Partiel 2014-2015

Partiel d’analyse fonctionnelle
M1, ENS Cachan, 2014-15
Dur´ee : 2 heures
Attention: Les documents ne sont pas autoris´es pour cet examen.
Exercice 1 :
Soit Eun espace topologique. On dit que Eest normal quand pour
tous F1,F2ferm´es disjoints de E, il existe O1,O2ouverts disjoints de Etels
que Fi⊂Oi(i= 1,2).
1. On suppose que (E, d) est un espace m´etrique.
a) Soit A⊂E. Montrer que
¯
A={x∈E|d(x, A)=0}.
b) Soient F⊂Eferm´e et K⊂Ecompact tels que K∩F=∅.
On rappelle que par d´efinition,
d(K, F ) = inf
x∈K,y∈Fd(x, y).
Montrer que d(K, F )>0.
c) Trouver un espace (E, d) m´etrique, et F1, F2ferm´es de Edisjoints tels
que d(F1, F2)=0
d) Montrer que l’espace m´etrique (E, d) est normal.
2. Dans cette question, Eest un espace topologique s´epar´e.
a) Montrer que pour tous x∈Eet K⊂Ecompact ne contenant pas x, il
existe O1,O2ouverts disjoints de Etels que x∈O1,K⊂O2.
b) Montrer que pour tous K1, K2⊂Ecompacts disjoints de E, il existe O0
1,
O0
2ouverts disjoints de Etels que Ki⊂O0
i(i= 1,2).
c) Montrer que si Eest compact, il est normal.
1

Exercice 2 : Pour φ∈ D(R), on pose
< T, φ > := ZR
φ(x)−φ(0)
xp|x|dx.
On rappelle que si f∈L1
loc(R) on note Ufla distribution associ´ee `a f.
1. Montrer que cette formule d´efinit une distribution d’ordre ≤1 sur R.
2. Montrer que x7→ x T est une distribution associ´ee `a un ´el´ement de L1
loc(R)
que l’on pr´ecisera.
3. Pour n>1, on pose
fn(x) = 1
xp|x|
1|x|>1
n
.
Calculer la limite de (Ufn) au sens des distributions.
4. On pose
g(x) = 1
p|x|.
Calculer la d´eriv´ee de Ugau sens des distributions.
Exercice 3
Dans l’espace E=C([0,1],R), consid´erons le sous-ensemble Fdes
fonctions f∈Etelles qu’il existe un intervalle [α, β]⊂[0,1] non vide et non
r´eduit `a un point sur lequel fest monotone.
1Montrer que Emuni de la norme uniforme est un espace de Banach.
2Soient α < β dans [0,1]. On note F[α,β]l’ensemble des f∈Equi sont
monotones sur [α, β].
a) Montrer que F[α,β]est ferm´e dans E.
b) Montrer que E\F[α,β]est dense dans E.
3En d´eduire que Fest d’int´erieur vide.
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