Méthodes de calcul d*intégrales

19/04/2017 Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 1
 Méthodes de calculs d’intégrales 
Primitives usuelles
Fonction
Primitive
Domaine de définition
a (réel donné)
ax
xn, n entier naturel
xn, n entier relatif ≠ -1
*
xα, α réel ≠ -1
ln|x|
*
cos x
sin x
sin x
-cos x
tan x
x ≠
x ≠ 
ax a positif ≠ 1
ch x
sh x
sh x
ch x
th x
*
arctan x
argth x = 
]-1,+1[
arcsin x
]-1,+1[
argsh x = 
argch x = 
]1,+∞[

19/04/2017 Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 2
Fonction
Primitive
Domaine de définition
ln |x|
x ln|x| - x
*
tan x
- ln |cos x|
ln |sin x|
th x
ln ch x
ln |sh x|
*
ln |tan 
|
ln |tan 
|
ln |th 
|
*
2 arctan 
]-a,+a[

19/04/2017 Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 3
Méthodes générales
Linéarisation (décomposition en somme)
On utilise   
- pour les puissances de sinus et cosinus qu’on transforme à l’aide de la formule de Moivre
- pour les fractions rationnelles
Intégration par parties
On l’emploie pour :
- Formule de Taylor avec reste intégral
- où P est un polynôme et α un réel donné
- ,,  , 
-g est une fonction rationnelle et f une fonction non algébrique de dérivée algébrique (par exemple arctan(x)
)
Changement de variable bijectif – Cas d’une intégrale indéfinie
Soit  bijection
On a   
Soit on reconnait dans l’expression de l’intégrale fo et  soit on introduit (t) pour simplifier l’intégrale
Changement de variable bijectif – Cas d’une intégrale définie
 avec α=-1(a) et β=-1(b)
On doit répercuter le changement de variable dans la fonction f, dans la différentielle dx et dans les bornes
Applications
Si    
Si f est impaire   
Si f est paire  
Si f est T-périodique    
Si f est T-périodique    
Si u ne s’annule pas 

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Primitives des fractions rationnelles
Intégration d’un élément simple de première espèce
 α entier
Si α = 1 
Si α  2 
Intégration d’un élément simple de seconde espèce
  α entier et p²-4q < 0
étape 1
on fait apparaître dans Ax+B la dérivée de x²+px+q
on se retrouve avec une intégrale du type 
étape 2
il reste à calculer
on décompose x²+px+q comme somme de deux carrés
x²+px+q = t² + k² où t = x + p/2 et   
et donc 
étape 3
Si α = 1 
Si α  2 on pose    et   
étape 4
puis on revient à x dans l’expression de l’intégrale

19/04/2017 Analyse – Méthodes de calcul d’intégrales | 5
Primitives de fonctions trigonométriques ou hyperboliques
Forme sinpx cosqx avec p et q entiers relatifs
* si p est impair on prend pour variable u = sin x
avec la formule sin2x = 1 – cos2x on obtient une intégrale de la forme
si q est impair même chose avec u = cos x
* Si p et q sont pair et positifs on abaisse le degré en utilisant les formules des angles doubles
et   
on recommence plusieurs fois si nécessaire
* Si p et q pairs l’un au moins étant négatif
on prend pour variable tan x = t (valable aussi pour p et q impairs)
Cas général
 où R est une fraction rationnelle
On essaie les changements de variables classique u = sin x, u = cos x, u = tan x
En cas d’échec la méthode générale consiste à prendre comme variable tan x/2 = t
On a alors
On retrouve une fraction rationnelle classique
Primitives de fonctions hyperboliques
mêmes méthodes que pour les fonctions trigonométriques