Polynômes - Alain Troesch

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Pour le 07/03/2016
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
DM no13 : Polynômes
Le problème 2 est facultatif, et laissé en autocorrection (ne pas me le rendre SVP)
Problème 1 –Polynômes de Tchebychev et théorème de Pólya
Le but de ce problème est de démontrer un théorème dû à George Pólya sur les polynômes à coefficients complexes :
Soit Pun polynôme unitaire à coefficients complexes, non constant. Alors la projection orthogonale sur
l’axe réel de l’ensemble des complexes ztels que |P(z)|62est de longueur totale inférieure à 4.
On énonce de manière un peu plus précise :
Théorème 1 (Polya) Soit P∈C[X]un polynôme unitaire de degré au moins 1. Soit :
C={z∈C| |P(z)|62}et R={Re(z), z ∈ C}.
Alors Rest inclus dans une union finie d’intervalles fermés bornés deux à deux disjoints I1,...,Ittels que
ℓ(I1) + ···+ℓ(It)64,
la longueur d’un intervalle I= [a, b]étant définie par ℓ(I) = b−a.
Dans la partie III, on démontrera que ce théorème découle d’un théorème plus simple portant sur des polynômes à
coefficients réels :
Théorème 2 Soit P∈R[X]un polynôme unitaire de degré n>1, dont toutes les racines sont réelles.
Alors l’ensemble S={x∈R| |P(x)|62}est une union disjointe d’intervalles fermés bornés I1,...,It
tels que
ℓ(I1) + ···+ℓ(It)64.
On démontrera ce dernier théorème dans la partie IV. La démonstration utilise un résultat dû à Tchebychev, qui fait
l’objet de la partie II :
Théorème 3 (Tchebychev) Soit P∈R[X]un polynôme unitaire de degré n>1. Alors :
max
−16x61|P(x)|>1
2n−1.
La partie I est quant à elle consacrée à des résultats préliminaires sur les polynômes, utiles pour la partie IV.
Les théorèmes ci-dessus ne peuvent bien sûr être utilisés dans la copie que pour les questions ultérieures à leur
démonstration. On pourra admettre en cours de copie les résultats des questions non démontrées à condition de
l’indiquer clairement sur la copie.
La partie II est indépendante de la partie I. La partie III est indépendante de la partie I et de la partie II. La partie
IV utilise des résultats des trois parties précédentes.
Partie I – Préliminaires
Dans toute cette partie P∈R[X]est un polynôme de degré n>1,dont toutes les racines (dans C) sont réelles.
On note r1<···< rkles racines de Pdeux à deux distinctes, et α1,...,αkleur multiplicité.
1. En localisant les racines de P′par rapport à celles de P, montrer :
Lemme 4 Si rest racine au moins double de P′, alors rest racine de P.
2. Montrer :
Lemme 5 Pour tout x∈R, on a : P′(x)2>P(x)P′′ (x).
1

Partie II – Polynômes et théorème de Tchebychev
On définit une suite de polynômes (Tn)n∈N(appelés polynômes de Tchebychev de première espèce) par la relation de
récurrence suivante :
(T0= 1; T1=X;
∀n>1, Tn+1 = 2XTn−Tn−1.
1. Étude élémentaire des polynômes Tn
(a) Expliciter Tipour tout i∈[[0,4]].
(b) Justifier que pour tout n∈N∗,Tnest un polynôme, et déterminer son degré et son coefficient dominant,
ainsi que la valeur de Tn(1) et de Tn(−1).
(c) Montrer que pour tout n∈N, et tout θ∈R,Tn(cos(θ)) = cos(nθ).
2. Étude des racines de Tnet T′
n.On pose n∈N∗.
(a) À l’aide de la question précédente, déterminer les racines de Tnet leur multiplicité.
(b) Déterminer de même les racines de T′
n.
On note s1<···< sn−1ces racines.
(c) Déterminer Tn(s1),...,Tn(sn−1).
3. Démonstration du théorème de Tchebychev
Soit n∈N∗, et soit Qun polynôme unitaire de degré n.
(a) Justifier l’existence max
−16x61|Q(x)|.
