Polynômes - Alain Troesch

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 07/03/2016
DM no 13 : Polynômes
Le problème 2 est facultatif, et laissé en autocorrection (ne pas me le rendre SVP)
Problème 1 – Polynômes de Tchebychev et théorème de Pólya
Le but de ce problème est de démontrer un théorème dû à George Pólya sur les polynômes à coefficients complexes :
Soit P un polynôme unitaire à coefficients complexes, non constant. Alors la projection orthogonale sur
l’axe réel de l’ensemble des complexes z tels que |P (z)| 6 2 est de longueur totale inférieure à 4.
On énonce de manière un peu plus précise :
Théorème 1 (Polya) Soit P ∈ C[X] un polynôme unitaire de degré au moins 1. Soit :
et
C = {z ∈ C | |P (z)| 6 2}
R = {Re(z), z ∈ C}.
Alors R est inclus dans une union finie d’intervalles fermés bornés deux à deux disjoints I1 , . . . , It tels que
ℓ(I1 ) + · · · + ℓ(It ) 6 4,
la longueur d’un intervalle I = [a, b] étant définie par ℓ(I) = b − a.
Dans la partie III, on démontrera que ce théorème découle d’un théorème plus simple portant sur des polynômes à
coefficients réels :
Théorème 2 Soit P ∈ R[X] un polynôme unitaire de degré n > 1, dont toutes les racines sont réelles.
Alors l’ensemble S = {x ∈ R | |P (x)| 6 2} est une union disjointe d’intervalles fermés bornés I1 , . . . , It
tels que
ℓ(I1 ) + · · · + ℓ(It ) 6 4.
On démontrera ce dernier théorème dans la partie IV. La démonstration utilise un résultat dû à Tchebychev, qui fait
l’objet de la partie II :
Théorème 3 (Tchebychev) Soit P ∈ R[X] un polynôme unitaire de degré n > 1. Alors :
max |P (x)| >
−16x61
1
2n−1
.
La partie I est quant à elle consacrée à des résultats préliminaires sur les polynômes, utiles pour la partie IV.
Les théorèmes ci-dessus ne peuvent bien sûr être utilisés dans la copie que pour les questions ultérieures à leur
démonstration. On pourra admettre en cours de copie les résultats des questions non démontrées à condition de
l’indiquer clairement sur la copie.
La partie II est indépendante de la partie I. La partie III est indépendante de la partie I et de la partie II. La partie
IV utilise des résultats des trois parties précédentes.
Partie I – Préliminaires
Dans toute cette partie P ∈ R[X] est un polynôme de degré n > 1, dont toutes les racines (dans C) sont réelles.
On note r1 < · · · < rk les racines de P deux à deux distinctes, et α1 , . . . , αk leur multiplicité.
1. En localisant les racines de P ′ par rapport à celles de P , montrer :
Lemme 4 Si r est racine au moins double de P ′ , alors r est racine de P .
2. Montrer :
Lemme 5 Pour tout x ∈ R, on a : P ′ (x)2 > P (x)P ′′ (x).
1
Partie II – Polynômes et théorème de Tchebychev
On définit une suite de polynômes (Tn )n∈N (appelés polynômes de Tchebychev de première espèce) par la relation de
récurrence suivante :
(
T0 = 1;
T1 = X;
∀n > 1, Tn+1 = 2XTn − Tn−1 .
1. Étude élémentaire des polynômes Tn
(a) Expliciter Ti pour tout i ∈ [[0, 4]].
(b) Justifier que pour tout n ∈ N∗ , Tn est un polynôme, et déterminer son degré et son coefficient dominant,
ainsi que la valeur de Tn (1) et de Tn (−1).
(c) Montrer que pour tout n ∈ N, et tout θ ∈ R, Tn (cos(θ)) = cos(nθ).
2. Étude des racines de Tn et Tn′ . On pose n ∈ N∗ .
(a) À l’aide de la question précédente, déterminer les racines de Tn et leur multiplicité.
