td02ordre2 - Cours de mathématiques de Christian BISSIERES

TD N°02
SYSTÈMES DU 2°ORDRE
Equation différentielle et solution graphique
L'entrée du système sera la tension d'alimentation u(t) (échelon d'amplitude E) et la sortie
sera la vitesse de rotation (t) du moteur.
tension
u
Moteur
CC
vitesse

OBJECTIFS
 Etablir l'équation différentielle régissant un système.
 Déterminer les paramètres du système (amortissement m et pulsation propre 0).
 Utiliser la courbe de réponse ou les abaques pour déterminer le dépassement d et le
temps de réponse à 5% tr5% .
I- SYSTÈME ELECTRIQUE (filtre RLC série)
1- Présentation du système
Soit le circuit réalisant un filtre passe-bas du 2°ordre dont on veut étudier la réponse
indicielle (schéma ci-dessous) :
L
R
E
ve
i
C
vs
2- Etude de la réponse indicielle
 Dessiner le schéma électrique du moteur en faisant apparaître la résistance d'induit
R, l'inductance d'induit L et la f.e.m. e = k.
 Ecrire l'équation différentielle relative au système (entrée constante E et sortie (t)).
Rappel : Couple moteur T = k.I et couples = Jd/dt (J = moment d'inertie).
1 
1 
E
 Mettre l'équation différentielle sous la forme : 2 
( t )  2m
( t )  ( t )  .
0
k
0
Déterminer alors 0 et m en fonction des paramètres du moteur.
et k = 0,1V.rad-1.s :
Déterminer les valeurs numériques de 0 et m.
 On a : R = 2 ; L = 1H ; J = 1.10-3 m2.kg
III- MESURES SUR GRAPHE s(t) ET SUR ABAQUES
Le graphe ci-dessous représente la sortie s(t) d'un système du 2°ordre avec m = 0,2
et 0 = 5.103 rad/s :
20
s(t) volt
18
16
On ferme l'interrupteur K à t = 0; ve(t) est donc un échelon E.(t) d'amplitude E.
La sortie du système sera la tension vs aux bornes du condensateur C (sortie du filtre).
14
12
2- Etude de la réponse indicielle
 Ecrire l'équation différentielle relative au système (entrée constante E et sortie vs(t)).
1
1
 Mettre l'équation différentielle sous la forme : 2 vs (t )  2m v s (t )  vs (t )  E .
0
0
10
8
6
4
Déterminer alors 0 et m en fonction de la valeur des composants.
 On a L = 200mH et C = 470nF :
 Calculer 0.
 Déterminer la valeur de R pour avoir le temps de réponse minimal.
II- SYSTÈME ELECTROMÉCANIQUE (moteur CC)
1- Présentation du système
Le système est un moteur à courant continu à aimant permanent (frottements négligés).
TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES
http://cbissprof.free.fr
t (ms)
2
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
 Mesurer, sur le graphe: S , le dépassement d et le temps de réponse à 5% tr5% .
 Retrouver, sur le graphe, une valeur approchée de la pulsation propre 0.
 Retrouver les valeurs du dépassement d et du temps de réponse à 5% tr5% en
utilisant les abaques.
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TD02 "2°ordre Equa-diff"