5 – Ch. 3 Chapitre 3 Expressions littérales (Voir 6ème, chapitres 1, 3

5ème – Ch. 3
Chapitre 3
Expressions littérales
(Voir 6ème, chapitres 1, 3 et 5 ; 5ème, chapitre 1.)
I)
Expression
Définitions : s
• Une expression littérale est une expression comportant des lettres représentant
des nombres.
• Écrire un résultat « en fonction » de x, c’est trouver une expression littérale où
figure x.
Remarque :
Une expression littérale peut servir à établir une formule, traduire l’énoncé d’un
problème, trouver un nombre inconnu ou prouver un résultat. Les lettres rappellent
souvent ce qu’elles représentent.
Exemples :
• Formule de l’aire d’un rectangle : A = L × l.
• Dans l’expression 2 × (3 + x) + 4 × x – 5, la lettre x désigne le même nombre.
• Tous les multiples de 7 s’écrivent 7 × n (avec n entier).
II)
Conventions d’écriture
Convention : (Simplification d’écriture) s
On peut simplifier l'écriture d'expressions, en supprimant le signe de multiplication
devant une parenthèse ou devant une lettre. (Lorsque son absence n’entraîne pas
une confusion).
Exemples :
a, b, c et x désignent des nombres décimaux positifs.
• 2 × (3 + x) × (x + 4) peut s'écrire 2(3 + x)(x + 4).
• 5 + 6 × a – b × c peut s'écrire 5 + 6a – bc.
•
a × 7 peut s'écrire 7a. (
•
•
•
2 × 3 ne peut pas s’écrire 23 !
8b + bc – 9(a + b) veut dire 8 × b + b × c – 9 × (a + b).
1× a = a
0× a = 0
•
a × a se note a² et se lit « a au carré », a × a × a = a 3 (« a au cube »).
Le nombre toujours devant !)
III)
Distributivité (nombres positifs)
k, a et b désignent des nombres décimaux positifs
A) Distributivité
Propriété : s
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5ème – Ch. 3
La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
Traduction :
a, b et k désignent des nombres décimaux positifs. (a ≥ b)
On a les égalités (ou identités) suivantes :
k × ( a + b ) = k
× a
+ k ×
b
et
k×(a – b) = k×a – k×b
somme
produit
ou bien,
k
× a
+ k ×
b = k × ( a + b )
somme
produit
et
k×a – k×b = k×(a – b)
Illustration géométrique :
k
a
b
ka
kb
a+b
B) Développement
Définition : s
Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme.
Vocabulaire :
Passer de « k(a + b) » à « ka + kb », c’est développer. On distribue le facteur k ;
l’expression obtenue est développée.
Exemples :
• Formule du périmètre d’un rectangle : P = (L + l) × 2 = L × 2 + l × 2.
JJJJJJJJJJJJ
JJJJJJJG JG
• 2,5 × 98 = 2,5 × (100 − 2) = 2,5 × 100 − 2,5 × 2 = 250 – 5 = 245
↑
•
•
↑
Deux multiplications « plus simples » à la place d’une seule !
Développer le produit 10 × (a + 2,6) c’est distribuer le facteur 10 pour obtenir la
somme 10 × a + 10 × 2,6.
Développer puis simplifier :
5(x + 1) = 5 × (x + 1) = 5 × x + 5 × 1 = 5x + 5
5(3x – 4) = 15x –20
C) Factorisation
Définition : s
Factoriser une somme, c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Vocabulaire :
Passer de « ka + kb » à « k(a + b) », c’est factoriser. On met k en facteur ;
l’expression obtenue est factorisée et k est un facteur commun.
Exemples :
• 3,4 × 8 + 3,4 × 2 = 3,4 × (8 + 2) = 3,4 × 10 = 34
Une multiplication « plus simple » à la place de deux !
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•
•
Factoriser la différence 7 × a – 7 × b c’est mettre en facteur 7 pour obtenir le
produit 7 × (a – b). 7 est un facteur commun à chaque terme.
L’expression factorisée permet d’affirmer que ce nombre est un multiple de 7.
Factoriser : 2x + 2y = 2 × x + 2 × y = 2(x + y).
IV)
Égalité
A) Définition
Remarques :
Le symbole égal « = » associe deux écritures différentes d’un même nombre. Il n’est
pas seulement employé pour annoncer un résultat.
Définitions :
• Une égalité est une affirmation où figure le signe « = » et qui ne peut être que
vraie ou fausse.
• Elle affirme que l’objet désigné par le 1er membre (avant le signe =) est le même
objet que celui désigné par le 2ème membre (après le signe =).
• Les deux membres d’une égalité doivent avoir la même valeur.
Exemples :
• L’égalité
•
7
3 −
4 = 15
10 +
−
+ 1 est vraie.
er
1 membre 2nd membre
Les deux membres de l’égalité « 3x+2x = 5x » ont la même valeur pour tous les
nombres x.
B) Tester si une égalité est vraie
Définitions : s
• Substituer des nombres aux lettres c’est écrire des nombres à la place des
lettres.
• Tester (ou vérifier) l’égalité de deux expressions c’est remplacer chaque lettre
identique par une même valeur numérique, et indiquer si l’égalité est vraie ou
fausse pour cette valeur.
Méthode :
• Pour remplacer une lettre par un nombre, on réécrit les signes « × » qui étaient
sous-entendus, on met le nombre entre parenthèses et on voit ensuite si les
parenthèses sont utiles.
• Pour tester si une égalité est vraie, on calcule séparément la valeur du 1er
membre et la valeur du 2ème membre, puis on compare ces deux valeurs.
• Si deux membres ont la même valeur, alors l’égalité est vraie pour ces nombres.
On dit que l’égalité est vérifiée.
• Si deux membres n’ont pas la même valeur, alors l’égalité est fausse (n’est pas
vraie) pour ces nombres. On dit que l’égalité n’est pas vérifiée.
Exemples :
• 3y et 4x + 2 sont deux expressions littérales. 3y = 4x + 2 est une égalité.
• Tester si l’égalité 3y = 4x + 2 est vraie pour les valeurs x = 3 et y = 4.
1er membre : 3 × 4 = 12
2nd membre : 4 × 3 + 2 = 14
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•
Or, 12 ≠ 14 donc l’égalité est fausse (n’est pas vérifiée) pour x = 3 et y = 4.
x = 3 et y = 4 ne sont pas solutions.
Tester pour les valeurs 1 et 2 attribuées respectivement à x et y.
D’une part, 3 × 2 = 6
D’autre part, 4 × 1 + 2 = 6
Or, 6 = 6 donc x = 1 et y = 2 vérifient l’égalité.
x = 1 et y = 2 sont solutions.
V)
Calculatrice
Priorités, mémoires, parenthèses.
15
8 – 3 = STO enter =
8−3
STO et RCL ou M et RM ou …
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15 ÷ 2nd STO = =
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