(b) Déterminer de même les racines de Tn′ .
On note s1 < · · · < sn−1 ces racines.
(c) Déterminer Tn (s1 ), . . . , Tn (sn−1 ).
3. Démonstration du théorème de Tchebychev
Soit n ∈ N∗ , et soit Q un polynôme unitaire de degré n.
(a) Justifier l’existence max |Q(x)|.
−16x61
n−1
On définit Qn = Tn − 2
Q.
(b) Montrer que deg Qn 6 n − 1.
(c) On suppose que max |Q(x)| <
−16x61
1
.
2n−1
i. Montrer que Qn 6= 0.
ii. Trouver une contradiction en déterminant le signe de Qn aux points +1, −1, s1 , . . . , sn−1 .
(d) Démontrer le théorème 3
Partie III – Exemples et réduction du problème au cas de polynômes réels
1. Un premier exemple
Soit P ∈ C[X] un polynôme unitaire de degré 1. On écrit P = X − a, a ∈ C.
(a) Décrire géométriquement l’ensemble C = {z ∈ C | |P (z)| 6 2}, puis déterminer R = {Re(z), z ∈ C} sous la
forme d’un intervalle dont on donnera les bornes en fonction de a.
(b) En déduire que le théorème 1 est vrai pour les polynômes de degré 1.
2. Un deuxième exemple
Soit P = X 2 − 2, et C et R les ensembles associés définis dans l’introduction.
(a) Montrer que pour tout couple (x, y) de réels, x + i y appartient à C si et seulement si
(x2 + y 2 )2 6 4(x2 − y 2 ).
(b) Justifier que R = [−2, 2] et conclure.
3. Réduction du problème
Soit P ∈ C[X] un polynôme unitaire de degré n > 1, C et R les ensembles associés. On note r1 , . . . , rk ses
racines deux à deux distinctes de multiplicité α1 , . . . , αk . On note, pour tout i ∈ [[1, k]], ti = Re(ri ). On définit
alors Q ∈ R[X] par :
k
Y
Q(X) =
(X − ti )αi ,
i=1
et S l’ensemble {x ∈ R | |Q(x)| 6 2}.
2
(a) Montrer que pour tout z ∈ C, |Q(Re(z))| 6 |P (z)|.
(b) En déduire que R ⊂ S.
(c) Justifier que si le théorème 2 est vrai, alors le théorème 1 est également vrai.
Partie IV – Démonstration du théorème de Pólya
D’après la partie précédente, il suffit donc de montrer le théorème 2. Dans toute cette partie, on se donne un polynôme
unitaire P de degré n > 1 et dont toutes les racines dans C sont réelles.
1. Justifier que S est non vide.
2. Cas où S est un intervalle
On suppose ici que S est un intervalle I.
(a) Justifier que I est un intervalle borné.
(b) Soit a et b les bornes inférieure et supérieure de I. Justifier que a 6= b, puis que |P (a)| = |P (b)| = 2. En
déduire que I est fermé.
(c) Justifier l’existence et donner la valeur de max |P (y)|.
a6y6b
(d) En considérant le polynôme
Q(X) =
2
b−a
n
P
b−a
(X + 1) + a ,
2
et à l’aide d’un résultat démontré précédemment, montrer que :
n
b−a
max |P (y)| > 2
.
a6y6b
4
(e) Conclure
3. Une description de S
Soit E l’ensemble des solutions de l’équation |P (x)| = 2, donc E = {x ∈ R | P (x) = 2 ou P (x) = −2}.
(a) Montrer que E est un ensemble fini et non vide.
On note N le cardinal de E, et β1 < . . . < βN les éléments de E que l’on a ordonné.
(b) Montrer que pour tout i ∈ [[1, N − 1]], soit [βi , βi+1 ] ⊂ S, soit ]βi , βi+1 [∩S = ∅.
(c) Justifier que ] − ∞, β1 [∩S = ∅ et ]βN , +∞[∩S = ∅.
(d) En déduire que S est une réunion d’un nombre fini t d’intervalles fermés deux à deux disjoints.