On définit Qn=Tn−2n−1Q.
(b) Montrer que deg Qn6n−1.
(c) On suppose que max
−16x61|Q(x)|<1
2n−1.
i. Montrer que Qn6= 0.
ii. Trouver une contradiction en déterminant le signe de Qnaux points +1,−1,s1,...,sn−1.
(d) Démontrer le théorème 3
Partie III – Exemples et réduction du problème au cas de polynômes réels
1. Un premier exemple
Soit P∈C[X]un polynôme unitaire de degré 1. On écrit P=X−a,a∈C.
(a) Décrire géométriquement l’ensemble C={z∈C| |P(z)|62}, puis déterminer R={Re(z), z ∈ C} sous la
forme d’un intervalle dont on donnera les bornes en fonction de a.
(b) En déduire que le théorème 1 est vrai pour les polynômes de degré 1.
2. Un deuxième exemple
Soit P=X2−2, et Cet Rles ensembles associés définis dans l’introduction.
(a) Montrer que pour tout couple (x, y)de réels, x+ i yappartient à Csi et seulement si
(x2+y2)264(x2−y2).
(b) Justifier que R= [−2,2] et conclure.
3. Réduction du problème
Soit P∈C[X]un polynôme unitaire de degré n>1,Cet Rles ensembles associés. On note r1,...,rkses
racines deux à deux distinctes de multiplicité α1,...,αk. On note, pour tout i∈[[1, k]],ti= Re(ri). On définit
alors Q∈R[X]par :
Q(X) =
k
Y
i=1
(X−ti)αi,
et Sl’ensemble {x∈R| |Q(x)|62}.
2

(a) Montrer que pour tout z∈C,|Q(Re(z))|6|P(z)|.
(b) En déduire que R ⊂ S.
(c) Justifier que si le théorème 2 est vrai, alors le théorème 1 est également vrai.
Partie IV – Démonstration du théorème de Pólya
D’après la partie précédente, il suffit donc de montrer le théorème 2. Dans toute cette partie, on se donne un polynôme
unitaire Pde degré n>1et dont toutes les racines dans Csont réelles.
1. Justifier que Sest non vide.
2. Cas où Sest un intervalle
On suppose ici que Sest un intervalle I.
(a) Justifier que Iest un intervalle borné.
(b) Soit aet bles bornes inférieure et supérieure de I. Justifier que a6=b, puis que |P(a)|=|P(b)|= 2. En
déduire que Iest fermé.
(c) Justifier l’existence et donner la valeur de max
a6y6b|P(y)|.
(d) En considérant le polynôme
Q(X) = 2
b−an
Pb−a
2(X+ 1) + a,
et à l’aide d’un résultat démontré précédemment, montrer que :
max
a6y6b|P(y)|>2b−a
4n
.
(e) Conclure
3. Une description de S
Soit El’ensemble des solutions de l’équation |P(x)|= 2, donc E={x∈R|P(x) = 2 ou P(x) = −2}.
(a) Montrer que Eest un ensemble fini et non vide.
On note Nle cardinal de E, et β1< . . . < βNles éléments de Eque l’on a ordonné.
(b) Montrer que pour tout i∈[[1, N −1]], soit [βi, βi+1]⊂ S, soit ]βi, βi+1[∩S =∅.
(c) Justifier que ]− ∞, β1[∩S =∅et ]βN,+∞[∩S =∅.
(d) En déduire que Sest une réunion d’un nombre fini td’intervalles fermés deux à deux disjoints.
On note I1,...,Itces intervalles, rangés dans l’ordre croissant. On note pour tout entier j∈[[1, t]],Ij=
[aj, bj]. Ainsi, on a : a16b1< a26b2<···< at6bt.
4. De l’existence d’une racine de Pdans chaque Ij
(a) Justifier que pour tout j∈[[1, t]],|P(aj)|=|P(bj)|= 2.
(b) Soit j∈[[1, t]] tel que aj6=bjet P(aj) = P(bj) = 2.
i. Justifier l’existence d’un minimum de Psur Ij, atteint en un point b∈]aj, bj[.
ii. Justifier que P′(b) = 0 et P′′(b)>0.
iii. À l’aide de résultats établis précédemment, montrer que Padmet une racine dans ]aj, bj[.
