Eau douce et eau de mer Un réservoir contient 1 000 litres d'eau douce dont la salinité est de 0,12 g L-1. A la suite d'un incident regrettable, de l'eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de 10 litres par minute. On note s la salinité de l'eau du réservoir; s est une fonction du temps t (exprimé en minutes). On admet que s est solution de l'équation différentielle (E) : s'(t) + 0,01 s(t) = 0,39. 1° a) Résoudre l'équation différentielle: (El) : s'(t) + 0,01 s(t) = 0. b) Déterminer une fonction constante g solution de l'équation (E). c) Résoudre l'équation différentielle (E). 2° Considérant qu'à l'instant t = 0 où débute l'incident la salinité de l'eau du réservoir était de 0,12 g L- 1, montrer que l'on a : s(t) = 39 – 38,88 e–0,01 t 3° Déduire du résultat précédent la salinité de l'eau du réservoir 60 minutes après le début de l'incident. 4° De combien de temps le service de surveillance dis-pose-t-il pour arrêter l'arrivée de l'eau salée si, pour réduire les conséquences de l'incident, la salinité doit rester inférieure à 3,9 g L-1? • • • Analyses biologiques On fait absorber une substance S, dosée à 2 mg de principe actif, à un animal. Cette substance libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle f (t) la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant t (t ≥ 0), donné en heures). Après étude on constate que la fonction f est solution de l'équation différentielle dy + 0,5 y = 0,5 e–0,5t et qu'elle vérifie: f (0) = 0. (E) : dt 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : dy + 0,5 y = 0. dt 2° Déterminer le nombre réel α tel que la fonction: t → α t e–0,5 t soit solution de l'équation différentielle (E). 3° Déterminer la solution générale de (E). En déduire la solution de (E) satisfaisant la condition initiale. La vitesse d'un parachute → i ). La trajectoire suivie par un objet relié à→ un parachute est un axe vertical noté (O ; → → A un instant_ donné, le vecteur vitesse V de l'objet est défini par V (t) = v(t) i où v est une fonction de la variable réelle positive t. → Dans les conditions de l'expérience, le vecteur R représentant la résistance de l'air est défini par → → R = – k V où k est un nombre réel strictement positif. On admet que la fonction v vérifie l'équation différentielle: (1) m v'(t) + k v(t) = m g où m est la masse totale de l'objet et du parachute et g le coefficient de l'accélération de la pesanteur. 1° a) Montrer qu'il existe une fonction constante, solution particulière de (1); b) Montrer que les fonctions solutions de (1) sont définies pour tout nombre réel positif t par: mg où C est une constante réelle dépendant des conditions de l'expérience. v(t) = C e k / m t + k 2° Dans la suite du problème on prendra m = 8 kg ; g = 10 m s –2 et k = 25 unités S. I. a) Donner la fonction particulière vl solution de l'équation différentielle (1) correspondant à une vitesse initiale v(0) = v0 de 5 ms –1 b) Donner la fonction particulière v2 solution de l'équation différentielle (I) correspondant à une vitesse initiale nulle; c) Montrer que les fonctions v1 et v2 ont la même limite d lorsque t tend vers + ∞; d) Donner la fonction particulière v3 solution de l'équation différentielle (1) correspondant à une vitesse initiale v(0) = w0 de 3,2 ms–1.