On note I1 , . . . , It ces intervalles, rangés dans l’ordre croissant. On note pour tout entier j ∈ [[1, t]], Ij =
[aj , bj ]. Ainsi, on a : a1 6 b1 < a2 6 b2 < · · · < at 6 bt .
4. De l’existence d’une racine de P dans chaque Ij
(a) Justifier que pour tout j ∈ [[1, t]], |P (aj )| = |P (bj )| = 2.
(b) Soit j ∈ [[1, t]] tel que aj 6= bj et P (aj ) = P (bj ) = 2.
i. Justifier l’existence d’un minimum de P sur Ij , atteint en un point b ∈]aj , bj [.
ii. Justifier que P ′ (b) = 0 et P ′′ (b) > 0.
iii. À l’aide de résultats établis précédemment, montrer que P admet une racine dans ]aj , bj [.
(c) Que dire du cas où aj 6= bj et P (aj ) = P (bj ) = −2 ?
(d) Justifier que pour tout j ∈ [[1, t]], aj 6= bj .
(e) Montrer que tout intervalle ]aj , bj [, j ∈ [[1, t]], contient au moins une racine de P .
5. Où l’on augmente le nombre de racines dans le dernier intervalle
Soit m le nombre de racines de P situées dans l’intervalle It (le plus à droite).
3
(a) Que vaut t si m = n ? En déduire que le théorème 2 est vrai dans ce cas.
On suppose à partir de maintenant que t > 2.
(b) Montrer que m < n.
(c) Soit c1 , . . . , cm les racines de P situées dans It (éventuellement répétées autant de fois que leur multiplicité),
et cm+1 , . . . , cn les autres racines. Soit :
Q = (X − c1 ) . . . (X − cm ).
Justifier l’existence et l’unicité d’un polynôme R de degré au moins 1 tel que P = QR. Donner une factorisation de R en produit de facteurs irréductibles dans R[X].
(d) On définit le polynôme P1 par P1 (X) = Q(X + d)R(X), où d = at − bt−1 est la distance séparant les deux
derniers intervalles It−1 et It .
i. Soit x ∈ I1 ∪ · · · ∪ It−1 . Montrer que :
• pour tout i ∈ [[1, m]], |x + d − ci | < |x − ci |,
• |Q(x + d)| < |Q(x)|,
• |P1 (x)| 6 2.
ii. Soit x ∈ It . Prouver que :
• |R(x − d)| 6 |R(x)|
• |P1 (x − d)| 6 2.
(e) On note S1 = {x ∈ R | |P1 (x)| 6 2}, et on écrit S1 = J1 ∪· · ·∪Jt′ comme une union d’intervalles fermés deux
à deux disjoints, l’ordre des indices respectant l’ordre des intervalles. On note It′ l’intervalle [at − d, bt − d].
i. Montrer que I1 ∪ · · · ∪ It−1 ∪ It′ ⊂ S1 .
ii. Décrire les racines de P1 en fonction de celles de P , et montrer qu’elles sont dans I1 ∪ · · · ∪ It−1 ∪ It′ .
iii. Montrer que It−1 ∪ It′ est un intervalle. En déduire que It−1 ∪ It′ ⊂ Jt′ .
iv. Montrer que le nombre de racines de P1 situées dans Jt′ est strictement supérieur à m.
6. Terminer la preuve du théorème 2 puis du théorème 1.
Problème 2 – La quadrature du cercle
Le but de ce problème est de démontrer la transcendance de π, résultat prouvé par Lindemann à la fin du 19e siècle,
et qui met fin à plusieurs siècles, voire millénaires de recherche sur la quadrature du cercle : en effet, une conséquence
de la transcendance de π est l’impossibilité de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un cercle
donné.
On commence par l’étude de propriétés des nombres algébriques, le point nous intéressant plus particulièrement étant la
stabilité par produit. Ceci nous permet de nous ramener à l’étude de la transcendance de i π, qu’on étudie en remarquant
de ce nombre vérifie une équation simple ei π + 1 = 0.