(c) Que dire du cas où aj6=bjet P(aj) = P(bj) = −2?
(d) Justifier que pour tout j∈[[1, t]],aj6=bj.
(e) Montrer que tout intervalle ]aj, bj[,j∈[[1, t]], contient au moins une racine de P.
5. Où l’on augmente le nombre de racines dans le dernier intervalle
Soit mle nombre de racines de Psituées dans l’intervalle It(le plus à droite).
3

(a) Que vaut tsi m=n? En déduire que le théorème 2 est vrai dans ce cas.
On suppose à partir de maintenant que t>2.
(b) Montrer que m < n.
(c) Soit c1,...,cmles racines de Psituées dans It(éventuellement répétées autant de fois que leur multiplicité),
et cm+1,...,cnles autres racines. Soit :
Q= (X−c1)...(X−cm).
Justifier l’existence et l’unicité d’un polynôme Rde degré au moins 1 tel que P=QR. Donner une factori-
sation de Ren produit de facteurs irréductibles dans R[X].
(d) On définit le polynôme P1par P1(X) = Q(X+d)R(X), où d=at−bt−1est la distance séparant les deux
derniers intervalles It−1et It.
i. Soit x∈I1∪ · · · ∪ It−1. Montrer que :
•pour tout i∈[[1, m]],|x+d−ci|<|x−ci|,
• |Q(x+d)|<|Q(x)|,
• |P1(x)|62.
ii. Soit x∈It. Prouver que :
• |R(x−d)|6|R(x)|
• |P1(x−d)|62.
(e) On note S1={x∈R| |P1(x)|62}, et on écrit S1=J1∪· · ·∪Jt′comme une union d’intervalles fermés deux
à deux disjoints, l’ordre des indices respectant l’ordre des intervalles. On note I′
tl’intervalle [at−d, bt−d].
i. Montrer que I1∪ · · · ∪ It−1∪I′
t⊂ S1.
ii. Décrire les racines de P1en fonction de celles de P, et montrer qu’elles sont dans I1∪ · · · ∪ It−1∪I′
t.
iii. Montrer que It−1∪I′
test un intervalle. En déduire que It−1∪I′ t⊂Jt′.
iv. Montrer que le nombre de racines de P1situées dans Jt′est strictement supérieur à m.
6. Terminer la preuve du théorème 2 puis du théorème 1.
Problème 2 –La quadrature du cercle
Le but de ce problème est de démontrer la transcendance de π, résultat prouvé par Lindemann à la fin du 19esiècle,
et qui met fin à plusieurs siècles, voire millénaires de recherche sur la quadrature du cercle : en effet, une conséquence
de la transcendance de πest l’impossibilité de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un cercle
donné.
On commence par l’étude de propriétés des nombres algébriques, le point nous intéressant plus particulièrement étant la
stabilité par produit. Ceci nous permet de nous ramener à l’étude de la transcendance de iπ, qu’on étudie en remarquant
de ce nombre vérifie une équation simple eiπ+ 1 = 0.
On pourra admettre que si Aest un anneau intègre et si P∈A[X1,...,Xn]est un polynôme symétrique en les Xi
(c’est-à-dire invariant par permutation des variables), de degré n, alors il peut s’écrire comme polynôme à coefficients
dans A, de degré au plus n, en les polynômes symétriques élémentaires
Σk=X
16i1<···<ik6n
Xi1···Xik,
propriété démontrée dans un DM.
Partie I – Extensions algébriques
Soit Kun corps. On appelle extension de Kun corps Ltel que Ksoit un sous-corps de L. Soit Lune extension de
K, et α∈L. On dit que αest algébrique sur Ks’il existe un polynôme P∈K[X]non nul tel que P(α) = 0.
Par exemple, dire d’un élément αde Cest algébrique sur Qéquivaut à dire qu’il existe un polynôme à coefficients
rationnels P6= 0 tel que P(α) = 0. Quitte à multiplier les coefficients par le ppcm des dénominateurs des coefficients,
cela équivaut à dire qu’il existe un polynôme non nul à coefficients entiers annulant α.
