CHAPITRE 12 : CALCUL LITTÉRAL Objectifs : 5.240 [S] Utiliser une expression littérale. 5.241 [–] Produire une expression littérale. 5.242 [S] Connaître les conventions d'écriture pour simplifier une expression littérale. 5.243 [S] Développer en utilisant k(a+b)=ka+kb et k(a–b)=ka–kb sur des exemples littéraux. 5.244 [S] Factoriser en utilisant ka+kb=k(a+b) et ka–kb=k(a–b) sur des exemples littéraux. 5.245 [S] Tester si une égalité comportant une ou deux inconnues est vraie pour des valeurs numériques données. I.- CONVENTIONS Définition : Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres. Les expressions littérales peuvent servir à écrire des formules, à traduire un programme de calcul ou l'énoncé d'un problème. Exemples : • formule d'aire : l'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est donnée par l'expression L×l. • Programme de calcul : « je choisis un nombre a. Je le multiplie par 4. J'ajoute 9 au produit obtenu. » Ce programme de calcul peut être traduit par l'expression a × 4 + 9. • Problème de longueur : sur la figure ci-dessous, la longueur AB est donnée par l'expression 7,5 + 2 × x. A B 7,5 cm x Convention : Pour alléger l'écriture d'une expression littérale, on peut supprimer le signe × devant une lettre ou une parenthèse. Exemples : a×b peut s'écrire ab ; 3×x peut s'écrire 3x ; 7×(x + 5) peut s'écrire 7(x +5). Propriété : Pour tout nombre a, on peut écrire : a × a = a² (qui se lit « a au carré ») a × a × a = a3 (qui se lit « a au cube »). Exemples : 1² = 1 × 1 = 1 ; 4² = 4 × 4 = 16 ; Attention à ne pas confondre a² et 2a : 23 = 2 × 2 × 2 = 8 a² = a × a, alors que 2a = 2 × a = a + a. II.- DISTRIBUTIVITÉ DE LA MULTIPLICATION PAR RAPPORT À L'ADDITION ET LA SOUSTRACTION. Propriété : Pour tous les nombres k, a et b, on a : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a – b) = k × a – k × b On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction. Exemples : Développer l'expression suivante : A = 3(x + 7) On replace le signe × dans l'expression : A = 3×(x + 7) On distribue le facteur 3 aux termes x et 7 : A=3×x +3×7 On calcule et on simplifie l'expression : A = 3x + 21 Factoriser les expressions suivantes : B = 5x + 35 et C = x² + 3x On replace le signe × dans l'expression : B = 5 × x + 35 On fait apparaître le facteur commun 5 : B=5×x+5×7 On met en facteur le nombre 5 : B = 5 × (x + 7) On simplifie l'expression : B = 5(x + 7) On replace le signe × dans l'expression et on repère le facteur commun x : On met en facteur la lettre x puis on simplifie : C=x×x+3×x C = x (x + 3) III.- TEST D'UNE ÉGALITÉ Définition : Une égalité est une écriture constituée de deux expressions séparées par un signe =. Une égalité possède deux membres. Pour qu'une égalité soit vraie, les deux membres doivent avoir la même valeur, sinon l'égalité est fausse. Exemple : 4+5=3×3 membre de gauche membre de droite Les deux membres de l'égalité sont égaux à 9. Donc l'égalité est vraie. Définition : Tester une égalité entre deux expressions littérales, c'est remplacer les lettres par des nombres pour savoir si cette égalité est vraie ou fausse pour ces nombres. Exemple : L'égalité 5x – 3 = 6 + 2x est-elle vraie pour x = 3 ? On calcule séparément les deux membres en remplaçant x par 3 : d'une part : d'autre part : 5x – 3 = 5 × x – 3 6 + 2x = 6 + 2 × x =5×3–3 =6+2×3 = 15 – 3 =6+6 = 12 = 12 Les deux membres de l'égalité valent 12 pour x = 3, donc l'égalité est vraie pour x = 3. Exemple : L'égalité 4x + 5 = 19 – 2x est-elle vraie pour x = 2 ? On calcule séparément les deux membres en remplaçant x par 3 : d'une part : d'autre part : 4x + 5 = 4 × x + 5 19 – 2x = 19 – 2 × x =4×2+5 = 19 – 2 × 2 =8+5 = 19 – 4 = 13 = 15 Les deux membres de l'égalité n'ont pas la même valeur, donc l'égalité est fausse pour x = 2.