On pourra admettre que si A est un anneau intègre et si P ∈ A[X1 , . . . , Xn ] est un polynôme symétrique en les Xi
(c’est-à-dire invariant par permutation des variables), de degré n, alors il peut s’écrire comme polynôme à coefficients
dans A, de degré au plus n, en les polynômes symétriques élémentaires
X
Σk =
Xi1 · · · Xik ,
16i1 <···<ik 6n
propriété démontrée dans un DM.
Partie I – Extensions algébriques
Soit K un corps. On appelle extension de K un corps L tel que K soit un sous-corps de L. Soit L une extension de
K, et α ∈ L. On dit que α est algébrique sur K s’il existe un polynôme P ∈ K[X] non nul tel que P (α) = 0.
Par exemple, dire d’un élément α de C est algébrique sur Q équivaut à dire qu’il existe un polynôme à coefficients
rationnels P 6= 0 tel que P (α) = 0. Quitte à multiplier les coefficients par le ppcm des dénominateurs des coefficients,
cela équivaut à dire qu’il existe un polynôme non nul à coefficients entiers annulant α.
Un élément α ∈ L non algébrique sur K sera dit transcendant sur K.
4
1. Degré d’une extension
(a) Soit L une extension de K. Montrer que L est un espace vectoriel sur K. Si L est de dimension finie sur K,
on note [L : K] sa dimension, appelée degré de l’extension L sur K.
(b) Soit L une extension de K de degré fini [L : K], et M une extension de L de degré fini [M : L]. En
considérant la famille (ai bj ), où (ai ) est une base de L sur K et (bj ) une base de M sur L, montrer que M
est une extension de K de degré fini, et qu’on a la relation :
[M : K] = [M : L][L : K].
2. Adjonction d’un élément à un corps
(a) Soit α ∈ L. On note K(α) le plus petit sous-corps de L contenant K et α. Justifier l’existence de K(α), et
justifier que c’est une algèbre sur K.
(b) On suppose dans cette question que α est algébrique.
i. Justifier l’existence d’un polynôme unitaire de degré minimal Pα tel que Pα (α) = 0, et justifier que Pα
est irréductible dans K[X].
ii. Soit ϕα l’unique application K-linéaire de K[X] dans K[α] telle que pour tout k ∈ N, ϕ(X k ) = αk .
Justifier que ϕ est un morphisme d’algèbre (c’est-à-dire qu’en plus d’être une application linéaire, c’est
aussi un morphisme d’anneau), et déterminer son noyau.
iii. En déduire que K(α) est isomorphe à K[X]/(Pα ), où (Pa ) désigne l’idéal engendré par Pα
iv. Soit p : K[X] 7→ K[X]/(Pα ) la projection canonique associant à un polynôme P sa classe dans le quotient.
Montrer que (p(1), · · · , p(X d−1 )) est une base du K-espace vectoriel K[X]/(Pα ), où d = deg(Pα ).
3. Caractérisation des éléments algébriques
Montrer que α ∈ L est algébrique sur K si et seulement si l’extension K(α) sur K est de degré fini, ce qu’on
note [K(α) : K] < +∞.
4. Produit d’éléments algébriques.
On dit que l’extension L sur K est algébrique si et seulement si tout élément α ∈ L est algébrique sur K.
(a) Montrer que si [L : K] est fini, alors L est algébrique sur K.
(b) Soit L une extension du corps K et M une extension du corps L. Montrer que si α ∈ M est algébrique sur
K, alors il est algébrique sur L.
(c) En déduire que si L est une extension de K, et si deux éléments α et β de L sont algébriques, alors K(α)(β)
(corps obtenu en ajoignant β au corps obtenu en adjoignant α à K) est algébrique sur K.
(d) En déduire que le produit de deux nombres algébriques est algébrique.
Partie II – Transcendance de π
Dans cette partie, on dira simplement que α ∈ C est « transcendant » ou « algébrique », à la place de « transcendant
sur Q » ou « algébrique sur Q ».