Un élément α∈Lnon algébrique sur Ksera dit transcendant sur K.
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1. Degré d’une extension
(a) Soit Lune extension de K. Montrer que Lest un espace vectoriel sur K. Si Lest de dimension finie sur K,
on note [L:K]sa dimension, appelée degré de l’extension Lsur K.
(b) Soit Lune extension de Kde degré fini [L:K], et Mune extension de Lde degré fini [M:L]. En
considérant la famille (aibj), où (ai)est une base de Lsur Ket (bj)une base de Msur L, montrer que M
est une extension de Kde degré fini, et qu’on a la relation :
[M:K] = [M:L][L:K].
2. Adjonction d’un élément à un corps
(a) Soit α∈L. On note K(α)le plus petit sous-corps de Lcontenant Ket α. Justifier l’existence de K(α), et
justifier que c’est une algèbre sur K.
(b) On suppose dans cette question que αest algébrique.
i. Justifier l’existence d’un polynôme unitaire de degré minimal Pαtel que Pα(α) = 0, et justifier que Pα
est irréductible dans K[X].
ii. Soit ϕαl’unique application K-linéaire de K[X]dans K[α]telle que pour tout k∈N,ϕ(Xk) = αk.
Justifier que ϕest un morphisme d’algèbre (c’est-à-dire qu’en plus d’être une application linéaire, c’est
aussi un morphisme d’anneau), et déterminer son noyau.
iii. En déduire que K(α)est isomorphe à K[X]/(Pα), où (Pa)désigne l’idéal engendré par Pα
iv. Soit p:K[X]7→ K[X]/(Pα)la projection canonique associant à un polynôme Psa classe dans le quotient.
Montrer que (p(1),··· , p(Xd−1)) est une base du K-espace vectoriel K[X]/(Pα), où d= deg(Pα).
3. Caractérisation des éléments algébriques
Montrer que α∈Lest algébrique sur Ksi et seulement si l’extension K(α)sur Kest de degré fini, ce qu’on
note [K(α) : K]<+∞.
4. Produit d’éléments algébriques.
On dit que l’extension Lsur Kest algébrique si et seulement si tout élément α∈Lest algébrique sur K.
(a) Montrer que si [L:K]est fini, alors Lest algébrique sur K.
(b) Soit Lune extension du corps Ket Mune extension du corps L. Montrer que si α∈Mest algébrique sur
K, alors il est algébrique sur L.
(c) En déduire que si Lest une extension de K, et si deux éléments αet βde Lsont algébriques, alors K(α)(β)
(corps obtenu en ajoignant βau corps obtenu en adjoignant αàK) est algébrique sur K.
(d) En déduire que le produit de deux nombres algébriques est algébrique.
Partie II – Transcendance de π
Dans cette partie, on dira simplement que α∈Cest « transcendant » ou « algébrique », à la place de « transcendant
sur Q» ou « algébrique sur Q».
On démontre la transcendance de πpar l’absurde. Pour cela, on suppose que πest algébrique. On admettra que πn’est
pas rationnel, propriété qu’on prouvera en exercice au courant de l’année.
1. Montrer que sous la supposition faite iπest algébrique.
2. Soit Pun polynôme minimal unitaire annulant iπ, et soit nson degré.
(a) Soit Kun corps et Lune extension de K. Soit Qet Rdeux polynômes de K[X]. Montrer que Qet Rsont
premier entre eux dans K[X]si et seulement si ils sont premiers entre eux dans L[X].
(b) Justifier que Pest irréductible dans Q[X], et que toutes ses racines dans Csont simples. On les note
α1,...,αn, en adoptant une numérotation de ces racines de sorte que α1= i π. Pourquoi peut-on affirmer
que n > 1?
3. On définit le polynôme Q0∈Z[X, X1,...,Xn] = Z[X][X1,...,Xn]par
Q0=X
n
Y
k=1 
Y
16i1<···<ik6n
(X−Xi1− · · · − Xik)
=Y
I⊂[[1,n]] X−X
i∈I
Xi!.
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