℝ
tan x
x ≠ + kπ
−
π
2
1
tan x
ex
x ≠ kπ
ex
ℝ
x
ax a positif ≠ 1
a
ln a
ℝ
ch x
sh x
sh x
ch x
ℝ
ℝ
1
= 1 − th2 x
ch2 x
th x
ℝ
1
1
=
−1
sh2 x th2 x
1
2
x +1
1
1 − x2
1
√1 − x 2
1
√1 + x 2
1
√x 2 − 1
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−
1
th x
ℝ*
ℝ
arctan x
1
1+x
2
1−x
argth x = ln
]-1,+1[
arcsin x
]-1,+1[
argsh x = ln(x + √x 2 + 1)
ℝ
argch x = ln(x + √x 2 − 1)
]1,+∞[
Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 1
a2
Fonction
Primitive
ln |x|
x ln|x| - x
tan x
- ln |cos x|
1
tan x
ln |sin x|
x ≠ kπ
th x
ln ch x
ℝ
1
th x
ln |sh x|
ℝ*
1
sin x
ln |tan |
1
cos x
ln |tan ( + )|
1
sh x
ln |th |
ℝ*
1
ch x
2 arctan ex
ℝ
1
x
arctan
a
a
ℝ
1
x+a
ln |
|
2a x − a
x ≠ ±a
1
(a ≠ 0)
+ x2
1
(a ≠ 0)
a2 − x 2
1
√a2 − x 2
1
√a2 + k
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(a > 0)
(k ≠ 0)
x
2
x
π
2
4
x
2
arcsin
x
a
ln |x + √x 2 + k|
Domaine de définition
ℝ*
x≠
π
+ kπ
2
x ≠ kπ
x≠
π
+ kπ
2
]-a,+a[
ℝ si k > 0
{
}
|x| > √−k si k < 0
Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 2
Méthodes générales
Linéarisation (décomposition en somme)
On utilise ∫ λf(x)dx + μg(x)dx = λ ∫ f(x)dx + μ ∫ g(x)dx
- pour les puissances de sinus et cosinus qu’on transforme à l’aide de la formule de Moivre
- pour les fractions rationnelles
Intégration par parties
∫ u(x)v ′ (x)dx = u(x)v(x) − ∫ v(x)u′ (x)dx
b
b
∫ u(x)v ′ (x)dx = [u(x)v(x)]ba − ∫ v(x)u′ (x)dx
a
a
On l’emploie pour :
- Formule de Taylor avec reste intégral
-∫ P(x)eαx dx où P est un polynôme et α un réel donné
-∫ P(x) cos αx dx , ∫ P(x) sin αx dx, ∫ P(x) ch αx dx , ∫ P(x) sh αx dx
-∫ f(x)g(x)dx où g est une fonction rationnelle et f une fonction non algébrique de dérivée algébrique (par exemple arctan(x)
)
Changement de variable bijectif – Cas d’une intégrale indéfinie
Soit φ bijection
On a 𝐹(𝜑(𝑡)) = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡)). 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡
Soit on reconnait dans l’expression de l’intégrale fo𝜑 et 𝜑′ soit on introduit φ(t) pour simplifier l’intégrale
Changement de variable bijectif – Cas d’une intégrale définie
b
β
∫a f(x)dx = ∫α f[φ(t)]φ′ (t)dt avec α=φ-1(a) et β=φ-1(b)
On doit répercuter le changement de variable dans la fonction f, dans la différentielle dx et dans les bornes
Applications
F(ax)
Si ∫ f(x)dx = F(x) + C, ∫ f(ax)dx =
Si f est impaire
Si f est paire
a
∫−a f(x)dx
a
∫−a f(x)dx
a
+ C (a ≠ 0)
=0
a
= 2 ∫0 f(x)dx
b
b+T
Si f est T-périodique ∀a, b ∈ ℝ, ∫a f(x)dx = ∫a+T f(x)dx
a+T
Si f est T-périodique ∀a, b ∈ ℝ, ∫a
Si u ne s’annule pas ∫
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u′(x)
u(x)
b+T
f(x)dx = ∫b
f(x)dx
dx = ln|u(x)| + C
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Primitives des fractions rationnelles
