RESUME L`étude des équations différentielles utilise la théorie des

RESUME
L’étude des équations différentielles utilise la théorie des groupes algébriques linéaires et des corps
différentiels Cette étude portera sur le cas non linéaire, elle s’inspire des travaux de Ritt [6], qui
choisit l’approche de l’algèbre différentiel, de même Kolchin [5], qui fait le lien avec les groupes
algébriques. Cette étude consistera à trouver la solution générale de type rationnelle pour des
équations différentielles ordinaires, par exemple, la solution générale de dx dy +y2= 0 est y = x + c 1 ,
où c est une constante arbitraire. Deux résultats importants sont présentés dans cette étude.
Premièrement, une condition nécessaire et suffisante pour qu’une équation différentielle ordinaire
possède une solution générale rationnelle et aussi prouvé que la définition de solution générale
d’une équation différentielle ordinaire due à Ritt est équivalente à la définition au sens usuel, si les
solutions générales sont de types rationnelles. Deuxièmement, un algorithme pour trouver une
solution générale rationnelle d’une équation différentielle du premier ordre est présenté. Il est
prouvé que dans ce cas trouver une solution générale rationnelle revient à trouver une solution
particulière. L’algorithme est basé sur la paramétrisation des courbes algébriques planes. L’idée de
base est de considérer la variable et ses dérivées comme des variables indépendantes, alors
l’équation différentielle ordinaire d’ordre 1 définit une courbe algébrique plane.