I. Expression littérale - g

5ème
Calcul littéral
2010/2011
→ Activité (Partie 1) – Calcul littéral
Objectifs :
- Je connais la définition d'une expression littérale.
-
Je sais simplifier une expression littérale.
Je sais exprimer en fonction d'une lettre une expression.
Je sais réduire, développer ou factoriser une expression littérale.
Je sais vérifier si un nombre est solution d'une équation.
I. Expression littérale
1. Définition
Définitions :
Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par
des lettres.
Exemples :
Vous connaissez déjà des expressions littérales comme les formules des aires ou des
périmètres :
Périmètre d’un carré de côté c : P = 4 x c .
Périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur l : P = 2 x ( L + l ) ou P = 2 x L + 2 x l .
Aire d’un carré de côté c : A = c x c
Aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l : A = L x l .
Périmètre d’un cercle de rayon R : P = 2 x π x R. π est ici une lettre grecque représentant un
nombre dont la valeur approchée est environ 3,14159...
Dans chacune de ces expressions les lettres représentent des nombres.
2. Exprimer une expression « en fonction de »
Définitions :
Écrire une résultat « en fonction de
x
», c'est trouver une expression littérale où figure la lettre x.
Exemple :
AB = 8 +
x
est une expression « en fonction de
x
»
EXERCICES : (Expressions littérales )
3. Simplification d'une expression littérale
Afin de simplifier l’écriture de certaines expressions, il a été décidé que tout le monde suivrait les règles
suivantes (on appelle cela une convention) :
Propriété :
Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale, on peut supprimer le signe " x " :
➢ devant une lettre
➢ devant une parenthèse
Exemples :
•
•
•
4 x x s'écrit 4x
a x b s'écrit ab
6 x ( 4 + y ) s'écrit 6 ( 4 + y )
Remarque :
6 x 7 ne s'écrit pas 67.
Propriété :
➢ axb=bxa
➢ a x0=0
➢ ax1=a
Propriété :
Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale, pour tout nombre a on a :
➢ a x a = a² (se lit « a au carré »)
➢ a x a x a = a3 (se lit « a au cube »)
Exemples :
•
•
•
4 x 4 = 4²
8 x 8 x 8 = 83
x x x= x²
EXERCICES : (Simplification d'écritures)
II. Développer et factoriser
Définitions :
Développer une expression signifie transformer un produit en une somme.
Factoriser une expression signifie transformer une somme en un produit.
Propriété :
Pour tous nombres k, a et b quelconques :
k x ( a + b ) = k ( a + b ) = k x a + k x b
k x ( a - b ) = k ( a - b ) = k x a - k x b
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition.
Exemples :
4x(
x+5)=4xx+4x5
5x + 2x = 5 x x + 2 x
x = x ( 5 + 2 ) = 7x
5 ( 2 x – 6 ) = 5 x 2x – 5 x 6
6y – 10y = y ( 6 – 10 ) = - 4 y
Remarques :
On peut donc facilement additionner ou soustraire 12d + 8d. Il suffit de compter combien de d sont
présents. Ici il y en a donc 20d. Donc 12d + 8d = 20d.
De plus, 5 x 2x s'écrit 10x .
Attention 5d + 4 ne peut pas s'additionner car il manque un d dans l'expression.
Définition :
Réduire une expression signifie simplifier au maximum une expression en regroupant des termes.
Exemples :
Simplifie les expressions suivantes :
A = 6 ( x + 2 ) - 4x - 15
A = 6 x x + 6 x 2 – 4x - 15
A = 6x + 12 – 4x - 15
A = 6x – 4x + 12 – 15
A = 2x - 3
B = x² + 2x + x ( x – 6 )
B = x² + 2x + x x x – x x 6
B = x² + 2x + x² – 6x
B = x² + x² + 2x – 6x
B = 2x² - 4x
Remarques :
On peut par exemple calculer A pour x = 2, c'est à dire on remplacera tous les
l'expression par 2 et on pourra calculer l'expression.
x
présents dans
EXERCICES : (Développer et réduire)
III. Notion d'égalité
Définition :
Une égalité est formée par 2 membres séparés par un symbole " = ".
Chaque membre est un nombre ou une suite de calculs. On dit qu’une égalité est vraie (ou vérifiée) lorsque les
2 membres ont la même valeur.
Exemples :
7 x 3 + 4 =5 x 5
est une égalité :
D'une part, le premier membre vaut 7 x 3 + 4 = 21 + 4 = 25
D'autre part, le deuxième membre vaut 5 x 5 = 25
Or 25 = 25 donc l'égalité est vraie (ou vérifiée)
20 – 2 x 5 = 6 x 4
est une égalité :
D'une part, le premier membre vaut 20 – 2 x 5 = 20 – 10 = 10
D'autre part, le deuxième membre vaut 6 x 4 = 24
donc l'égalité n'est pas vraie (ou vérifiée)
20x + 4 = 6 + 2x est une égalité qui est soit vraie soit fausse suivant les valeurs de
Propriété :
Pour tester si une égalité est vraie :
● on remplace la (ou les) lettre(s) par les nombres proposes;
● on calcule séparément chacun des membres de l'égalité.
Si les deux membres ont la même valeur, l'égalité est vraie pour ces nombres.
Si les deux nombres n'ont pas la même valeur, l'égalité n'est pas vraie pour ces nombres.
x.
Exemples :
On considère l'égalité 2x + 1 = 5.
● Pour x = 1.
Premier membre : 2x + 1 = 2 × 1 + 1 = 2 + 1 = 3
Second membre : 5.
Les deux membres n'ont pas la même valeur. Cette égalité n'est pas vraie pour x = 1.
● Pour x = 2.
Premier membre : 2x + 1 = 2 × 2 + 1 = 4 + 1 = 5
Second membre : 5.
Les deux membres ont la même valeur. Cette égalité est vraie pour x = 2.
EXERCICES : (Tester des égalités)
IV. Initiation aux équations
→ Activité (Partie 2)
Propriété :
Pour résoudre des problèmes, on est souvent amène à les mettre en équation. Pour cela :
● on fait souvent un dessin ou on reformule l'énonce pour mieux comprendre le problème
● on choisit l'inconnue ou les inconnues: on donne un nom aux nombres que l'on cherche (souvent
x ou y..., parfois des lettres qui évoquent l'inconnue)
● on met en équation : on écrit une égalité qui doit être vérifiée (ou des égalités)
● on peut tester des valeurs pour savoir si elles conviennent.
Exemple :
Je choisis un nombre. Je multiplie ce nombre par 3. J’ajoute au résultat 5. J’obtiens 11.
Quel nombre avais-je choisi au départ ?
Soit x le nombre de départ, alors 3x + 5 = 2. On remarque que pour
nombre cherché.
EXERCICES : (Équations (rapide))
x = 2 l'égalité est vérifiée. Donc 2 est le