Intégration d’un élément simple de première espèce
dx
∫ (x−a)α α entier
Si α = 1 ∫
dx
(x−a)
Si α ≥ 2 ∫
= ln|x − a| + C
dx
(x−a)α
= ∫(x − a)−α =
(x−a)1−α
1
+ C = (α−1)(x−a)α−1 + C
1−α
Intégration d’un élément simple de seconde espèce
Ax+B
∫ (x2+px+q)α dx α entier et p²-4q < 0
étape 1
on fait apparaître dans Ax+B la dérivée de x²+px+q
on se retrouve avec une intégrale du type ∫
du
uα
étape 2
il reste à calculer∫
dx
(x2 +px+q)α
on décompose x²+px+q comme somme de deux carrés
x²+px+q = t² + k² où t = x + p/2 et k = √q −
et donc ∫
dx
p2
4
dt
(x2 +px+q)α
= ∫ (t2 2 )α
+k
étape 3
Si α = 1 ∫
dt
t2 +k2
1
t
k
k
= arctan
Si α ≥ 2 on pose t = k tan θ et θ = arctan
1
k
dt
1 + tan2 𝜃
∫ 2
= 𝑘1−2𝛼 ∫
𝑑𝜃 = 𝑘1−2𝛼 ∫ cos 2𝛼−2 𝜃 𝑑𝜃
2
α
(t + k )
(1 + tan2 𝜃)𝛼
étape 4
puis on revient à x dans l’expression de l’intégrale
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Primitives de fonctions trigonométriques ou hyperboliques
Forme sinpx cosqx avec p et q entiers relatifs
* si p est impair on prend pour variable u = sin x
avec la formule sin2x = 1 – cos2x on obtient une intégrale de la forme
∫ sin𝑝 𝑥 cos 𝑞 𝑥 dx = ∫ cos 𝑧 𝑥 sin 𝑥 dx = ∫ uz du
si q est impair même chose avec u = cos x
* Si p et q sont pair et positifs on abaisse le degré en utilisant les formules des angles doubles
cos 2 𝑥 =
1+cos 2𝑥
2
et sin2 𝑥 =
1−cos 2𝑥
2
on recommence plusieurs fois si nécessaire
* Si p et q pairs l’un au moins étant négatif
on prend pour variable tan x = t (valable aussi pour p et q impairs)
Cas général
∫ R(sin 𝑥 , cos 𝑥) dx où R est une fraction rationnelle
On essaie les changements de variables classique u = sin x, u = cos x, u = tan x
En cas d’échec la méthode générale consiste à prendre comme variable tan x/2 = t
On a alors
x
tan = t
2
cos 𝑥 =
1−𝑡 2
1+𝑡 2
x = 2 Arctan t
sin 𝑥 =
2𝑡
1+𝑡 2
dx =
tan 𝑥 =
2dt
1+t2
2𝑡
1−𝑡 2
On retrouve une fraction rationnelle classique
Primitives de fonctions hyperboliques
mêmes méthodes que pour les fonctions trigonométriques
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Primitives de fonctions algébriques non rationnelles
Racine n-ième d’un quotient
𝑛 𝑎𝑥+𝑏
∫ √𝛼𝑥+𝛽 𝑑𝑥
𝑛 𝑎𝑥+𝑏
On prend pour variable 𝑦 = √
et on exprime x en fonction de y
𝛼𝑥+𝛽
On calcule dx et on remplace dans l’expression d’origine. On se ramène à une intégrale de fraction rationelle
Racine d’un polynôme du second degré
∫ √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
On transforme le polynôme et on le met sous la forme 𝑘(𝑢2 + 1) ou 𝑘(1 − 𝑢2 ) ou 𝑘(𝑢2 − 1)
On se retrouve donc à intégrer
∫ √𝑢2 + 1 changement de variable u = sh t
∫ √𝑢2 − 1 changement de variable u = (+ ou -)ch t
∫ √1 − 𝑢2 changement de variable u = sin t
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