Eau douce et eau de mer Un réservoir contient 1 000 litres d`eau

Eau douce et eau de mer
Un réservoir contient 1 000 litres d'eau douce dont la salinité est de 0,12 g • L-1.
A la suite d'un incident regrettable, de l'eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de 10 litres par minute.
On note s la salinité de l'eau du réservoir; s est une fonction du temps t (exprimé en minutes).
On admet que s est solution de l'équation différentielle
(E) : s'(t) + 0,01 s(t) = 0,39.
1° a) Résoudre l'équation différentielle: (El) : s'(t) + 0,01 s(t) = 0.
b) Déterminer une fonction constante g solution de l'équation (E).
c) Résoudre l'équation différentielle (E).
2° Considérant qu'à l'instant t = 0 où débute l'incident la salinité de l'eau du réservoir était de 0,12 g • L- 1,
montrer que l'on a : s(t) = 39 – 38,88 e–0,01 t
3° Déduire du résultat précédent la salinité de l'eau du réservoir 60 minutes après le début de l'incident.
4° De combien de temps le service de surveillance dis-pose-t-il pour arrêter l'arrivée de l'eau salée si, pour
réduire les conséquences de l'incident, la salinité doit rester inférieure à 3,9 g • L-1?
Analyses biologiques
On fait absorber une substance S, dosée à 2 mg de principe actif, à un animal.
Cette substance libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang.
On appelle f (t) la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant t (t ≥ 0), donné en
heures). Après étude on constate que la fonction f est solution de l'équation différentielle
(E) : dy
dt + 0,5 y = 0,5 e–0,5t et qu'elle vérifie: f (0) = 0.
1° Résoudre l'équation différentielle (E0) :
dy
dt + 0,5 y = 0.
2° Déterminer le nombre réel α tel que la fonction: t
→
α t e–0,5 t soit solution de l'équation différentielle (E).
3° Déterminer la solution générale de (E). En déduire la solution de (E) satisfaisant la condition initiale.
La vitesse d'un parachute
La trajectoire suivie par un objet relié à un parachute est un axe vertical noté (O ;
→
i ).
A un instant_ donné, le vecteur vitesse
→
V de l'objet est défini par
→
V (t) = v(t)
→
i où v est une fonction de la
variable réelle positive t.
Dans les conditions de l'expérience, le vecteur
→
R représentant la résistance de l'air est défini par
→
R = – k
→
V où k est un nombre réel strictement positif.
On admet que la fonction v vérifie l'équation différentielle:
(1) m v'(t) + k v(t) = m g
où m est la masse totale de l'objet et du parachute et g le coefficient de l'accélération de la pesanteur.
1° a) Montrer qu'il existe une fonction constante, solution particulière de (1);
b) Montrer que les fonctions solutions de (1) sont définies pour tout nombre réel positif t par:
v(t) = C ek / m t + m g
k où C est une constante réelle dépendant des conditions de l'expérience.
2° Dans la suite du problème on prendra m = 8 kg ; g = 10 m s –2 et k = 25 unités S. I.
a) Donner la fonction particulière vl solution de l'équation différentielle (1) correspondant à une vitesse initiale
v(0) = v0 de 5 ms –1
b) Donner la fonction particulière v2 solution de l'équation différentielle (I) correspondant à une vitesse initiale
nulle;
c) Montrer que les fonctions v1 et v2 ont la même limite d lorsque t tend vers + ∞;
d) Donner la fonction particulière v3 solution de l'équation différentielle (1) correspondant à une vitesse initiale
v(0) = w0 de 3,2 ms–1.