On démontre la transcendance de π par l’absurde. Pour cela, on suppose que π est algébrique. On admettra que π n’est
pas rationnel, propriété qu’on prouvera en exercice au courant de l’année.
1. Montrer que sous la supposition faite i π est algébrique.
2. Soit P un polynôme minimal unitaire annulant i π, et soit n son degré.
(a) Soit K un corps et L une extension de K. Soit Q et R deux polynômes de K[X]. Montrer que Q et R sont
premier entre eux dans K[X] si et seulement si ils sont premiers entre eux dans L[X].
(b) Justifier que P est irréductible dans Q[X], et que toutes ses racines dans C sont simples. On les note
α1 , . . . , αn , en adoptant une numérotation de ces racines de sorte que α1 = i π. Pourquoi peut-on affirmer
que n > 1 ?
3. On définit le polynôme Q0 ∈ Z[X, X1 , . . . , Xn ] = Z[X][X1 , . . . , Xn ] par


n
Y
Y
Y

Q0 = X
(X − Xi1 − · · · − Xik ) =
k=1
16i1 <···<ik 6n
I⊂[[1,n]]
5
X−
X
i∈I
Xi
!
.
(a) Montrer qu’en tant que polynôme des indéterminées X1 , . . . , Xn à coefficients dans Z[X], Q0 est symétrique
en X1 , . . . , Xn .
(b) On définit le polynôme Q1 ∈ C[X] par :
Q1 (X) = Q0 (X, α1 , . . . , αn ).
On note γ0 , · · · , γs les racines non nécessairement distinctes de Q1 , pouvant donc s’exprimer facilement en
fonction des αi . On adopte une numérotation de ces racines de sorte que γ0 = 0.
Justifier que Q1 ∈ Q[X].
Il existe donc un polynôme Q2 à coefficients entiers, dont les γi sont les racines, obtenu en multipliant
Q1 par un certain entier. On se donne un tel polynôme Q2 dans la suite du problème.
n
Y
(c) En considérant le produit
(eαi + 1), justifier que l’on a :
i=1
eγ0 + · · · + eγs = 0.
Quitte à regrouper les exponentielles égales à 1 et à réindexer les γi , on peut supposer qu’on a une relation
eγ1 + · · · + eγr + m = 0,
où les γi sont cette fois tous non nuls nuls, et m est un entier strictement positif. Ainsi, 0 est racine de
multiplicité m de Q2 . On définit Q ∈ Z[X] par Q2 = X m Q. Ainsi, les racines de Q sont exactement les γi ,
i ∈ [[1, r]].
4. Soit c le coefficient dominant de Q et p un nombre premier. L’entier r est comme ci-dessus. On définit :
f (X) =
crp−1
X p−1 (Q(X))p
(p − 1)!
F (X) = f (X) + f ′ (X) + · · · + f (rp+p−1) (X).
et
(a) Soit g la fonction définie sur R par :
g(x) = e−x F (x).
Exprimer g ′ en fonction de f .
(b) En déduire que pour tout x ∈ R,
F (x) − ex F (0) = −x
Z
1
e(1−λ)x f (λx)dλ,
0
puis que
r
X
F (γj ) + mF (0) = −
r
X
γj
j=1
j=1
Z
1
e(1−λ)γj f (λγj )dλ.
0
(c) Montrer que pour tout k ∈ [[1, p − 1]], f (k) (γj ) = 0.
r
r
X
X
F (γj ), montrer que
F (γj ) est un entier divisible par
(d) En utilisant la symétrie en les γj de l’expression
j=1
p.
k=1
(e) En déduire que
r
X
F (γj ) + mF (0) ≡ mcrp−1 cp0 [p],
j=1
où c0 est le coefficient constant de Q.
(f) En déduire que pour tout p premier suffisamment grand,
r
X
j=1
5. Montrer que π est transcendant.
6
F (γj ) + mF (0) est un entier non nul.